Introduccion

En el siguiente apartado se presentarán distintos ejercicios provinientes del libro de Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias-Cengage learning (2012) de Jay L. Devore, Patricia Solorio Gómez y Ana Elizabeth García Hernández. Tales ejercicios serán el 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 65 y el 67 de la sección 3.4 denominada distribución de probabilidad binomial (pag. 114-122) y los ejercicios 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47 y 49 de la sección 4.3 denominada distribución normal (pag. 152-165).

Metodologia

En el siguiente apartado se presento distintos ejercicios provinientes del libro de Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias-Cengage learning (2012) de Jay L. Devore, Patricia Solorio Gómez y Ana Elizabeth García Hernández. Tales ejercicios fueron el 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 65 y el 67 de la sección 3.4 denominada distribución de probabilidad binomial (pag. 114-122) y los ejercicios 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47 y 49 de la sección 4.3 denominada distribución normal (pag. 152-165).

Sección 3.4 Distribución de Probabilidad Binomial (pag. 114-122)

47. Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:

a. B(4; 15, .3)

Solución:

\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[x=4, n=15, p=0.3\]

pbinom(4, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.5154911

\[B(4; 15, .3) = 0.5154911\]

b. B(4; 15, .3)

Solución:

\[b(x;n,p) =\binom{n}{x} p^x\left(1-p\right)^{n-x}, x=0,1,2,..n\] \[\binom{n}{x}= \frac{n!}{k!(n-k)!},\, 0!=1\]

\[x=4, n=15, p=0.3\]

dbinom(4, size = 15, prob = 0.3) 
## [1] 0.2186231

\[b(4; 15, .3)=0.2186231\]

c. B(6; 15, .7)

Solución:

\[b(x;n,p) =\binom{n}{x} p^x\left(1-p\right)^{n-x}, x=0,1,2,..n\] \[\binom{n}{x}= \frac{n!}{k!(n-k)!},\, 0!=1\] \[x=6, n=15, p=0.7\]

dbinom(6, size = 15, prob = 0.7) 
## [1] 0.01159

\[b(6; 15, 0.7)=0.01159\]

d. P(2<=X<=4) cuando X~Bin(15, .3)

Solución:

\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(2<=X<=4) = P(X=2,3ó4) = P(X<=4) - P(X<=2) = B(4; 15, 0.3) - B(1; 15, 0.3)\] \[x=4, n=15, p=0.3 / x=1,n=15,p=0.3\]

pbinom(4, size=15, prob=0.3) - pbinom(1, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.4802235

\[B(4; 15, 0.3) - B(1; 15, 0.3) = 0.4802235\]

e. P(2<=X) cuando X~Bin(15, .3)

Solución:

\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(2<=X) = P(X>=2) = 1 - P(X<=1) = 1 - B(1; 15, 0.3)\] \[x=1, n=15, p=0.3\]

1 - pbinom(1, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.9647324

\[1 - B(1; 15, 0.3) = 0.9647324\]

f. P(X<=1) cuando X~Bin(15, .7)

Solución:

\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(X<=1) = B(1; 15, 0.7)\] \[x=1, n=15, p=0.7\]

pbinom(1, size=15, prob=0.7)
## [1] 5.165607e-07

\[B(1; 15, 0.7) = 5.165607e-07\]

g. P(2<X<6) cuando X~Bin(15, .3)

Solución: \[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(2<X<6) = P(X=3,4ó5) = P(X<=5) - P(X<=2) = B(5; 15, 0.3) - B(2; 15, 0.3)\] \[x=5, n=15, p=0.3 / x=2,n=15,p=0.3\]

pbinom(5, size=15, prob=0.3) - pbinom(2, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.5947937

\[B(5; 15, 0.3) - B(2; 15, 0.3) = 0.5947937 \]

49. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.

\[P(E)=p\] \[X=El-número-de-los-E-entre-los-n-ensayos\] \[b(x;n,p) =P(X=x)=\binom{n}{x} p^x\left(1-p\right)^{n-x}, x=0,1,2,..n\] \[\binom{n}{x}= \frac{n!}{k!(n-k)!},\, 0!=1\] \[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(E)=p=0.10\] \[X=E=copas-de-mesa-que-tienen-imperfecciones-cosméticas-y-deben-ser-clasificadas-como-“segundas"\] a. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea segunda?

Solución:

\[n=6, seis-copas-seleccionadas-al-azar\] \[X~Bin(6,0.1)\] \[P(X=1)=b(1;6,0.1)\]

dbinom(1, size = 6, prob = 0.1) 
## [1] 0.354294

\[P(X=1)=0,354294\]

b. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que por lo menos dos sean segundas?

Solución:

\[n=6, seis-copas-seleccionadas-al-azar\] \[X~Bin(6,0.1)\] \[P(2 ≤ X) = \sum_{x=2}^{6}{b(x; 6, 0.1)}\]

sum(dbinom(2:6, size = 6, prob = 0.1))
## [1] 0.114265

\[P(2 ≤ X) = 0.114265\]

c. Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho cinco deban ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean segundas?

Solución:

\[n=5, n=4una-copa-por-una-copa-seleccionadas-al-azar\] \[X~Bin(1,0.1)\] \[P(X=0)+P(X=1)=b(0;4,0.1)+0.9[b(1;4,0.1)]\]

dbinom(0, size = 4, prob = 0.1) + (dbinom(1, size = 4, prob = 0.1))*0.9
## [1] 0.91854

\[P(X=0)+P(X=1)=0.91854\] 51. Remítase al ejercicio previo.

a. ¿Cuál es el número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax?

Solucion:

\[E(X) = np = (25)(0.25) = 6.25\]

 25*0.25
## [1] 6.25

b ¿Cuál es la desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax?

Solucion:

\[V(X) = npq = q = (1 - 0.25) = (25)(0.25)(0.75) = 4.6875 σx = 2.165\]

x<- c(1,2,3,4,5,6,7) 
sd(x)
## [1] 2.160247

c ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de dos desviaciones estándar?

Solucion

\[=1-P(X - μ_z ≤2σ_x)\] \[=1-P(X≤μ_z +2σ_x)\] \[=1-P(X≤ 6.25+2(2.1651))\] \[=1-P(X≤ 10.5802)\] \[=1-P(X≤ 10)\] \[=1-\sum_{z=0}^{10} \binom{25}{x} (0.25)^x (1-0.25)^{25-x} \] \[=1-0.969 \] \[=0.31\]

sum(dbinom(1:2, size = 25, prob = 0.25))
## [1] 0.03135598

53. El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar

a. Por lo menos 10 no tengan infracciones?

Solucion: CORREGIRLOOOO

\[P(X≥10)= 1-P(X ≤9)=1-b( 9; 15, 0.40)= 1-0.966= 0.034\]

1-pbinom(10, size = 15, prob = 0.4)
## [1] 0.009347661

b. menos de la mitad tengan por lo menos una infracción?

Solucion:

\[P(X ≤7)= b( 7; 15, 0.40)= 0.787\]

sum(dbinom(0:7, size = 15, prob = 0.4))
## [1] 0.7868968

c. el número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, inclusive?

Solucion:

\[P(5 ≤X≤10 )= P(X≤10) - P(X≤4)= 0.991- 0.217= 0.774\]

sum(dbinom(5:10, size = 15, prob = 0.4))
## [1] 0.7733746

55. Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía. De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?

Solucion:

La probabilidad de que un computador sea devuelto y reparado es de: (0.20)(0.40) = 0.08

\[\binom{n}{k} p^k\left(1-p\right)^{n-k}\]

\[\binom{10}{2} (0.08)^2\left(0.92\right)^{8}\] \[=\frac{10!}{2!(10-2)!}=45\] \[=(45)(0.08)^2\left(0.92\right)^{8}\] \[=0,1478\]

dbinom(2, size = 10, prob = 0.08)
## [1] 0.147807

57. Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?

Solucion:

La probabilidad de que por lo menos 9 funcionen es

\[(0.9)(0.9)=0.81\] \[X ∼ Bin(10;0.81)\] \[P(x=9)=P(x=9)+P(x=10)\] \[=(\frac{10}{9})(0.81)^9 (0.19)+(\frac{10}{10})(0.81)^{10}\] \[=0.28517+0.12157\] \[= 0.40674\]

1-pbinom(8, size = 10, prob = 0.81)
## [1] 0.4067565

61. Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de .9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo .5 en lugar de .9?

Solucion:

Cuando p = .9, la probablidad para el tema “A” es \[P(.9)\] \[P(x≥1)= 1- P(x=0)\] \[=1-0,01\] \[=0,99\]

1-pbinom(0, size = 2, prob = 0.9)
## [1] 0.99

y para el tema “B”, la probabilidad es \[P(.9)\] \[P(x≥2)= 1- P(x≤1)\] \[=1-0,0037\] \[=0,9963\]

1-pbinom(1, size = 4, prob = 0.9)
## [1] 0.9963

Si p = .5, la probabilidad para el tema “A” es \[P(.5)\] \[1- P(x=0)\] \[=1-0,25\] \[=0,75\]

1-pbinom(0, size = 2, prob = 0.5)
## [1] 0.75

y para el tema “B”, la probabilidad es \[P(.5)\] \[1- P(x≤1)\] \[=1-0,3125\] \[=0,6875\]

1-pbinom(1, size = 4, prob = 0.5)
## [1] 0.6875

65. Los clientes en una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A),tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A) = .5 ,P(B)= .2 y P(C)= .3

a. Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y la varianza del número que paga con tarjeta de débito?

Solucion:

La media del pago con tarjeta de debito es

\[ media = (n)(p)\] \[= (100)(0.2)\] \[= 20\]

n <- 100
p <- 0.2
median(n*p)
## [1] 20

La varianza del pago con tarjeta de debito es

\[ varianza = (n)(p)(1-p)\] \[ = (100)(0.2)(0.8)\] \[ = 16\]

varianza <- function(n,p) {return(n*p*(1- p))}

varianza(100,0.2)
## [1] 16

b. Conteste el inciso (a) para el número entre los 100 que no pagan con efectivo.

Solucion:

La media de los que no pagan con efectivo es

\[ media = (n)(p)\] \[= (100)(0.7)\] \[= 70\]

n <- 100
p <- 0.7
median(n*p)
## [1] 70

La varianza de los que no pagan con efectivo es

\[ varianza = (n)(p)(1-p)\] \[ = (100)(0.7)(0.3)\] \[ = 21\]

varianza <- function(n,p) {return(n*p*(1- p))}

varianza(100,0.7)
## [1] 21

Sección 4.3 Distribución Normal (pag. 152-165)

29. En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.

\[Φ(Z) = P(Z<=z)\] \[Z~N(0,1); μ=0, σ=1\] a. Φ(c) = .9838

Solución:

\[Φ(c) = P(Z<=c)=0.9838\]

qnorm(0.9838)
## [1] 2.139441

\[c=2.139441\]

b. P(0<=Z<=c) = .291

Solución:

\[P(0<=Z<=c) = Φ(c)-Φ(0)=0.291\] \[ Φ(c)=0.291+Φ(0)\]

0.291 + pnorm(0)
## [1] 0.791

\[ Φ(c)=0.791\]

qnorm(0.791)
## [1] 0.8098959

\[c=0.8098959\]

c. P(c<=Z) = .121

Solución:

\[P(c<=Z)=P(Z>=c)=1-P(Z<=c)=0.121\] \[Φ(c)=P(Z<=c)=1-0.121\]

qnorm(1-0.121)
## [1] 1.170002

\[c=1.170002\]

d. P(-c<=Z<=c) = 0.668

Solución:

\[P(-c<=Z<=c) = Φ(c)-Φ(-c)=0.668\] \[P(Z<=c)-P(Z<=-c)=P(Z<=c)-P(Z>=c)=0.668\] \[P(Z<=c)-[1-P(Z<=c)]=Φ(c)-1+Φ(c)=0.668\] \[Φ(c)= \frac{0.668+1}{2}=0.834\]

qnorm(0.834)
## [1] 0.9700933

\[c=0.9700933, -c=-0.9700933\]

e. P(c<=|Z|) = .016

Solución:

\[ P(c<=|Z|) =P(-c<=Z<=c)=Φ(c)-Φ(-c)= 0.016\] \[P(Z<=c)-P(Z<=-c)=P(Z<=c)-P(Z>=c)=0.016\] \[P(Z<=c)-[1-P(Z<=c)]=Φ(c)-1+Φ(c)=0.016\] \[Φ(c)= \frac{0.016+1}{2}=0.508\]

qnorm(0.508)
## [1] 0.02005437

\[c= 0.02005437, -c=- 0.02005437\]

31. Determine Z_α para lo siguiente

a. α = .0055

Solucion:

\[= P(X <x)=0.0055 \] \[=P(\frac{X-μ}{σ} <\frac{x-μ}{σ})=0.0055\] \[=P(Z <Z_α)=0.0055\] \[ =(1-0.0055)\] \[=0.9945\]

qnorm(0.9945)
## [1] 2.542699

\[ = Z_α = 2.54\] b. α = .09

Solucion:

\[= P(X <x)=0.09 \] \[=P(\frac{X-μ}{σ} <\frac{x-μ}{σ})=0.09\] \[=P(Z <Z_α)=0.09\] \[ =(1-0.09)\] \[=0.91\]

qnorm(0.91)
## [1] 1.340755

\[ = Z_α = 1.34\] c. α = .663

Solucion:

\[= P(X <x)=0.663 \] \[=P(\frac{X-μ}{σ} <\frac{x-μ}{σ})=0.663\] \[=P(Z <Z_α)=0.663\] \[ =(1-0.663)\] \[=0.337\]

qnorm(0.337)
## [1] -0.4206646

\[ = Z_α = -0.42\]

49. Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intervalos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.]

\[Z=\frac{X-μ}{σ}\] \[P(a<=X<=b)=(\frac{a-μ}{σ}<=Z<=\frac{b-μ}{σ})=Φ(\frac{b-μ}{σ})-Φ(\frac{a-μ}{σ})\] \[P(X<=a)=Φ(\frac{a-μ}{σ})=P(Z<=z), P(X>=b)=1-Φ(\frac{b-μ}{σ})\] \[μ=3432,σ=482 \] \[X=El-peso-al-nacer-de-bebés-nacidos-en-Estados-Unidos\] \[X~N(3432,482)\] a. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos? ¿Esté entre 3000 y 4000 gramos?

Solución:

-1era forma de resolver: \[P(X>4000)=1-P(X<=4000)\]

1 - pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.1198007

-2da forma de resolver: \[P(X>4000)\]

pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.1198007

-3era forma de resolver: \[P(X>4000)=1-P(X<=4000)=1-Φ(\frac{4000-3432}{483})=1-P(Z<=1.178423237)\]

1 - pnorm(1.178423237)
## [1] 0.119314

\[P(X>4000)=0.1198007\]

\[P(3000<X<4000)=1-P(X>=4000)-P(X<=3000)\] \[P(3000<X<4000)=1-[1-P(X<=4000)]-P(X<=3000)\]

pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE) - pnorm(3000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.694648

\[P(3000<X<4000)=0.694648\]

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos?

Solución:

\[P(X<2000 ó X>5000)=P(X<2000)+P(X>5000)\]

pnorm(2000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE) + pnorm(5000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.002098803

\[P(X<2000 ó X>5000)=0.002098803\]

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?

\[7lb=3175.15 g\] \[P(X>3175.15)\]

pnorm(3175.15, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.702561

d. ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de todos los pesos al nacer?

Solución:

El 0.001 corresponde a los valores más extremos de la distribución; de tal modo que, para el porcentaje correspondiente para la parte superior corresponde a 0.0005, de igual manera para la parte inferior. \[Φ(z)=P(Z<=z)=el-área-bajo-la-curva-de-densidad-normal-estandar-a-la-izquierda-de-z\] \[z_α= denotará-el-valor-sobre-el-eje-z-para-el-cual-α-del-área-bajo-la-curva-z-queda-a-la-derecha-de-z_α\] \[1-α, es-el-área-que-queda-a-la-izquierda\] \[z_α,es-el-(100-α)^{°}-percentil-de-la-distribución-normal-estándar\] \[P(Z>=z_α)=α\] \[z_α=z_.0005, α=0.0005, 1-α=1-0.0005=0.9995\] 0.9995 corresponde al área a la izquierda. Por lo tanto, ya se puede calcular el percentil asociado. \[(100-α)^{°}=(100-0.0005)^{°}=(99.9995)^{°} percentil\]

qnorm(0.9995)
## [1] 3.290527

\[(99.9995)^{°} percentil=3.290527, z=3.290527\] Ya que el cálculo se está realizando para el 0.001 corresponde a los valores más extremos de la distribución, entonces, por simetría de la distribución normal de los datos: \[z=±3.290527,μ=3432,σ=482\] -Para el extremo inferior

3432-3.290527*482
## [1] 1845.966

-Para el extremo superior

3432+3.290527*482
## [1] 5018.034

\[>5018.034 ó < 1845.966, z_.0005=3.290527\]

e. Si X es una variable aleatoria con una distribución normal y a es una constante numérica (a≠0) , entonces Y=aX también tiene una distribución normal. Use esto para determinar la distribución de pesos al nacer expresados en libras (forma, media y desviación estándar) y luego calcule otra vez la probabilidad del inciso (c). ¿Cómo se compara ésta con su respuesta previa?

Solución:

\[μ=3432g,σ=482g->μ=7.566265lb,σ=1.06263lb\] -¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?

\[P(X>7)\]

pnorm(7, mean = 7.5662, sd = 1.0626, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.7029292

\[P(X>7)=0.7029292\] La probabilidad obtenida en unidades de libras en el inciso d es la misma calculada en unidades de gramos en el inciso c.