Ejercicio 6-1

Un ingeniero esta interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometria de la herramienta (B) y el angulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una maquina de herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres replicas de un diseño factorial \(2^3\). Los resultados fueron los siguientes:

A B C Combinacion de tratamientos Replica I Replica II Replica III
- - - (1) 22 31 25
+ - - a 32 43 29
- + - b 35 34 50
+ + - ab 55 47 46
- - + c 44 45 38
+ - + ac 40 37 36
- + + bc 60 50 54
+ + + abc 39 41 49
  1. Estimar los efectos de los factores. ¿Que efectos parecen ser grandes?
  2. Usar el analisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a.
  3. Escribir un modelo de regresion para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base los resultados de este experimento.
  4. Analizar los residuales. ¿Hay algun problema evidente?
  5. Con base el analisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuales serian los niveles de A, B y C que se recomendaria utilizar?

Como primer paso debemos importar los datos desde el archivo que los contiene, ubicado en la carpeta de trabajo, que para este caso se llama dataset.txt.

library(readxl)
library(FrF2)
datos=read_excel(path ="dataset.xlsx") 
attach(datos)

a) Estimar los efectos de los factores. ¿Que efectos parecen ser grandes?

Para calcular los efectos de los factores, debemos considerar que en la ejecución de un diseño factorial completo \(2^3\); el modelo matemático que relaciona los efectos de los factores en la variable de salida queda de la siguiente manera:

#--------Modelo matematico---------#
f_velocidad=factor(Velocidad)
f_geometria=factor(Geometria)
f_angulo=factor(Angulo)
modelo=lm(Respuesta~(f_velocidad+f_geometria+f_angulo+f_velocidad*f_geometria+f_velocidad*f_angulo+f_geometria*f_angulo+f_velocidad*f_geometria*f_angulo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Respuesta ~ (f_velocidad + f_geometria + 
##     f_angulo + f_velocidad * f_geometria + f_velocidad * f_angulo + 
##     f_geometria * f_angulo + f_velocidad * f_geometria * f_angulo))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.667 -3.500 -1.167  3.167 10.333 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                           26.000      3.171   8.199 4.02e-07 ***
## f_velocidad1                           8.667      4.485   1.933  0.07119 .  
## f_geometria1                          13.667      4.485   3.048  0.00768 ** 
## f_angulo1                             16.333      4.485   3.642  0.00219 ** 
## f_velocidad1:f_geometria1              1.000      6.342   0.158  0.87668    
## f_velocidad1:f_angulo1               -13.333      6.342  -2.102  0.05171 .  
## f_geometria1:f_angulo1                -1.333      6.342  -0.210  0.83614    
## f_velocidad1:f_geometria1:f_angulo1   -8.667      8.969  -0.966  0.34828    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.492 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7696, Adjusted R-squared:  0.6689 
## F-statistic: 7.637 on 7 and 16 DF,  p-value: 0.0003977

De acuerdo a los resultados obtenidos sobre los efectos de los factores se obtiene que todo los valores que son \(Valor_p<0.05\) tienen efectos significativos en la vida (en horas) de la maquina de herramienta, en este caso el factor geometria de la herramienta y angulo de corte son los que influyen mayormente en la variable de respuesta.

b) Usar el analisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a.

Para verificar la significancia de los efectos de los factores se utiliza el Analisis de Varianza (ANOVA). A continuacion, se presentan los calculos:

#-----------Tabla ANOVA-----------#
anova(aov(modelo))
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: Respuesta
##                                  Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## f_velocidad                       1   0.67    0.67  0.0221 0.8836803    
## f_geometria                       1 770.67  770.67 25.5470 0.0001173 ***
## f_angulo                          1 280.17  280.17  9.2873 0.0076787 ** 
## f_velocidad:f_geometria           1  16.67   16.67  0.5525 0.4680784    
## f_velocidad:f_angulo              1 468.17  468.17 15.5193 0.0011722 ** 
## f_geometria:f_angulo              1  48.17   48.17  1.5967 0.2244753    
## f_velocidad:f_geometria:f_angulo  1  28.17   28.17  0.9337 0.3482825    
## Residuals                        16 482.67   30.17                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Conclusion de la tabla anova, de acuerdo a los resultados estadisticos de la tabla se obtiene que el factor geometria de la herramienta es significativo, dado que, considerando un nivel de significancia de \(α=0.05\), \(Valor_p<α\), por lo que se rechaza la hipotesis nula, de la misma manera el factor angulo de corte tiene efectos significativos en la vida (en horas) de la maquina herraminetas. Finalmente, se obtiene que la interaccion de velocidad de corte y angulo de corte son significativos, es decir que influyen significativamente en la vida en horas de la maquina herramienta.

c) Escribir un modelo de regresion para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base los resultados de este experimento.

Para el caso del modelo estadistico, el resultado obtenido reporta que los coeficientes de regresion quedarian representados de la siguiente manera :

\[Y=26+13.667B+16.333C-13.333AC\]

d) Analizar los residuales. ¿Hay algun problema evidente?

En este caso se utiliza la prueba de normalidad de los residuos de Shapiro-Wilks, donde se plantean las siguientes hipotesis:

\[{H_0}={x∈N}{(μ=0,σ^2=Constante)}\]

\[{H_1}={x\notin N}{(μ=0,σ^2=Constante)}\]

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.92106, p-value = 0.06166

La hipotesis nula de la Prueba de Shapiro-Wilks se rechaza cuando el \(Valor_p<0.05\)

Los resultados obtenidos para la prueba de Shapiro-Wilk son que el \(valor_p\) es igual a 0.06166, por lo tanto se aceptan la Hipotesis nula, es decir que da evidencia de normalidad en los residuos,con \((μ=0,σ^2=Constante)\). Esto indica que el modelo es el adecuado para explicar la vida en horas de la maquina herramienta en función de los factores velocidad de corte, geometria de la herramienta y angulo de clorte.

Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett

La Prueba de Homocedasticidad, o de Varianzas Iguales, se realiza mediante la Prueba de Bartlett, misma que para el caso particular, como sólo es significativo el factor de tratamiento, solo se considerará éste para la ejecución de la prueba.

La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:

\[{H_0}:σ_i^2=σ_j^2=Constante\]

\[{H_1}:σ_i^2 \neq σ_j^2\neq Constante\]

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_velocidad,f_geometria,f_angulo,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_velocidad
## Bartlett's K-squared = 0.30309, df = 1, p-value = 0.582

Para que se pueda aceptar la igualdad de varianzas, es necesario que los residuales sean homocedásticos para todos los factores, y en el caso de el factor velocidad de corte, se acepta la hipótesis de igualdad de varianzas, dado que, el \(valor_p>0.05\). Dado lo anterior, se concluye que el modelo es adecuado para explicar los efectos sobre la vida (en horas) de la maquina herramienta en función de la velocidad de corte, la geometria de la herramienta y el angulo de corte.

e) Con base el analisis de las graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuales serian los niveles de A, B y C que se recomendaria utilizar?

Para obtener la grafica de los efectos individuales, se realiza lo siguiente:

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns=8,nfactors=3,factor.names=list(f_velocidad=c(-1,1),f_geometria=c(-1,1),f_angulo=c(-1,1)),replications=3,randomize=FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Respuesta)
MEPlot(experimento_resp)

Para obtener la grafica de interacciones, se realiza lo siguiente:

IAPlot(experimento_resp)

Para elcaso de la grafica de efectos individuales sobre la variable de respuesta se observa que, para el caso de todos los factores, el nivel alto de los efectos da mayor vida en horas de la maquina de herramienta, donde definitivamente el factor velocidad de corte no es nada significativo, debido a que su cambio de nivel bajo al alto no posee un cambio significativo en la vida en horas de la maquina. Por otra parte, el factor geometria dela figura es la mas significativa, ya que esta tiene una pediente muy pronunciada, es decir que su camnbio de nivel bajo al alto da una mayor vida en horas a la maquina de herramienta. Posteriormente, se observa la pediente del angulo de corte que igualmente esta muy pronunciada, es decir que su cambio de nivel bajo al alto aumenta la vida en horas, pero no tanto como la de la geometria de la herramienta.

Para el caso de la grafica de interacciones si se tiene el nivel mas bajo de la velocidad de corte y pasamos del minimo a el mas alto de la geometria de la herramienta se presenta un ligero incremento en la vida en horas. Por otra parte, si tengo en minimo la velocidad de corte y paso al angulo de corte de minimo a maximo, se observa un incremento mas pronunciado en esta interaccion.

En el caso de la interaccion de la geometria de la herramienta con la velocidad de corte, se observa que si estamos en el nivel mas minimo de la geometria y pasamos de minimo a maximo la velocidad de corte hay un incremento que en la vida en horas de la maquina de herramienta. Por otra parte, si estamos en el nivel minimo de la geometria y pasamos de minimo a maximo el angulo de corte, se presenta un incremento muy marcado en la vida en horas de la maquina de herramienta.

Para el caso de la interaccion del angulo con la velocidad se observa que si estamos en el nivel mas bajo del angulo y pasamos de minimo a maximo en la velocidad, se obtiene un incremento en la vida en horas de la maquina de herramienta, y si pasamos del minimo del angulo a el minimo a maximo de la geometria, se obtiene un incremeto un poco mas alto en la vida en horas.

Finalmente se observa que donde existe un incremento de la vida en horas de la maquina de herramienta es con respecto la geometria con el angulo de corte.

Dado lo anterior, se recomienda utilizar los niveles altos de B y C, es cedir de la geometria de la herramienta y el angulo de corte y el nivel bajo de A, que en este caso es de la velocidad de corte.