Ejercicio 6-1

Un ingeniero está interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una máquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres réplicas de un diseño factorial 23. Los resultados fueron los siguientes:

A B C Combinacion de tratamientos Replica I Replica II Replica III
- - - (1) 22 31 25
+ - - a 32 43 29
- + - b 35 34 50
+ + - ab 55 47 46
- - + c 44 45 38
+ - + ac 40 37 36
- + + bc 60 50 54
+ + + abc 39 41 49
  1. Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos parecen ser grandes?
  2. Usar el analisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a.
  3. Escribir un modelo de regresion para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base los resultados de este experimento.
  4. Analizar los residuales. ¿Hay algún problema evidente?
  5. Con base el analisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuales serian los niveles de A, B y C que se recomendaria utilizar?

Desarrollo del ejercicio

Para el primer paso importamos los datos que vamos a utilizar.

library(readxl)
library(FrF2)
datos=read_excel(path ="dataset.xlsx") 
attach(datos)

a) Estimar los efectos de los factores. ¿Que efectos parecen ser grandes?

Para calcular los efectos de los factores, debemos considerar que en la ejecución de un diseñoo factorial completo \(2^3\); el modelo matemático que relaciona los efectos de los factores en la variable de salida queda de la siguiente manera:

#--------Modelo matematico---------#
f_velocidad=factor(Velocidad)
f_geometria=factor(Geometria)
f_angulo=factor(Angulo)
modelo=lm(Respuesta~(f_velocidad+f_geometria+f_angulo+f_velocidad*f_geometria+f_velocidad*f_angulo+f_geometria*f_angulo+f_velocidad*f_geometria*f_angulo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Respuesta ~ (f_velocidad + f_geometria + 
##     f_angulo + f_velocidad * f_geometria + f_velocidad * f_angulo + 
##     f_geometria * f_angulo + f_velocidad * f_geometria * f_angulo))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.667 -3.500 -1.167  3.167 10.333 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                           26.000      3.171   8.199 4.02e-07 ***
## f_velocidad1                           8.667      4.485   1.933  0.07119 .  
## f_geometria1                          13.667      4.485   3.048  0.00768 ** 
## f_angulo1                             16.333      4.485   3.642  0.00219 ** 
## f_velocidad1:f_geometria1              1.000      6.342   0.158  0.87668    
## f_velocidad1:f_angulo1               -13.333      6.342  -2.102  0.05171 .  
## f_geometria1:f_angulo1                -1.333      6.342  -0.210  0.83614    
## f_velocidad1:f_geometria1:f_angulo1   -8.667      8.969  -0.966  0.34828    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.492 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7696, Adjusted R-squared:  0.6689 
## F-statistic: 7.637 on 7 and 16 DF,  p-value: 0.0003977

Deacuerdo a los valores obtenidos aquellos en el que el \(Valor_p<0.05\), tienen efectos significativos en la vida (en horas) de la maquina, en este caso el factor geometria de la herramienta y angulo de corte son los que influyen mayormente en la variable de respuesta.

b) Usar el analisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a.

Para poder comprobar la significancia de los efectos de los factores se realiza el Analisis de Varianza (ANOVA). A continuacion, se presentan los calculos:

#-----------Tabla ANOVA-----------#
anova(aov(modelo))
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: Respuesta
##                                  Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## f_velocidad                       1   0.67    0.67  0.0221 0.8836803    
## f_geometria                       1 770.67  770.67 25.5470 0.0001173 ***
## f_angulo                          1 280.17  280.17  9.2873 0.0076787 ** 
## f_velocidad:f_geometria           1  16.67   16.67  0.5525 0.4680784    
## f_velocidad:f_angulo              1 468.17  468.17 15.5193 0.0011722 ** 
## f_geometria:f_angulo              1  48.17   48.17  1.5967 0.2244753    
## f_velocidad:f_geometria:f_angulo  1  28.17   28.17  0.9337 0.3482825    
## Residuals                        16 482.67   30.17                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

En conclusión, de acuerdo a los resultados obtenidos de la tabla se obtiene que el factor geometria de la herramienta es significativo, ya que, considerando un nivel de significancia de \(∝=0.05\), \(Valor_p<∝\), por lo que se rechaza la hipotesis nula, de la misma manera el factor angulo de corte tiene efectos significativos en la vida de la maquina y se obtiene que la interaccion de velocidad de corte y angulo de corte son significativos.

c) Escribir un modelo de regresion para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base los resultados de este experimento.

La ecuacion regresion quedaria representada de la siguiente manera:

\(Y=26+13.667B+16.333C-13.333AC\)

d) Analizar los residuales. ¿Hay algun problema evidente?

La prueba de normalidad de los residuos de Shapiro-Wilks, donde se plantean las siguientes hipotesis:

\[{H_0}={x∈N}{(μ=0,σ^2=Constante)}\]

\[{H_0}={x∉N}{(μ=0,σ^2=Constante)}\]

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.92106, p-value = 0.06166

La hipotesis nula de la Prueba de Shapiro-Wilks se rechaza cuando el \(Valor_p<0.05\). Los resultados obtenidos para la prueba de Shapiro-Wilk son que el \(valor_p\) es igual a 0.06166, por lo tanto se aceptan la Hipotesis nula, es decir hay normalidad en los residuos.Para verificar que tengan varianza constante se realiza la prueba de Bartlett como se muestra a continuación.

Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett

La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:

\[{H_0}:σ_i^2=σ_j^2=Constante\]

\[{H_1}:σ_i^2 \neq σ_j^2\neq Constante\]

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_velocidad,f_geometria,f_angulo,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_velocidad
## Bartlett's K-squared = 0.30309, df = 1, p-value = 0.582

En el caso de el factor velocidad de corte, se acepta la hipótesis nula ya que el \(valor_p>0.05\). Dado lo anterior, se concluye que el modelo es adecuado para explicar los efectos sobre la vida de la maquina herramienta.

e) Con base el analisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuales serian los niveles de A, B y C que se recomendaria utilizar?

Para obtener la grafica de los efectos individuales, se realiza lo siguiente:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns=8,nfactors=3,factor.names=list(f_velocidad=c(-1,1),f_geometria=c(-1,1),f_angulo=c(-1,1)),replications=3,randomize=FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Respuesta)
MEPlot(experimento_resp)

Para obtener la grafica de interacciones, se realiza lo siguiente:

IAPlot(experimento_resp)

En la gráfica de efectos individuales, se observa que los efectos que realmente son significativos es la geometría, en el caso del Ángulo se llega apreciar un efecto medianamente significativo. Por otro lado, para la velocidad no resulta tan significativa en la influencia de vida de la maquina.

En la gráfica de interacciones, se observa que la velocidad con relación de la geometría si presenta un pequeño cambio de mínimo a máximo, en relación a la velocidad y el Ángulo, la interacción resulta ser mas siginficativa en la vida en horas. Por otra parte la geometria relacionada con la velocidad es constante y con el angulo incrementa las horas de vida. Por otro lado, el Ángulo en relación con la velocidad presenta una tendencia decreciente en la durabilidad de las horas y para el caso de la geométrica presenta una elevación indicando el aumento significativo de horas vida, y en conclusión se dice que los principales efectos que provocan las interacciones más relevantes es la geoétrica cuando interactúa con el Ángulo. Los niveles recomendables a utilizar serian los mas altos de geometría y Ángulo; y niveles bajos de velocidad.