6-1. Un ingeniero está interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una máquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres réplicas de un diseño factorial 2^3. Los resultados fueron los siguientes:

A B C Combinacion de tratamientos I II III
- - - (1) 22 31 25
+ - - a 32 43 29
- + - b 35 34 50
+ + - ab 55 47 46
- - + c 44 45 38
+ - + ac 40 37 36
- + + bc 60 50 54
+ + + abc 39 41 47
  1. Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos parecen ser grandes?
  2. Usar el análisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a,
  3. Escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la hcrramienta (en horas) con base en los resultados de este experimento.
  4. Analizar los residuales. ¿Hay algún problema evidente?
  5. Con base en el análisis de las gráficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuáles serian los niveles de 4, B y C que se recomendaria utilizar?

1 Diseño Factorial 2^3

DESARROLLO DEL EJERCICIO

a) Estimar los efectos de los factores.¿Que efectos parecen ser grandes?

library(readxl)
library(FrF2)
datos=read_excel(path = "dataset.xlsx")
View(datos)
attach(datos)

Modelo Matematico

\[-{ij}=μ+τ_i+β_j+δ_{k}+τβ_{ij}+τδ_{ik}+βδ_{ijk}+Є_{ijk}\] Esto se puede visualizar con el siguiente codigo:

f_velocidad=factor(velocidad_corte)
f_geometria=factor(geometria_de_herramienta)
f_angulo=factor(angulo_de_corte)
modelo=lm(Replica~(f_velocidad+f_geometria+f_angulo+f_velocidad*f_geometria+f_velocidad*f_angulo+f_geometria*f_angulo+f_velocidad*f_geometria*f_angulo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Replica ~ (f_velocidad + f_geometria + f_angulo + 
##     f_velocidad * f_geometria + f_velocidad * f_angulo + f_geometria * 
##     f_angulo + f_velocidad * f_geometria * f_angulo))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.667 -3.500 -1.167  3.167 10.333 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                           26.000      3.171   8.199 4.02e-07 ***
## f_velocidad1                           8.667      4.485   1.933  0.07119 .  
## f_geometria1                          13.667      4.485   3.048  0.00768 ** 
## f_angulo1                             16.333      4.485   3.642  0.00219 ** 
## f_velocidad1:f_geometria1              1.000      6.342   0.158  0.87668    
## f_velocidad1:f_angulo1               -13.333      6.342  -2.102  0.05171 .  
## f_geometria1:f_angulo1                -1.333      6.342  -0.210  0.83614    
## f_velocidad1:f_geometria1:f_angulo1   -8.667      8.969  -0.966  0.34828    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.492 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7696, Adjusted R-squared:  0.6689 
## F-statistic: 7.637 on 7 and 16 DF,  p-value: 0.0003977

Debido a los resultados arrojados sobre los efectos de los factores se obtiene que el Valor P, es menor y por ende se confirma la existencia de efectos significativos.

b) Usar el analisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a.

Los calculos al utilizar el Analisis de Varianza (ANOVA):

Tabla Anova

anova=aov(modelo)
summary(anova)
##                                  Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_velocidad                       1    0.7     0.7   0.022 0.883680    
## f_geometria                       1  770.7   770.7  25.547 0.000117 ***
## f_angulo                          1  280.2   280.2   9.287 0.007679 ** 
## f_velocidad:f_geometria           1   16.7    16.7   0.552 0.468078    
## f_velocidad:f_angulo              1  468.2   468.2  15.519 0.001172 ** 
## f_geometria:f_angulo              1   48.2    48.2   1.597 0.224475    
## f_velocidad:f_geometria:f_angulo  1   28.2    28.2   0.934 0.348282    
## Residuals                        16  482.7    30.2                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se concluye que los efectos significativos cuyo valor P es menor a 0.5 son la geometria, el ángulo y la interacción entre la valocidad-angulo, aunque el valor de la geometria es el que presenta el valor más bajo y la velocidad, la interacción velocidad-geometrica, interacción geometría-ángulo son los factores menos significativos.

c) Escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base los resultados de este experimento

Debido a el resultado del modelo estadistico se tiene que los coeficientes de regresión deben quedar de la siguiente forma. \[Y=26+13.667B+16.333C-13.333AC\]

d)Analizar los residuales. ¿Hay algún problema evidente?

Para analizar los residuales se debe realizar la prueba de normalidad de los residuos de Shapiro-Wilks. A continucacion se plantean las hipotesis: \[H_0=XЄ N(μ=0,σ^2= Constante)\]

\[H_0=X Є N(μ=0,σ^2= Constante)\]

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.92106, p-value = 0.06166

Por lo tanto, se rechaza la hipotesis, debido a que el valor P es mayor que 0.05, siendo este 0.06166 que indican residuos normales. Por ende se debe verificar que cumplan con una varianza constante y debe realizarse la prueba de Bartlett.

Las hipotesis de Bartlett se presentan a continuación:

\[H_0 : σ^2_i = σ^2_j = Constante\] \[H_1 : σ^2_i ≠ σ^2_j ≠ Constante\]

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_velocidad,f_geometria,f_angulo,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_velocidad
## Bartlett's K-squared = 0.30309, df = 1, p-value = 0.582

Por ende, se concluye que el valor P es mayor de 0.05 al ser 0.582, por lo tanto se acepta la hipostesis nula y se rechaza la alternativa, lo cual significa que los residuos tienen una distribución normal y una varianza constante.

e) Con base en el analisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuales serian los niveles de A, B y C que se recomendaria utilizar?

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_velocidad=c(-1,1),f_geometria=c(-1,1),f_angulo=c(-1,1)),replications = 3,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Replica)
MEPlot(experimento_resp)

IAPlot(experimento_resp)

Grafica de efectos individuales: Al visualizar la grafica se determina que los efectos que realmente son significativos se encuentra en la geometria, y en el angulo se puede distinguir el efecto mediamente significativo y La velocidad no resulta relevante, por ende el mejor efecto es la geometria.

Grafica de interacciones: En la grafica de interacciones se puede visualizar quue la relacion que tiene la geometria con la velocidad si representa un cambio de minimo a maximo. La relacion de la velocidad y el angulo presenta una interacción mayor . Por otra parte la geometria relacionada con la velocidad es constante y con el angulo incrementa las horas de vida. Ademas, el angulo en relación con la velocidad tiene una tendencia decreciente y por otro lado con la geometria presenta una elevación indicando el aumento significativo de horas vida. Por consiguiente los principales efectos que provocan las interacciones se presentan en la geometria cuando esta interactua con el ángulo.

Bibliografia

Montgomery & Runger (2005)

Montgomery, D., & Runger, G. (2005). Probabilidad y estadı́stica para ingenierı́a. México: Compañı́a Editorial Continental.