Ejercicio 6-1

Un ingeniero está interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una máquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres réplicas de un diseño factorial \(2^3\). Los resultados fueron los siguientes:

A B C Combinación de tratamientos Réplica I Réplica II Réplica III
- - - (1) 22 31 25
+ - - a 32 43 29
- + - b 35 34 50
+ + - ab 55 47 46
- - + c 44 45 38
+ - + ac 40 37 36
- + + bc 60 50 54
+ + + abc 39 41 47
  1. Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos parecen ser grandes?
  2. Usar el análisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a.
  3. Escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base en los resultados de este experimento.
  4. Analizar los residuales. ¿Hay algún problema evidente?
  5. Con base en el ánalisis de las gráficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuáles serían los niveles de A,B y C que se recomendaría utilizar?

Desarrollo del Ejercicio

Para el primer paso importamos los datos que vamos a utilizar.

library(readxl)
library(FrF2)
datos=read_excel(path = "dataset.xlsx")
View(datos)
attach(datos)

a) Estimar los efectos de los factores, ¿Qué efectos parecen grandes?

Para poder calcular los efectos de los factores a traves de un diseño factorial \(2^3\) se obtiene a traves de la siguiente manera:

f_velocidad=factor(velocidad_corte)
f_geometria=factor(geometria_de_herramienta)
f_angulo=factor(angulo_de_corte)
modelo=lm(Replica~(f_velocidad+f_geometria+f_angulo+f_velocidad*f_geometria+f_velocidad*f_angulo+f_geometria*f_angulo+f_velocidad*f_geometria*f_angulo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Replica ~ (f_velocidad + f_geometria + f_angulo + 
##     f_velocidad * f_geometria + f_velocidad * f_angulo + f_geometria * 
##     f_angulo + f_velocidad * f_geometria * f_angulo))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.667 -3.500 -1.167  3.167 10.333 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                           26.000      3.171   8.199 4.02e-07 ***
## f_velocidad1                           8.667      4.485   1.933  0.07119 .  
## f_geometria1                          13.667      4.485   3.048  0.00768 ** 
## f_angulo1                             16.333      4.485   3.642  0.00219 ** 
## f_velocidad1:f_geometria1              1.000      6.342   0.158  0.87668    
## f_velocidad1:f_angulo1               -13.333      6.342  -2.102  0.05171 .  
## f_geometria1:f_angulo1                -1.333      6.342  -0.210  0.83614    
## f_velocidad1:f_geometria1:f_angulo1   -8.667      8.969  -0.966  0.34828    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.492 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7696, Adjusted R-squared:  0.6689 
## F-statistic: 7.637 on 7 and 16 DF,  p-value: 0.0003977

De acuerdo a los resultados obtenidos de los efectos de los factores se observa que los valores que son \(Valor_{p}<0.05\) tiene efectos significativos en la vida (vida en horas) de la maquina de herramienta, en este caso los factores geometria de herramienta y el angulo de corte son los que influyen mayormente en la variable de respuesta.

b) Usar el análisis de varianza para confirmar las conlusiones del inciso a.
Para poder comprobar la significancia de los efectos de los factores se realiza el Analisis de Varianza (ANOVA):

anova=aov(modelo)
summary(anova)
##                                  Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_velocidad                       1    0.7     0.7   0.022 0.883680    
## f_geometria                       1  770.7   770.7  25.547 0.000117 ***
## f_angulo                          1  280.2   280.2   9.287 0.007679 ** 
## f_velocidad:f_geometria           1   16.7    16.7   0.552 0.468078    
## f_velocidad:f_angulo              1  468.2   468.2  15.519 0.001172 ** 
## f_geometria:f_angulo              1   48.2    48.2   1.597 0.224475    
## f_velocidad:f_geometria:f_angulo  1   28.2    28.2   0.934 0.348282    
## Residuals                        16  482.7    30.2                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

En conclusión de acuerdo con la tabla de analisis de varianza los resultados obtenidos en la tabla el factor geometria de herramienta es significativo, considerando el nivel de significancia \(\propto=0.05\), por lo que se rechaza la hipotesis nula, de igualmanera el factor angulo de corte tiene efectos significativos de la maquina.

c) Escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base en los resultados de este experimento.

Para el caso de modelo, los resultados obtenidos reportan que el modelo de regresión se basa en los factores que tuvieron significacia:

\[Y= 26+8.667A+13.667B+16.333C-13.333AC\]

d) Analizar los residuales,¿Hay algún problema evidente?

Se utiliza la prueba de normalidad de los residuos de Shapiro-Wilk, donde se utiliza las siguientes hipotesis:

\[H_{0}= x \in N (\mu=0,\sigma^2= Constante)\]
\[H_{1}= x \notin N (\mu=0,\sigma^2= Constante)\]

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.92106, p-value = 0.06166

La hipotesis nula de la prueba Shapiro-Wilk se rechaza cuando \(Valor_{p}<0.05\)
De acuerdo con los resultados obtenido de la prueba Shapiro-Wilk el \(Valor_{p}= 0.06166\), por lo tanto se acepta la hipotesis nula, por lo que se concluye que da normalidad en los residuos.

La Prueba de Igualdad de Varianza de Bartlett

La prueba llamada Homocedasticidad o de varianzas iguales, se realiza mediante la prueba de Bartlett, como solo es significativo el factor de tratamiento, solo se considerá este factor para poder realizar la prueba.

Hipotesis de la Prueba de Bartlett:

\[H_{0}:\sigma^2_{i}=\sigma^2_{j}= Constante\]
\[H_{1}:\sigma^2_{i}\neq\sigma^2_{j}\neq Constante\]

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_velocidad,f_geometria,f_angulo,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_velocidad
## Bartlett's K-squared = 0.30309, df = 1, p-value = 0.582

Para poder aceptar la igualdad de varianzas, los residuales tienen que ser homocedásticos para los factores, se acepta la hipotesis de igualdad de varianza,en conclusión el modelo es adecuado para poder explicar los efectos sobre la vida (horas) de la maquina en función con la velocidad corte, la geometria de herramienta y angulo de corte.

e) Con base en el ánalisis de las gráficas de los efectos principales y la interacciones, ¿cuáles serían los niveles de A, B y C que se recomendaría utilizar?

Gráfica de efectos individuales

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_velocidad=c(-1,1),f_geometria=c(-1,1),f_angulo=c(-1,1)),replications = 3,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Replica)
MEPlot(experimento_resp)

Grafica de Interacciones:

IAPlot(experimento_resp)

De acuerdo a la grafica de efectos individuales quien hace mayor efecto es el factor geometria de herramienta y el ángulo ya que su pendiente es mas pronunciada, por lo que en terminos individuales el factor geometria es mas significativo. De acuerdo a la gráfica de interaccion se observa la velocidad en minimo y se cambia la geometría de herramienta a máximo se observa como si existe interacción, de igualmanera que el ángulo.