En el siguiente apartado se presentarán distintos ejercicios provinientes del libro de Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias-Cengage learning (2012) de Jay L. Devore, Patricia Solorio Gómez y Ana Elizabeth García Hernández. Tales ejercicios serán el 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 65 y el 67 de la sección 3.4 denominada distribución de probabilidad binomial (pag. 114-122) y los ejercicios 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47 y 49 de la sección 4.3 denominada distribución normal (pag. 152-165).
47. Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:
a. B(4; 15, .3)
Solución:
\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[x=4, n=15, p=0.3\]
pbinom(4, size=15, prob=0.3)## [1] 0.5154911\[B(4; 15, .3) = 0.5154911\]
b. B(4; 15, .3)
Solución:
\[b(x;n,p) =\binom{n}{x} p^x\left(1-p\right)^{n-x}, x=0,1,2,..n\] \[\binom{n}{x}= \frac{n!}{k!(n-k)!},\, 0!=1\]
\[x=4, n=15, p=0.3\]
dbinom(4, size = 15, prob = 0.3) ## [1] 0.2186231\[b(4; 15, .3)=0.2186231\]
c. B(6; 15, .7)
Solución:
\[b(x;n,p) =\binom{n}{x} p^x\left(1-p\right)^{n-x}, x=0,1,2,..n\] \[\binom{n}{x}= \frac{n!}{k!(n-k)!},\, 0!=1\] \[x=6, n=15, p=0.7\]
dbinom(6, size = 15, prob = 0.7) ## [1] 0.01159\[b(6; 15, 0.7)=0.01159\]
d. P(2<=X<=4) cuando X~Bin(15, .3)
Solución:
\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(2<=X<=4) = P(X=2,3ó4) = P(X<=4) - P(X<=2) = B(4; 15, 0.3) - B(1; 15, 0.3)\] \[x=4, n=15, p=0.3 / x=1,n=15,p=0.3\]
pbinom(4, size=15, prob=0.3) - pbinom(1, size=15, prob=0.3)## [1] 0.4802235\[B(4; 15, 0.3) - B(1; 15, 0.3) = 0.4802235\]
e. P(2<=X) cuando X~Bin(15, .3)
Solución:
\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(2<=X) = P(X>=2) = 1 - P(X<=1) = 1 - B(1; 15, 0.3)\] \[x=1, n=15, p=0.3\]
1 - pbinom(1, size=15, prob=0.3)## [1] 0.9647324\[1 - B(1; 15, 0.3) = 0.9647324\]
f. P(X<=1) cuando X~Bin(15, .7)
Solución:
\[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(X<=1) = B(1; 15, 0.7)\] \[x=1, n=15, p=0.7\]
pbinom(1, size=15, prob=0.7)## [1] 5.165607e-07\[B(1; 15, 0.7) = 5.165607e-07\]
g. P(2<X<6) cuando X~Bin(15, .3)
Solución: \[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(2<X<6) = P(X=3,4ó5) = P(X<=5) - P(X<=2) = B(5; 15, 0.3) - B(2; 15, 0.3)\] \[x=5, n=15, p=0.3 / x=2,n=15,p=0.3\]
pbinom(5, size=15, prob=0.3) - pbinom(2, size=15, prob=0.3)## [1] 0.5947937\[B(5; 15, 0.3) - B(2; 15, 0.3) = 0.5947937 \]
49. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.
\[P(E)=p\] \[X=El-número-de-los-E-entre-los-n-ensayos\] \[b(x;n,p) =P(X=x)=\binom{n}{x} p^x\left(1-p\right)^{n-x}, x=0,1,2,..n\] \[\binom{n}{x}= \frac{n!}{k!(n-k)!},\, 0!=1\] \[P(X ≤ x) = B(x; n, p) = \sum_{y=0}^{x}{b(y; n, p),x = 0, 1, 2, . . . , n}\] \[P(E)=p=0.10\] \[X=E=copas-de-mesa-que-tienen-imperfecciones-cosméticas-y-deben-ser-clasificadas-como-“segundas"\] a. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea segunda?
Solución:
\[n=6, seis-copas-seleccionadas-al-azar\] \[X~Bin(6,0.1)\] \[P(X=1)=b(1;6,0.1)\]
dbinom(1, size = 6, prob = 0.1) ## [1] 0.354294\[P(X=1)=0,354294\]
b. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que por lo menos dos sean segundas?
Solución:
\[n=6, seis-copas-seleccionadas-al-azar\] \[X~Bin(6,0.1)\] \[P(2 ≤ X) = \sum_{x=2}^{6}{b(x; 6, 0.1)}\]
sum(dbinom(2:6, size = 6, prob = 0.1))## [1] 0.114265\[P(2 ≤ X) = 0.114265\]
c. Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho cinco deban ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean segundas?
Solución:
\[n=5, n=4una-copa-por-una-copa-seleccionadas-al-azar\] \[X~Bin(1,0.1)\] \[P(X=0)+P(X=1)=b(0;4,0.1)+0.9[b(1;4,0.1)]\]
dbinom(0, size = 4, prob = 0.1) + (dbinom(1, size = 4, prob = 0.1))*0.9## [1] 0.91854\[P(X=0)+P(X=1)=0.91854\] 51. Remítase al ejercicio previo.
a. ¿Cuál es el número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax?
Solucion:
\[E(X) = np = (25)(0.25) = 6.25\]
25*0.25## [1] 6.25b ¿Cuál es la desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax?
Solucion:
\[V(X) = npq = q = (1 - 0.25) = (25)(0.25)(0.75) = 4.6875 σ_x = 2.165\]
x<- c(1,2,3,4,5,6,7)
sd(x)## [1] 2.160247c ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de dos desviaciones estándar?
Solucion
\[=1-P(X - μ_z ≤2σ_x)\] \[=1-P(X≤μ_z +2σ_x)\] \[=1-P(X≤ 6.25+2(2.1651))\] \[=1-P(X≤ 10.5802)\] \[=1-P(X≤ 10)\] \[=1-\sum_{z=0}^{10} \binom{25}{x} (0.25)^x (1-0.25)^{25-x} \] \[=1-0.969 \] \[=0.031\]
sum(dbinom(1:2, size = 25, prob = 0.25))## [1] 0.0313559853. El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar
a. Por lo menos 10 no tengan infracciones?
Solucion:
\[P(X≥10)= 1-P(X ≤9)=1-b( 9; 15, 0.40)= 0.403\]
1-pbinom(9, size=15, prob=0.6)## [1] 0.4032156b. menos de la mitad tengan por lo menos una infracción?
Solucion:
\[P(X ≤7)= b( 7; 15, 0.40)= 0.787\]
sum(dbinom(0:7, size = 15, prob = 0.4))## [1] 0.7868968c. el número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, inclusive?
Solucion:
\[P(5 ≤X≤10 )= P(X≤10) - P(X≤4)= 0.991- 0.217= 0.774\]
sum(dbinom(5:10, size = 15, prob = 0.4))## [1] 0.773374655. Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía. De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?
Solucion:
La probabilidad de que un computador sea devuelto y reparado es de: (0.20)(0.40) = 0.08
\[\binom{n}{k} p^k\left(1-p\right)^{n-k}\]
\[\binom{10}{2} (0.08)^2\left(0.92\right)^{8}\] \[=\frac{10!}{2!(10-2)!}=45\] \[=(45)(0.08)^2\left(0.92\right)^{8}\] \[=0,1478\]
dbinom(2, size = 10, prob = 0.08)## [1] 0.14780757. Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?
Solucion:
La probabilidad de que por lo menos 9 funcionen es
\[(0.9)(0.9)=0.81\] \[X ∼ Bin(10;0.81)\] \[P(x=9)=P(x=9)+P(x=10)\] \[=(\frac{10}{9})(0.81)^9 (0.19)+(\frac{10}{10})(0.81)^{10}\] \[=0.28517+0.12157\] \[= 0.40674\]
1-pbinom(8, size = 10, prob = 0.81)## [1] 0.406756559. Un reglamento que requiere que se instale un detector de humo en todas las casas previamente construidas ha estado en vigor en una ciudad particular durante 1 año. Al departamento de bomberos le preocupa que muchas casas permanezcan sin detectores. Sea p = la proporción verdadera de las casas que tienen detectores y suponga que se inspecciona una muestra aleatoria de 25 casas. Si ésta indica marcadamente que menos de 80% de todas las casas tienen un detector, el departamento de bomberos lanzará una campaña para la puesta en ejecución de un programa de inspección obligatorio. Debido a lo caro del programa, el departamento prefiere no requerir tales inspecciones a menos que una evidencia muestral indique que se requieren. Sea X el número de casas con detectores entre las 25 muestreadas. Considere rechazar el requerimiento de que si p ≥ .8 si x ≤ 15.
Solucion:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el requerimiento sea rechazado cuando el valor real de p es 0.8? \[n = 25\] \[p = 0.8 \]
pbinom(15, size=25, prob=0.8)## [1] 0.01733187b. ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = 0.7? ¿Cuando p = 0.6? \[p = 0.7 \]
1-pbinom(15, size=25, prob=0.7)## [1] 0.810564c. ¿Cómo cambian las “probabilidades de error” de los incisos (a) y (b) si el valor 15 en la regla de decisión es reemplazado por 14? \[p=0.6\]
1-pbinom(15, size=25, prob=0.6)## [1] 0.42461761. Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de .9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo .5 en lugar de .9?
Solucion:
Cuando p = .9, la probablidad para el tema “A” es \[P(.9)\] \[P(X≥1)= 1- P(X=0)\] \[=1-0,01\] \[=0,99\]
1-pbinom(0, size = 2, prob = 0.9)## [1] 0.99y para el tema “B”, la probabilidad es \[P(.9)\] \[P(x≥2)= 1- P(x≤1)\] \[=1-0,0037\] \[=0,9963\]
1-pbinom(1, size = 4, prob = 0.9)## [1] 0.9963Si p = .5, la probabilidad para el tema “A” es \[P(.5)\] \[1- P(x=0)\] \[=1-0,25\] \[=0,75\]
1-pbinom(0, size = 2, prob = 0.5)## [1] 0.75y para el tema “B”, la probabilidad es \[P(.5)\] \[1- P(x≤1)\] \[=1-0,3125\] \[=0,6875\]
1-pbinom(1, size = 4, prob = 0.5)## [1] 0.687565. Los clientes en una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A),tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A) = .5 ,P(B)= .2 y P(C)= .3
a. Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y la varianza del número que paga con tarjeta de débito?
Solucion:
La media del pago con tarjeta de debito es
\[ media = (n)(p)\] \[= (100)(0.2)\] \[= 20\]
n <- 100
p <- 0.2
median(n*p)## [1] 20La varianza del pago con tarjeta de debito es
\[ varianza = (n)(p)(1-p)\] \[ = (100)(0.2)(0.8)\] \[ = 16\]
varianza <- function(n,p) {return(n*p*(1- p))}
varianza(100,0.2)## [1] 16b. Conteste el inciso (a) para el número entre los 100 que no pagan con efectivo.
Solucion:
La media de los que no pagan con efectivo es
\[ media = (n)(p)\] \[= (100)(0.7)\] \[= 70\]
n <- 100
p <- 0.7
median(n*p)## [1] 70La varianza de los que no pagan con efectivo es
\[ varianza = (n)(p)(1-p)\] \[ = (100)(0.7)(0.3)\] \[ = 21\]
varianza <- function(n,p) {return(n*p*(1- p))}
varianza(100,0.7)## [1] 2167. Remítase a la desigualdad de Chebyshev dada en el ejercicio 44. Calcule P(|X-μ|)>=kσ) con k=2 y k=3 cuando X~Bin(20, .5) y compare con el límite superior correspondiente. Repita para X~Bin(20, .75).
\[P(|X-μ|>=kσ)\] \[X~ Bin(n, p)\] \[μ_X=E(X)=np\] \[σ_X=(npq)^{1/2}, q=1-p\] -Calcule P(|X-μ|)>=kσ) con k=2 y k=3 cuando X~Bin(20, .5) \[X~Bin(20,0.5), n=20,p=0.5\]
20*0.5## [1] 10\[μ_X=10\]
sqrt(20*0.5*(1-0.5))## [1] 2.236068\[σ_X=2.236068\] \[P(|X-10|>=k2.236068)=P[(X-10)>=k2.23808]+P[(X-10)<=(-k2.236068)]\]
Para k=2
\[1-P[(X-10)<=4.47616]+P[(X-10)<=(-4.47616)]\] \[1-P(X<=14.47616)+P(X<=5.52384)\]
1 - pbinom(14.47616, size=20, prob=0.5) + pbinom(5.52384, size=20, prob=0.5)## [1] 0.04138947\[P(|X-μ|>=2σ)=0.04138947\] Para k=3
\[1-P[(X-10)<=6.708204]+P[(X-10)<=(-6.708204)]\] \[1-P(X<=16.708204)+P(X<=3.291796)\]
1 - pbinom(16.708204, size=20, prob=0.5) + pbinom(3.291796, size=20, prob=0.5)## [1] 0.002576828\[P(|X-μ|>=3σ)=0.002576828\]
-Calcule P(|X-μ|)>=kσ) con k=2 y k=3 cuando X~Bin(20, .75) \[X~Bin(20,0.75), n=20,p=0.75\]
20*0.75## [1] 15\[μ_X=15\]
sqrt(20*0.75*(1-0.75))## [1] 1.936492\[σ_X=1.936492\] \[P(|X-15|>=k1.936492)=P[(X-15)>=k1.936492]+P[(X-15)<=(-k1.936492)]\]
Para k=2
\[1-P[(X-15)<=3.872984]+P[(X-15)<=(-3.872984)]\] \[1-P(X<=18.872984)+P(X<=11.127016)\]
1 - pbinom(18.872984, size=20, prob=0.75) + pbinom(11.127016, size=20, prob=0.75)## [1] 0.06523779\[P(|X-μ|>=2σ)=0.06523779\]
Para k=3
\[1-P[(X-15)<=5.809476]+P[(X-15)<=(-5.809476)]\] \[1-P(X<=20.809476)+P(X<=9.190524)\]
1 - pbinom(20.809476, size=20, prob=0.75) + pbinom(9.190524, size=20, prob=0.75)## [1] 0.003942142\[P(|X-μ|>=3σ)=0.003942142\]
29. En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.
\[Φ(z) = P(Z<=z)\] \[Z~N(0,1); μ=0, σ=1\] a. Φ(c) = .9838
Solución:
\[Φ(c) = P(Z<=c)=0.9838\]
qnorm(0.9838)## [1] 2.139441\[c=2.139441\]
b. P(0<=Z<=c) = .291
Solución:
\[P(0<=Z<=c) = Φ(c)-Φ(0)=0.291\] \[ Φ(c)=0.291+Φ(0)\]
0.291 + pnorm(0)## [1] 0.791\[ Φ(c)=0.791\]
qnorm(0.791)## [1] 0.8098959\[c=0.8098959\]
c. P(c<=Z) = .121
Solución:
\[P(c<=Z)=P(Z>=c)=1-P(Z<=c)=0.121\] \[Φ(c)=P(Z<=c)=1-0.121\]
qnorm(1-0.121)## [1] 1.170002\[c=1.170002\]
d. P(-c<=Z<=c) = 0.668
Solución:
\[P(-c<=Z<=c) = Φ(c)-Φ(-c)=0.668\] \[P(Z<=c)-P(Z<=-c)=P(Z<=c)-P(Z>=c)=0.668\] \[P(Z<=c)-[1-P(Z<=c)]=Φ(c)-1+Φ(c)=0.668\] \[Φ(c)= \frac{0.668+1}{2}=0.834\]
qnorm(0.834)## [1] 0.9700933\[c=0.9700933, -c=-0.9700933\]
e. P(c<=|Z|) = .016
Solución:
\[ P(c<=|Z|) =P(-c<=Z<=c)=Φ(c)-Φ(-c)= 0.016\] \[P(Z<=c)-P(Z<=-c)=P(Z<=c)-P(Z>=c)=0.016\] \[P(Z<=c)-[1-P(Z<=c)]=Φ(c)-1+Φ(c)=0.016\] \[Φ(c)= \frac{0.016+1}{2}=0.508\]
qnorm(0.508)## [1] 0.02005437\[c= 0.02005437, -c=- 0.02005437\]
31. Determine Z_α para lo siguiente
a. α = .0055
Solucion:
\[= P(X <x)=0.0055 \] \[=P(\frac{X-μ}{σ} <\frac{x-μ}{σ})=0.0055\] \[=P(Z <Z_α)=0.0055\] \[ =(1-0.0055)\] \[=0.9945\]
qnorm(0.9945)## [1] 2.542699\[ = Z_α = 2.54\] b. α = .09
Solucion:
\[= P(X <x)=0.09 \] \[=P(\frac{X-μ}{σ} <\frac{x-μ}{σ})=0.09\] \[=P(Z <Z_α)=0.09\] \[ =(1-0.09)\] \[=0.91\]
qnorm(0.91)## [1] 1.340755\[ = Z_α = 1.34\] c. α = .663
Solucion:
\[= P(X <x)=0.663 \] \[=P(\frac{X-μ}{σ} <\frac{x-μ}{σ})=0.663\] \[=P(Z <Z_α)=0.663\] \[ =(1-0.663)\] \[=0.337\]
qnorm(0.337)## [1] -0.4206646\[ = Z_α = -0.42\] 33. Las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50cm3) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds in Periodic Motor Vehicle Inspections” (J. of Automobile Engr.,2008: 1615–1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea a lo sumo 50 km/h?
Solucion:
\[=P(X≤50)=P(\frac{X-46.8}{1.75}≤\frac{50-46.8}{1.75})\] \[=P(Z≤1.83) \] \[ =Φ(1.83) \] \[=0.9664\]
pnorm(50, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=TRUE)## [1] 0.9662681b. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h?
Solucion:
\[=P(X≤48)=P(\frac{X-46.8}{1.75}≤\frac{48-46.8}{1.75})\] \[=P(Z≤-0.69) \] \[ =Φ(-0.69) \] \[=0.2451\]
pnorm(48, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)## [1] 0.2464466c. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar?
Solucion:
\[ =P(-1.5σ<X-μ<1.5σ) \] \[ =P(-1.5<Z<1.5) \] \[ =0.8664\]
pnorm(48.3, mean = 46.8, sd = 1.5, lower.tail=TRUE)## [1] 0.841344735. Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con μ=8.8 y σ=2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning” (Forest Products J., mayo de 1997; 36–41).
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar será por lo menos de 10 pulg? ¿Y que exceda de 10 pulg?
Solucion:
\[=P(X > 10) = P(X ≥ 10) \] \[= 0.333\]
1-pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8)## [1] 0.3341176b ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 20 pulg?
Solucion:
\[=P(X > 20) = P(Z > [(20 – 8.8)/2.8)] = P(Z > 4)\] \[≈ 0\]
1-pnorm(20, mean = 8.8, sd = 2.8)## [1] 3.167124e-05c ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar esté entre 5 y 10 pulg?
Solucion:
\[=P(5 ≤ X ≤ 10) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)\] \[=P(Z ≤ [(5– 8.8)/2.8)] - P(Z ≤ [(10 – 8.8)/2.8)] = P(-1.36 ≤ Z ≤ 0.43)\] \[=ɸ(0.43) - ɸ(-1.36) = 0.6664 - 0.0869\] \[= 0.5795\]
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE) - pnorm(5, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 0.5785145d ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 – c, 8.8 + c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?
Solucion:
\[=Z = [(B -µ)/ σ] – [(A -µ)/ σ] = [(c)/2.8] - [(-c)/2.8] \] \[=[(6.524/2.8] - [-6.524/2.8]\] \[P (Z) = P (2.33) – P (-2.33) = 0.9901 – 0.0099\] \[= 0.9802\] \[c = 6.524\] e Si se seleccionan cuatro arboles al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno tenga un diámetro de más de 10 pulg?
Solucion:
\[=P (Z) = 1- 0.6628 = 0.3372\] \[=P (1 de 4 árboles =d ≥ 10)\] \[= 0.3341176 \] \[= 0.8028\]
sum(dbinom(1:4, size = 4, prob = 0.3341176))## [1] 0.80339737. Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L) tiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo “Mathematical Model of Chloride Concentration in Human Blood”, J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25–30, incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoya esta suposición).
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105? ¿Sea menor que 105? ¿Sea cuando mucho de 105?
Solucion:
\[P(X=105)= Z =\frac{105-104}{5}=0.2\] \[P(Z=0.2)=0.5793\]
pnorm(105, mean = 104, sd = 5)## [1] 0.5792597b ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro difiera de la media por mas de una distribución estándar?, ¿Depende esta probabilidad de los valores de la media y desviación estándar?
Solucion:
p(x mayor o igual a 109) donde:
\[=Z=\frac{109-104}{5}=1 \] \[P(Z ≥1)=0.3174\]
1 - (pnorm(109, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE) - pnorm(99, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))## [1] 0.3173105c. ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de los valores de concentración de cloruro?*
Solucion:
\[0.1porciento = 0.0010\] \[Según -las- tablas:Z = -3.1\] \[Z = (X -µ)/ σ\] \[X = (Z \* σ) + µ\]
Z <- -3.1
σ <- 5
µ <- 104
((Z)*σ) + µ## [1] 88.539. a. Si una distribución normal tiene µ = 30 y 𝞼 = 5, ¿cuál es el 91° percentil de la distribución?
Solucion:
\[=µ + σ⋅(91 percentil) \] \[= 30 + 5(1.34) \] \[ = 36.7\]
qnorm(.91, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 36.70378b. ¿Cuál es el 6 percentil de la distribución?
qnorm(0.06, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 22.22613c. c. El ancho de una línea grabada en un “chip” de circuito integrado normalmente está distribuido con media de 3.000 μm y desviación estándar de .140. ¿Qué valor de ancho separa el 10% de las líneas más anchas del 90% restante?
qnorm(0.90, mean = 3.000, sd = 0.140, lower.tail=TRUE)## [1] 3.179417Solucion:
qnorm(.6, mean = 30, sd = 5, lower.tail=FALSE)## [1] 28.7332641. El dispositivo de apertura automática de un paracaídas de carga militar se diseñó para que lo abriera a 200 m sobre el suelo. Suponga que la altitud de abertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200 m y desviación estándar de 30 m. La carga útil se dañará si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que se dañe la carga útil de cuando menos uno de cinco paracaídas lanzados en forma independiente?
Solucion:
\[ = X ∼ N (200.30^2 )\] \[= P (X < 100)=Φ(\frac{100-200}{30})=Φ(-3.33)=0.0004\] \[= P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-\binom{5}{0}0.0004^0(1-0.0004)^{5-0}\] \[= 1-(1-0.0004)^5\] \[= 0.0019984\]
p<-pnorm(100, mean = 200, sd = 30, lower.tail=TRUE)
p*5## [1] 0.00214530243. Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia?
Solucion:
\[ 10porciento =10.256 ohms \] \[5 porciento=9.671 ohms\] \[=85porciento=\frac{10.256+9.671}{2}=9.9635\] \[=μ=(9.9635)(0.85)+(10.256)(0.1)+(9.671)(0.05)=9.978\] \[=(σ_x)^2= E(x^2)-[E(x)^2]=\sqrt{ 0.04}=0.2\]
library(matlib)## Warning: package 'matlib' was built under R version 4.1.1a<- matrix(c(1,1.28,1,-2.57),2,2,TRUE)
b<- c(10.256,9.671)
showEqn(a,b)## 1*x1 + 1.28*x2 = 10.256
## 1*x1 - 2.57*x2 = 9.671solve(a,b)## [1] 10.0615065 0.151948145. Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de .500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de .004 pulg de su valor objetivo.Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de .499 pulg y desviación estándar de .002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable?
Solucion:
\[P (0.496 < Z < 0.504)\] \[Z = [(B -µ)/ σ] – [(A -µ)/ σ] \] \[= [(0.504 – 0.499)/0.002] - [(0.496-0.499)/0.002] = 2.5 – (-1.5)\] \[=P (Z) = 0.9938 – 0.0668 = 0.927\] \[P (no- aceptable) = 1 – 0.927\] \[ = 0.073\]
1 - (pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE) - pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE))## [1] 0.0730168747. La distribución de peso de paquetes enviados de cierta manera es normal con valor medio de 12 lb y desviación estándar de 3.5 lb. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c más allá del cual habrá un cargo extra. ¿Qué valor de c es tal que 99% de todos los paquetes estén por lo menos 1 lb por debajo del peso de cargo extra?
Solucion:
\[ X= Peso- del- paquete\] \[ = X ∼ N(x;µ=12,σ^2=12.25)\] \[=P(X≤c-1)=0.99\] \[=P(Z≤\frac{c-1-12}{3.5})= P(Z≤\frac{c-13}{3.5})=0.99 \] \[=\frac{c-13}{3.5}=2.33 \] \[ c= 21.155\]
qnorm(0.99, mean = 12, sd = 3.5, lower.tail=TRUE)## [1] 20.1422249. Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intervalos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.
\[Z=\frac{X-μ}{σ}\] \[P(a<=X<=b)=(\frac{a-μ}{σ}<=Z<=\frac{b-μ}{σ})=Φ(\frac{b-μ}{σ})-Φ(\frac{a-μ}{σ})\] \[P(X<=a)=Φ(\frac{a-μ}{σ})=P(Z<=z), P(X>=b)=1-Φ(\frac{b-μ}{σ})\] \[μ=3432,σ=482 \] \[X=El-peso-al-nacer-de-bebés-nacidos-en-Estados-Unidos\] \[X~N(3432,482)\] a. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos? ¿Esté entre 3000 y 4000 gramos?
Solución:
-1era forma de resolver: \[P(X>4000)=1-P(X<=4000)\]
1 - pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE)## [1] 0.1198007-2da forma de resolver: \[P(X>4000)\]
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)## [1] 0.1198007-3era forma de resolver: \[P(X>4000)=1-P(X<=4000)=1-Φ(\frac{4000-3432}{483})=1-P(Z<=1.178423237)\]
1 - pnorm(1.178423237)## [1] 0.119314\[P(X>4000)=0.1198007\]
\[P(3000<X<4000)=1-P(X>=4000)-P(X<=3000)\] \[P(3000<X<4000)=1-[1-P(X<=4000)]-P(X<=3000)\]
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE) - pnorm(3000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE)## [1] 0.694648\[P(3000<X<4000)=0.694648\]
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos?
Solución:
\[P(X<2000 ó X>5000)=P(X<2000)+P(X>5000)\]
pnorm(2000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE) + pnorm(5000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)## [1] 0.002098803\[P(X<2000 ó X>5000)=0.002098803\]
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?
\[7lb=3175.15 g\] \[P(X>3175.15)\]
pnorm(3175.15, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)## [1] 0.702561d. ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de todos los pesos al nacer?
Solución:
El 0.001 corresponde a los valores más extremos de la distribución; de tal modo que, para el porcentaje correspondiente para la parte superior corresponde a 0.0005, de igual manera para la parte inferior. \[Φ(z)=P(Z<=z)=el-área-bajo-la-curva-de-densidad-normal-estandar-a-la-izquierda-de-z\] \[z_α= denotará-el-valor-sobre-el-eje-z-para-el-cual-α-del-área-bajo-la-curva-z-queda-a-la-derecha-de-z_α\] \[1-α, es-el-área-que-queda-a-la-izquierda\] \[z_α,es-el-(100-α)^{°}-percentil-de-la-distribución-normal-estándar\] \[P(Z>=z_α)=α\] \[z_α=z_.0005, α=0.0005, 1-α=1-0.0005=0.9995\] 0.9995 corresponde al área a la izquierda. Por lo tanto, ya se puede calcular el percentil asociado. \[(100-α)^{°}=(100-0.0005)^{°}=(99.9995)^{°} percentil\]
qnorm(0.9995)## [1] 3.290527\[(99.9995)^{°} percentil=3.290527, z=3.290527\] Ya que el cálculo se está realizando para el 0.001 corresponde a los valores más extremos de la distribución, entonces, por simetría de la distribución normal de los datos: \[z=±3.290527,μ=3432,σ=482\] -Para el extremo inferior
3432-3.290527*482## [1] 1845.966-Para el extremo superior
3432+3.290527*482## [1] 5018.034\[>5018.034 ó < 1845.966, z_.0005=3.290527\]
e. Si X es una variable aleatoria con una distribución normal y a es una constante numérica (a≠0) , entonces Y=aX también tiene una distribución normal. Use esto para determinar la distribución de pesos al nacer expresados en libras (forma, media y desviación estándar) y luego calcule otra vez la probabilidad del inciso (c). ¿Cómo se compara ésta con su respuesta previa?
Solución:
\[μ=3432g,σ=482g->μ=7.566265lb,σ=1.06263lb\] -¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?
\[P(X>7)\]
pnorm(7, mean = 7.5662, sd = 1.0626, lower.tail=FALSE)## [1] 0.7029292\[P(X>7)=0.7029292\] La probabilidad obtenida en unidades de libras en el inciso d es la misma calculada en unidades de gramos en el inciso c.