Diseño Factorial 2^3
Ivette Jaqueline García Grajales
27/09/2021
#EJERCICIO 6_1
Un ingeniero está interesando en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una máquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres réplicas de un diseño factorial 2^3. Los resultados fueron los siguientes: Tabla:
| A | B | C | Combinación de tratatamientos | Réplica I | Réplica II | Réplica III | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| - | - | - | (1) | 22 | 31 | 25 | |
| + | - | - | a | 32 | 43 | 29 | |
| - | + | - | b | 35 | 34 | 50 | |
| + | + | - | ab | 55 | 47 | 46 | |
| - | - | + | c | 44 | 45 | 38 | |
| + | - | + | ac | 40 | 37 | 36 | |
| - | + | + | bc | 60 | 50 | 54 | |
| + | + | + | abc | 39 | 41 | 47 |
- Estimar los efectos de los factores ¿Qué efectos parecen ser grandes?
- Usar el analisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a
- Escribir el modelo de regresion para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base en los resultados de este experimento.
- Analizar los residuales. ¿Hay algún problema?
- Con base en el analisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿Cuáles serían los niveles de A B y C que se recomendaría utilizar?
#DESARROLLO
- Estimar los efectos de los factores ¿Qué efectos parecen ser grandes?
Como primer paso debemos importar los datos desde el archivo que los contiene, ubicado en la carpeta de trabajo, que para este caso se llama dataset.txt.
library(readxl)
library(FrF2)datos=read_excel(path = "C:/Users/Ivett/Downloads/Mi primer MarkDown/dataset.xlsx" )
View(datos)attach(datos)Modelo Matemático El modelo matemático que relacionan los efectos de los factores en la variable de salida se escribe de la siguiente manera:
\[Y_{ijk}~~=~~\mu~~+~~\tau_i~~+~~\beta_j~+~\delta_{k}~+\tau\beta_{ij}~+~\tau\delta_{ik}~+~\beta\delta_{jk}~+~\tau\beta\delta_{yk}~+~\epsilon_{yk}\]
Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:
f_velocidad=factor(Velocidad)
f_geometria=factor(Geometría)
f_angulo=factor(Angulo)modelo=lm(Respuesta~(f_velocidad+f_geometria+f_angulo+f_velocidad*f_geometria+f_velocidad*f_angulo+f_geometria*f_angulo+f_velocidad*f_geometria*f_angulo))Resumen del modelo:
summary(modelo)##
## Call:
## lm.default(formula = Respuesta ~ (f_velocidad + f_geometria +
## f_angulo + f_velocidad * f_geometria + f_velocidad * f_angulo +
## f_geometria * f_angulo + f_velocidad * f_geometria * f_angulo))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.667 -3.500 -1.167 3.167 10.333
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 26.000 3.171 8.199 4.02e-07 ***
## f_velocidad1 8.667 4.485 1.933 0.07119 .
## f_geometria1 13.667 4.485 3.048 0.00768 **
## f_angulo1 16.333 4.485 3.642 0.00219 **
## f_velocidad1:f_geometria1 1.000 6.342 0.158 0.87668
## f_velocidad1:f_angulo1 -13.333 6.342 -2.102 0.05171 .
## f_geometria1:f_angulo1 -1.333 6.342 -0.210 0.83614
## f_velocidad1:f_geometria1:f_angulo1 -8.667 8.969 -0.966 0.34828
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.492 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7696, Adjusted R-squared: 0.6689
## F-statistic: 7.637 on 7 and 16 DF, p-value: 0.0003977No todos los efectos son significativos, ya que el \(Valor_p\) es mayor de 0.05, por otra parte los efectos entre geometria y angulo si muestran significancia, tambien la interacción de velocidad y angulo muestran impacto mayor en angulo porque la velocidad cuenta con una cantidad pequeña de significancia teniendo un valor mayor a 0.05. Por lo tanto de acepta la hipotesis.
B)
La tabla Anova se obtiene de la siguiente manera:
anova(aov(modelo)) ## Analysis of Variance Table
##
## Response: Respuesta
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## f_velocidad 1 0.67 0.67 0.0221 0.8836803
## f_geometria 1 770.67 770.67 25.5470 0.0001173 ***
## f_angulo 1 280.17 280.17 9.2873 0.0076787 **
## f_velocidad:f_geometria 1 16.67 16.67 0.5525 0.4680784
## f_velocidad:f_angulo 1 468.17 468.17 15.5193 0.0011722 **
## f_geometria:f_angulo 1 48.17 48.17 1.5967 0.2244753
## f_velocidad:f_geometria:f_angulo 1 28.17 28.17 0.9337 0.3482825
## Residuals 16 482.67 30.17
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1El angulo y la geometria se muestran como factores ponderantes ya que tienen significancia en su interaccion de la velocidad con el angulo.
C)
Para el caso del modelo estadistico, el resultado obtenido reporta que el modelo de regresión de acuerdo a los factores que tuvieron un impacto quedaría representado de la manera a continuación:
\[Vida~en~horas_{ijk}= 26.00~+~8.667velocidad_{i}~+~13.667geometria_{j}~+~16.333angulo_{k}~-~1.000velocidadgeometria_{ij}~-~-13.333velocidadangulo_{ik}~-~-1.333geometriaangulo_{jk}~-~-8.667_{ijk}\]
Una vez realizado el Análisis de Varianza, es importante verificar las pruebas de adecuación del modelo, para lo cual se efectuarán las siguientes pruebas:
- Prueba de Normalidad de Residuos de shapiro Wilks
- Prueba de Barttlet para la igualdad de varianzas
D)
Analizar los residuales. ¿Hay algún problema?
PRUEBAS DE ADECUACIÓN Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk
Para el caso específico de la normalidad, procederemos a utilizar la Prueba de Bondad de Ajuste a la Distribución Normal de Shapiro-Wilks, aunque cabe mencionar que puede utilizarse cualquier otra, como Kolmogorov-Smirnov o Anderson-Darlind, la prueba de Shapiro-Wilks está diseñada específicamente para la Distribución Normal[@montgomery2005diseno,].
Para poder realizar esta prueba se debe plantear las siguientes hipótesis de trabajo:
\[H_0: x ~\epsilon~N(\mu=0,\sigma^2=Constante)\] \[H_1: x ~\notin N(\mu=0,\sigma^2=Constante)\]
La hipótesis nula de la Prueba de Shapiro-Wilks se acepta cuando \(Valor_p>0.05\), lo cual ocurre en esta situación, siempre es recomendable realizar una gráfica de probabilidad normal para confirmar la prueba de hipótesis.
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: resid(modelo)
## W = 0.92106, p-value = 0.06166#Gráfica de Probabiliad Normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))
En la prueba de Shapiro-Wilk existen normalidad en los residuos , por lo tanto no hay existencia de datos atipicos para el modelo propuesto, provocando que sea adecuado para explicar la vida en horas de la maquina herramienta en funcion con velocidad de corte, geometria y angulo.
Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett
La Prueba de Homocedasticidad, o de Varianzas Iguales, se realiza mediante la Prueba de Bartlett, misma que para el caso particular, como sólo es significativo el factor de tratamiento, solo se considerará éste para la ejecución de la prueba[@pulido2012].
La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:
\[H_0:\sigma^2_i~~=~~\sigma^2_j~~=~Constante \] \[H_1:\sigma^2_i~~\neq~~\sigma^2_j~~\neq~Constante \]
La Prueba de Bartlett se realiza con la siguiente línea de comandos, misma que se efectúa por separado para cada factor
homocedasticidad_flujo=bartlett.test(Respuesta~Velocidad, data=datos)
print(homocedasticidad_flujo)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: Respuesta by Velocidad
## Bartlett's K-squared = 2.473, df = 1, p-value = 0.1158homocedasticidad_flujo=bartlett.test(Respuesta~Geometría, data=datos)
print(homocedasticidad_flujo)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: Respuesta by Geometría
## Bartlett's K-squared = 0.05696, df = 1, p-value = 0.8114homocedasticidad_flujo=bartlett.test(Respuesta~Angulo, data=datos)
print(homocedasticidad_flujo)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: Respuesta by Angulo
## Bartlett's K-squared = 1.2815, df = 1, p-value = 0.2576Como se puede observar se acepta la hipotesis de igualdad de varianzas, ya que el modelo es adecuado para explicar los efectos sobre la vida de una maquina herramienta.
E)
Con base en el análisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿Cuáles serían los niveles de A B y C que se recomendaría utilizar?
Para realizar el experimento, es decir, generar el diseño, se codificade la siguiente manera:
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns=8,nfactors=3,factor.names=list(f_velocidad=c(-1,1),f_geometria=c(-1,1),f_angulo=c(-1,1)),replications=3,randomize=FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Respuesta)Grafica de efectos individuales
Para obtener la gráfica de efectos individuales del experimento que contiene a la respuesta, se utiliza el siguiente código:
MEPlot(experimento_resp)
La geometría y el ángulo los cuales tienen realmente un impacto, la velocidad no lo es tanto, pero si se deben vigilar la geometría y el ángulo.
Grafica de interacciónes
Para obtener la gráfica de interacciones se utiliza el código a continuación:
IAPlot(experimento_resp)
el factor de velocidad con el factor de geometría presentan un cambio al pasar del mínimo al máximo, este es mayor que la interacción que genera la velocidad con el ángulo, mientras que para el caso de la geometría con la velocidad se logra observar que cuando el ángulo se realiza el cambio de mínimo a maximo si existe un cambio notorio. Además, para el caso de la geometría con el ángulo a pesar de que cambia el nivel se logra mantener constante como igual se puede observar en el caso de la interacción del ángulo con la geometría y en el caso del ángulo con la velocidad se muestra como si cambia el nivel y no se mantiene igual de constante, por lo tanto deben tenerse en cuenta dichas interacciones.
Bibliografia