Diseño Factorial
Norma Itzel García Carrillo
2021-09-27
1 DISEÑO DE EXPERIMENTO \(2^3\)
Ejercicio 6.1 del libro (Montgomery, 2004)
Un ingeniero está interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte(C) sobre la vida (en horas) de una máquina de herramientas. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres réplicas de un diseño factorial \(2^2\). Los resultados fueron los siguientes:
Resolver lo siguiente:
- Estimar los efectos de los factores. ¿Qué efectos parecen ser grandes?
- Usar el análisis de varianza para confirmar las conclusiones del insiso a.
- Escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base en los resultados de este experimento.
- Analizar los residuales. ¿Hay algún problema evidente?
- Con base en el análisis delas gráficas de los efectos principales y las interacciones ¿Cuáles serían los niveles de A, B y C que se recomendaría usar?
1.1 Punto A
Primero se importa los datos de Excel.
library(readxl)
datos=read_excel(path = "dataset.xlsx")
View(datos)
attach(datos)Ahora se declaran los 3 elementos que se mencionaron para poder obtener el modelo matematico
f_vl=factor(Velocidad_corte)
f_ge=factor(Geometria)
f_ag=factor(Angulo_corte)
modelo=lm(Horas_Vida~(f_vl+f_ge+f_ag+f_vl*f_ge+f_vl*f_ag+f_ge*f_ag+f_vl*f_ge*f_ag))
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = Horas_Vida ~ (f_vl + f_ge + f_ag + f_vl * f_ge +
## f_vl * f_ag + f_ge * f_ag + f_vl * f_ge * f_ag))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.667 -3.500 -1.167 3.167 10.333
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 26.000 3.171 8.199 4.02e-07 ***
## f_vl1 8.667 4.485 1.933 0.07119 .
## f_ge1 13.667 4.485 3.048 0.00768 **
## f_ag1 16.333 4.485 3.642 0.00219 **
## f_vl1:f_ge1 1.000 6.342 0.158 0.87668
## f_vl1:f_ag1 -13.333 6.342 -2.102 0.05171 .
## f_ge1:f_ag1 -1.333 6.342 -0.210 0.83614
## f_vl1:f_ge1:f_ag1 -8.667 8.969 -0.966 0.34828
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.492 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7696, Adjusted R-squared: 0.6689
## F-statistic: 7.637 on 7 and 16 DF, p-value: 0.0003977También se colocan los datos de manera gráfica con las siguientes fórmulas.
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_vel=c(-1,1),f_geo=c(-1,1),f_angulo=c(-1,1)),replications = 3,randomize= FALSE)
experimento_resp=add.response(design=experimento,response=Horas_Vida)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Efectos Individuales")
grafica_interacciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Interacciones")
head(grafica_efectos_principales)## f_vel f_geo f_angulo
## - 40.66667 35.16667 37.41667
## + 41.00000 46.50000 44.25000head(grafica_interacciones)## f_vel:f_geo f_vel:f_angulo f_geo:f_angulo
## -:- 34.16667 32.83333 30.33333
## +:- 36.16667 42.00000 44.50000
## -:+ 47.16667 48.50000 40.00000
## +:+ 45.83333 40.00000 48.50000Dado a lo anterior, se nota que los efectos individuales de la geometría de la herramienta y el ángulo de corte son los más grandes, esto tomando como referencia los valores P de cada uno de ellos. Posiblemente, se puede tomar la interacción entre la velocidad de corte y el ángulo de corte, como significativa dado su valor (0.0511) tan cercano a 0.05.
1.2 Punto B
Para confirmar el anterior punto, se realiza el Analisis de Varianza o conocida como tabla ANOVA.
anova=aov(modelo)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## f_vl 1 0.7 0.7 0.022 0.883680
## f_ge 1 770.7 770.7 25.547 0.000117 ***
## f_ag 1 280.2 280.2 9.287 0.007679 **
## f_vl:f_ge 1 16.7 16.7 0.552 0.468078
## f_vl:f_ag 1 468.2 468.2 15.519 0.001172 **
## f_ge:f_ag 1 48.2 48.2 1.597 0.224475
## f_vl:f_ge:f_ag 1 28.2 28.2 0.934 0.348282
## Residuals 16 482.7 30.2
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Viendo la tabla se determina que la geometría de la herramienta es el efecto que más impacta en la vida en horas de una máquina. También impacta el ángulo de corte y la interacción entre la velocidad y el angulo de corte.
1.3 Punto C
El modelo estadistico se presenta a continuación
\(Horas_{ijk}=26+8.67Vl_i+13.67Geo_j+16.33Anglo_k+1VlGeo_{ij}-13.33VlAnglo_{ik}-1.33GeoAnglo_{jk}-8.67VlGeoAnglo_{ijk}+ε_{ijk}\)
1.4 Punto D
Una vez realizado el Análisis de Varianza, es importante verificar las pruebas de adecuación del modelo, para lo cual se efectuarán las siguientes pruebas:
A. Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro Wilks B. Prueba de Barttlet para Igualdad de Varianzas
1.4.1 Prueba Shapiro
Para el caso específico de la normalidad, procederemos a utilizar la Prueba de Bondad de Ajuste a la Distribución Normal de Shapiro-Wilks, aunque cabe mencionar que puede utilizarse cualquier otra, como Kolmogorov-Smirnov o Anderson-Darlind, la prueba de Shapiro-Wilks está diseñada específicamente para la Distribución Normal(Montgomery, 2004).
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: resid(modelo)
## W = 0.92106, p-value = 0.06166Dado a los resultados obtenidos, se acepta la hipotesis nula ya que el valor de P es mayor que 0.05 y se puede continuar en el analisis.
1.4.2 Prueba Barttlet
La Prueba de Homocedasticidad, o de Varianzas Iguales, se realiza mediante la Prueba de Bartlett, misma que para el caso particular, como sólo es significativo el factor de tratamiento, solo se considerará éste para la ejecución de la prueba(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012).
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_vl,f_ge,f_ag,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: resid(modelo) and f_vl
## Bartlett's K-squared = 0.30309, df = 1, p-value = 0.582Viendo los resultados, se ve que los residuos si son constantes y finalmente, se concluye que el modelo estadistico es adecuado en este problema.
1.5 Punto E
Dado las gráficas obtenidas anteriormente, se determina que la mejor combinacion de los efectos A, B y C sería -1, 1, 1, respectivamente.