Introducción a la probabilidad

Probabilidad Es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. - Wasserman

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS\} \]

Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

Ejemplo: Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A=\{AA,AS\} \]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción o cociente de una parte con respecto a un todo.

Ejemplo: En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[ p=\frac{300}{700+300}=0.3 \]

Eventos equiprobables: Si todos lo elementos en el espacio de resultado tienen la misma oprtunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]

Por lo que solo hace falta contar.

Ejemplo: Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombre y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte, hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3}\dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

y la función para calcular las combinaciones es choose(n,r)

choose(6,3)*choose(9,2)/choose(15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

l10 <- sample(c("+","-"),10, replace = TRUE)
l10
##  [1] "-" "-" "-" "+" "+" "-" "-" "-" "-" "+"

Podemos calcular la secuencia de frecuencias relativas de águila:

cumsum(l10=="+")
##  [1] 0 0 0 1 2 2 2 2 2 3

Dividiendo

round(cumsum(l10=="+")/1:10,2)
##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.40 0.33 0.29 0.25 0.22 0.30