Introducción a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. -Wasserman

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad.

  2. Interpretación frecuentista de la probabilidad

  3. probabilidad condicional y su relación con independencia

  4. La regla de Bayes

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: si lanzamos una moneda 2 veces, entonces

\[ \Omega = \{AA, SS, AS, SA\} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas

Ejemplo: Que el primer lanzamiento resulte águila. \[ A=\{AA, AS\}\]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo

Ejemplo: Carrera de ingeniería química tenemos 1000 estudiantes, de los cuales

  • 300 son hombres
  • 700 son mujeres

Si elegimos un estudiante al azar de ingeniería química

¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

\[ p= \frac{300}{700+300}\]

La probabilidad entonces es 0.3

Eventos equiprobables si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados.

Esto se concibe de la siguiente forma:

\[ Probabilidad= Eventos favorables/posibles \] Ejemplo: Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay $ $ posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

por otra parte hay $ $ posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad qque buscamos es:

\[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2} }{\dbinom{15}{5}}\] y la función para calcular las combinaciones es choose(n, r)

choose(6,3)*choose(9,2)/choose(15,5)
## [1] 0.2397602

## Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o tan frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

Las probabilidades se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:

set.seed(123)
lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10,replace=TRUE )
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
  • Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de aguila
cumsum(lanzamientos_10=="A")
##  [1] 1 2 3 3 4 4 4 4 5 6
  • Frecuencia relativa
round(cumsum(lanzamientos_10=="A")/1:10,2)
##  [1] 1.00 1.00 1.00 0.75 0.80 0.67 0.57 0.50 0.56 0.60