La oficina de ingreso a Ozark University está procesando las solicitudes para el año académico venidero. Las solicitudes caen dentro de tres categorías: locales, nacionales e internacionales. Las relaciones hombres-mujeres para los solicitantes locales y nacionales son 1:1 y 3:2, respectivamente. Para los estudiantes internacionales, esta relación es 8:1. Un factor importante para aceptar alumnos nuevos es la calificación de la prueba American College Test (ACT). Según las estadísticas, la ACT promedio es 27, 26 y 23, para los alumnos locales, nacionales e internacionales, respectivamente. El comité de admisión ha establecido las siguientes metas deseables para la nueva generación:
Formule el problema como modelo de programación de metas.
En esta fase, se define claramente la variable que se va a programar, cuidando en todo momento la congruencia del modelo. Este es un paso crítico para que el modelo matemático sea planteado adecuadamente y que en consecuencia lleve a resultados correctos. Para el caso particular, lo que se debe programar es el número de hombres y mujeres, categorizados como locales, nacionales e internacionales, que desean ingresar a Ozark University, por lo que, definiremos las variables con apoyo de la siguiente tabla:
\(x_{ij}\)= Número de estudiantes del género \(i\) de la categoría \(j\) que desean ingresar a Ozark University, \(i=1,2\), \(j=1,2,3\).
| Género | Aspirantes Locales | Aspirantes Nacionales | Aspirantes Internacionales |
|---|---|---|---|
| Hombre | \(x_{11}\) | \(x_{12}\) | \(x_{13}\) |
| Mujer | \(x_{21}\) | \(x_{22}\) | \(x_{23}\) |
Tomando en cuenta lo anterior, debemos comprender, por ejemplo, que la variable \(x_{11}\) representa a los hombres locales que desean ingresar a la universidad, así mismo, la variable \(x_{23}\) representa a las mujeres internacionales que desean ingresar a la universidad, por la naturaleza de la variable, al contabilizar los individuos interesados en ingresar a la universidad, se debe considerar como variable entera.
En esta fase de la resolución del planteamiento se deberá diferenciar entre las metas y las restricciones, la forma de diferenciarlos es que las metas están asociadas directamente al decisor, es decir, alguien plantea un objetivo particular que debe cumplirse, y las restricciones son fijadas habitualmente por las limitantes del sistema analizado. En este caso, el Comité de Admisión ha establecido las metas de la siguiente forma:
La nueva generación está formada cuando menos por 1200 alumnos de nuevo ingreso. Es decir, el Comité de Admisión espera matricular a 1200 alumnos nuevos cuando menos, es decir, si es posible captar un número mayor qué mejor. Esta meta no diferencía entre género y clasificación, es decir, no importa si son hombres o mujeres, o si son locales, nacionales o internacionales. Por lo tanto, basta con sumar todas las variables de decisión y plantear la meta, quedando de la siguiente manera:
\[x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}~{\geq}~1200\] Para plantear la inecuación como una meta, es necesario agregar las variables de desviación correspondientes, que le darán flexibilidad a la meta, quedando la ecuación resultante de la siguiente manera:
\[x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}+{s_1^+}-{s_1^-}~=~1200\]
La calificación ACT promedio para todos los alumnos que ingresan es 25, como mínimo. En este caso, las calificaciones de la Prueba ACT está referenciada a las categorías Locales, Nacionales e Internacionales, no distingue entre género. Además se provee el dato de que para los estudiantes locales la calificación promedio es 27, para los nacionales es 26 y para los internacionales es 23. Considerando las calificaciones anteriores, para el planteamiento de la segunda meta, utilizaremos la expresión matemática del Promedio Ponderado, dado que, se tienen que considerar las calificaciones expresadas anteriormente como una penalización al número de aspirantes de cada categoría. La expresión del promedio ponderado es la siguiente:
\[{\bar{x}}={\frac{\sum_{i=1}^{k}{x_i}{n_i}{w_i}}{\sum_{i=1}^{k}{n_i}{w_i}}}\] Donde:
\(n_i\)= Frecuencias absolutas.
\(w_i\)= Pesos o ponderaciones.
\(x_i\)= Los valores de la variable o marcas de clase.
En este caso, utilizaremos las variables de decisión como elementos \(x_i\), los promedios por cada categoría se utilizan como ponderaciones, y dado que no hay frecuencias, la media ponderada se calcula de la siguiente manera para el caso particular, considerando el total de alumnos de nuevo ingreso por categoría, es decir, locales, nacionales e internacionales:
\[{\frac{27({x_{11}+x_{21}})+26(x_{12}+x_{22})+23(x_{13}+x_{23})}{(27+26+23)}}~{\geq}~{25}\] Simplificando la expresión, tendremos que:
\[27(x_{11}+x_{21})+26(x_{12}+x_{22})+23(x_{13}+x_{23})~{\geq}~25(27+26+23)\] \[27(x_{11}+x_{21})+26(x_{12}+x_{22})+23(x_{13}+x_{23})~{\geq}~1900\] Una vez escrita la inecuación, procedemos a escribirla como una meta, asignando las correspondientes variables de desviación:
\[27(x_{11}+x_{21})+26(x_{12}+x_{22})+23(x_{13}+x_{23})+{s_{2}^+}-{s_{2}^-}~=~1900\]
Los alumnos internacionales forman al menos 10% de los nuevos ingresos. En este caso, basta con recordar que una proporción es el número de elementos de una categoría de una población dada dividida entre el total de elementos de la población, misma que se calcula con la siguiente expresión:
\[p={\frac{x_i}{n}}\] Donde:
\(x_i\)= Número de elementos contenidos dentro de la categoría \(i\).
\(n\)= Total de elementos.
Condiderando lo anterior, el total de elementos de la categoría estudiantes internacionales, sin distinguir el género, está dado por la suma de las variables \(x_{13}\) y \(x_{23}\), y la proporción esperada, como mínimo, es del 10% del total de los alumnos de nuevo ingreso, por lo que la meta queda modelada de la siguiente manera:
\[{\frac{x_{13}+x_{23}}{x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}}}~{\geq}~0.1\] Reescribiendo la inecuación, queda definida de la siguiente manera:
\[{x_{13}+x_{23}}~{\geq}~0.1(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})\] Despejando al primer miembro de la inecuación tenemos que:
\[(x_{13}+x_{23})-0.1(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})~{\geq}~0\] Por último, procedemos a agregar las variables de desviación correspondientes:
\[(x_{13}+x_{23})-0.1(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_3^+}-{s_3^-}~=~0\]
La relación hombres-mujeres es 3:4, como mínimo.Para atender esta meta, debemos considerar que la relación planteada indica que, por cada 4 hombres debe haber 3 mujeres, sin distinguir si son estudiantes locales, nacionales o extranjeros,por lo menos, es decir:
\[4(x_{11}+x_{12}+x_{13})~{\geq}~3(x_{21}+x_{22}+x_{23})\] Ddespejando al primer miembro de la inecuación, tenemos que:
\[4(x_{11}+x_{12}+x_{13})-3(x_{21}+x_{22}+x_{23})~{\geq}~0\] Ya habiendo definido la meta, agregamos las correspondientes variables de desviación:
\[4(x_{11}+x_{12}+x_{13})-3(x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_4^+}-{s_4^-}~=~0\]
Los alumnos nacionales forman al menos el 20% de los nuevos ingresos. De la misma manera como se modeló en la Meta 3, utilizaremos la proporción como estrategia de planteamiento de la inecuación. En este caso, se considera sólo a los estudiantes nacionales, sin distinguir entre género, para que la proporción sea como mínimo el 20% de los ingresos, por lo que la meta queda modelada de la siguiente manera:
\[{\frac{x_{12}+x_{22}}{x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}}}~{\geq}~{0.2}\] Reescribiendo al primer la inecuación queda definida de la siguiente manera:
\[{x_{12}+x_{22}}~{\geq}~0.2(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})\] Despejando al primer miembro de la inecuación, tenemos que:
\[(x_{12}+x_{22})-0.2(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})~{\geq}~0\] Por último, agregamos las variables de desviación correspondientes:
\[(x_{12}+x_{22})-0.2(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_5^+}-{s_5^-}~=~0\]
Además de las metas, este planteamiento incluye algunas restricciones, particularmente en términos de las relaciones hombre-mujer, mismas que se modelan de forma similar a las metas, con la diferencia de que no se debe agregar las variables de desviación.
La relación hombre-mujer para los solicitantes locales es de 1:1. Esto quiere decir que por cada hombre local que ingrese debe ingresar una mujer local, esto se representa matemáticamente de la siguiente manera:
\[x_{11}=x_{21}\] Despejando al primer miembro de la ecuación, tenemos que:
\[x_{11}-{x_{21}}=0\]
La relación hombre-mujer para los solicitantes nacionales es de 3:2. Esto quiere decir que por cada 3 hombres nacionales que ingresen, deben ingresar 2 mujeres nacionales, esto se representa matemáticamente de la siguiente manera:
\[2x_{12}=3x_{22}\] Despejando al primer miembro de la ecuación, tenemos que:
\[2x_{12}-3x_{22}=0\]
La relación hombre-mujer para los solicitantes internacionales es de 8:1. Esto quiere decir que por cada hombre internacionales que ingresen, deben ingresar ocho mujeres internacionales, esto se representa matemáticamente de la siguiente manera:
\[x_{13}=8x_{23}\] Despejando al primer miembro de la ecuación, tenemos que:
\[x_{13}-8x_{23}=0\]
Una vez concluida la etapa de modelado de metas y restricciones, procedemos a modelar la función objetivo, considerando únicamente las variables de desviación que se oponen al cumplimiento de la meta, es decir, para el caso de metas de mayor, se agregan a la función objetivo las variables \(s_i^+\), caso contrario, si la meta es de menor, se agrega a la función objetivo las variables \(s_i^-\), en el caso de metas estrictas, es decir, de igual, se agregan ambas variables de desviación, considerándolas en todo momento como variables positivas, sin importar el signo que tengan en la meta.
Por lo que, en el caso de la Meta 1, que es de mayor, se agrega a la función objetivo la variable \(s_1^+\), en el caso de la Meta 2, que es de mayor, se agrega la variable \(s_2^+\), en el caso de la Meta 3, que es de mayor, se agrega la variable \(s_3^+\), en el caso de la Meta 4, que es de mayor, se agrega la variable \(s_4^+\), por último, en la Meta 5, que es de mayor, se agrega la variable \(s_5^+\), quedando la función objetivo definida de la siguiente manera:
\[Min~G~={s_1^+}+{s_2^+}+{s_3^+}+{s_4^+}+{s_5^+}\]
Una vez establecida la función objetivo, definimos de manera completa el modelo de metas, insertando, función objetivo, metas y restricciones. El modelo queda escrito de la siguiente manera:
\[Min~G~={s_1^+}+{s_2^+}+{s_3^+}+{s_4^+}+{s_5^+}\]
\[x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}+{s_1^+}-{s_1^-}~=~1200\] \[27(x_{11}+x_{21})+26(x_{12}+x_{22})+23(x_{13}+x_{23})+{s_{2}^+}-{s_{2}^-}~=~1900\] \[(x_{13}+x_{23})-0.1(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_3^+}-{s_3^-}~=~0\] \[{\frac{3}{4}}(x_{11}+x_{12}+x_{13})-(x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_4^+}-{s_4^-}~=~0\] \[(x_{12}+x_{22})-0.2(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_5^+}-{s_5^-}~=~0\] \[x_{11}-{x_{21}}=0\] \[2x_{12}-3x_{22}=0\] \[x_{13}-8x_{23}=0\]
Para darle solución al modelo matemático planteado, se define la siguiente secuencia de comandos:
library(ROI)
library(ROI.plugin.glpk)
library(ompr)
library(ompr.roi)
library(dplyr)
modelo=MIPModel()%>%
add_variable(x[i,j],i=1:2,j=1:3,type = "integer")%>%
add_variable(s[k,l],k=1:5,l=1:2,type = "integer")%>%
set_objective(s[1,1]+s[2,1]+s[3,1]+s[4,1]+s[5,1],sense = "min")%>%
add_constraint(x[1,1]+x[1,2]+x[1,3]+x[2,1]+x[2,2]+x[2,3]+s[1,1]-s[1,2]==1200)%>%
add_constraint(27*(x[1,1]+x[2,1])+26*(x[1,2]+x[2,2])+23*(x[1,3]+x[2,3])+s[2,1]-s[2,2]==1900)%>%
add_constraint((x[1,3]+x[2,3])-0.1*(x[1,1]+x[1,2]+x[1,3]+x[2,1]+x[2,2]+x[2,3])+s[3,1]-s[3,2]==0)%>%
add_constraint(4*(x[1,1]+x[1,2]+x[1,3])-3*(x[2,1]+x[2,2]+x[2,3])+s[4,1]-s[4,2]==0)%>%
add_constraint((x[1,2]+x[2,2])-0.2*(x[1,1]+x[1,2]+x[1,3]+x[2,1]+x[2,2]+x[2,3])+s[5,1]-s[5,2]==0)%>%
add_constraint(x[1,1]-x[2,1]==0)%>%
add_constraint(2*x[1,2]-3*x[2,2]==0)%>%
add_constraint(x[1,3]-8*x[2,3]==0)%>%
add_constraint(x[i,j]>=0,i=1:2,j=1:3)%>%
add_constraint(s[k,l]>=0,k=1:5,l=1:2)
solucion=solve_model(modelo,with_ROI(solver="glpk",verbose=TRUE))## <SOLVER MSG> ----
## GLPK Simplex Optimizer, v4.65
## 24 rows, 16 columns, 62 non-zeros
## 0: obj = 0.000000000e+00 inf = 3.100e+03 (2)
## 10: obj = 1.136194030e+03 inf = 0.000e+00 (0)
## * 17: obj = -3.796962744e-14 inf = 0.000e+00 (0)
## OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
## GLPK Integer Optimizer, v4.65
## 24 rows, 16 columns, 62 non-zeros
## 16 integer variables, none of which are binary
## Integer optimization begins...
## Long-step dual simplex will be used
## + 17: mip = not found yet >= -inf (1; 0)
## + 23: >>>>> 0.000000000e+00 >= 0.000000000e+00 0.0% (6; 0)
## + 23: mip = 0.000000000e+00 >= tree is empty 0.0% (0; 11)
## INTEGER OPTIMAL SOLUTION FOUND
## <!SOLVER MSG> ----print(solucion)## Status: optimal
## Objective value: 0get_solution(solucion,x[i,j])## variable i j value
## 1 x 1 1 1
## 2 x 2 1 1
## 3 x 1 2 147
## 4 x 2 2 98
## 5 x 1 3 856
## 6 x 2 3 107get_solution(solucion,s[k,l])## variable k l value
## 1 s 1 1 0
## 2 s 2 1 0
## 3 s 3 1 0
## 4 s 4 1 0
## 5 s 5 1 0
## 6 s 1 2 10
## 7 s 2 2 26673
## 8 s 3 2 842
## 9 s 4 2 3398
## 10 s 5 2 3La solución óptima y factible del modelo matemático propuesto arroja que se minimiza la variable \(s_1^+\), ingresada al modelo matemático por oponerse al cumplimiento de la Meta 1, en la cual se plantea que, por lo menos, deben ingresar 1200 alumnos. La suma de las variables \(x_{ij}^*\) arroja como resultado 1210.
\[x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}+{s_1^+}-{s_1^-}~=~1200\] Por lo que se concluye que la meta de ingresar por lo menos 1200 alumnos de nuevo ingreso es posible cumplirla.
La solución óptima y factible del modelo matemático propuesto arroja que se minimiza la variable \(s_2^+\), ingresada al modelo matemático por oponerse al cumplimiento de la Meta 2, en la cual se plantea que la calificación promedio de la prueba ACT es de 25, por lo menos, para todos los alumnos que ingresan. Sustituyendo el resultado obtenido para las \(x_{ij}^*\) en la Meta 2 tenemos que:
\[27(x_{11}+x_{21})+26(x_{12}+x_{22})+23(x_{13}+x_{23})+{s_{2}^+}-{s_{2}^-}~=~1900\] \[{27(1+1)+26(147+98)+23(856+107)}-(26673)~{\geq}~{25}{(27+26+23)}\] El resultado de esta operación es 1900, por lo que si se divide entre la suma de 27+26+23, el resultado es 25, por lo que la Meta 2 se cumple.
La solución óptima y factible del modelo matemático propuesto arroja que se minimiza la variable \(s_3^+\), ingresada al modelo matemático por oponerse al cumplimiento de la Meta 3, en la cual se plantea que los alumnos internacionales forman al menos el 10% de los nuevos ingresos. Sustituyendo el resultado obtenido para las \(x_{ij}^*\) en la Meta 3 tenemos que:
\[(x_{13}+x_{23})-0.1(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_3^+}-{s_3^-}~=~0\] \[(856+107)-0.1(1+1+147+98+856+107)-842=0\] El resultado de esta operación es 0, por lo que la Meta 3 se cumple.
La solución óptima y factible del modelo matemático propuesto arroja que se minimiza la variable \(s_4^+\), ingresada al modelo matemático por oponerse al cumplimiento de la Meta 4, en la cual se plantea que la relación hombres-mujeres es 3:4, como mínimo. Sustituyendo el resultado obtenido para las \(x_{ij}^*\) en la Meta 4 tenemos que:
\[4(x_{11}+x_{12}+x_{13})-3(x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_4^+}-{s_4^-}~=~0\] \[4(1+147+856)-3(1+98+107)-3398=0\] El resultado de esta operación es 0, por lo que la Meta 4 se cumple.
La solución óptima y factible del modelo matemático propuesto arroja que se minimiza la variable \(s_5^+\), ingresada al modelo matemático por oponerse al cumplimiento de la Meta 5, en la cual se plantea que la proporción de alumnos nacionales es de 20%, como mínimo. Sustituyendo el resultado obtenido para las \(x_{ij}^*\) en la Meta 5 tenemos que:
\[(x_{12}+x_{22})-0.2(x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23})+{s_5^+}-{s_5^-}~=~0\] \[(147+98)-0.2(1+1+147+98+856+107)-3=0\] El resultado de esta operación es 0, por lo que la Meta 5 se cumple.
Por último, validaremos las restricciones del sistema, de la misma manera. sustituyendo las variables óptimas y factibles en cada una de ellas.
Para el caso de la restricción uno, tenemos que:
\[x_{11}-{x_{21}}=0\] \[1-1=0\]
El resultado de esta operación es 0, por lo que la Restricción 1 queda satisfecha.
Para el caso de la restricción dos, tenemos que:
\[2x_{12}-3x_{22}=0\] \[2(147)-3(98)=0\] El resultado de esta operación es 0, por lo que la Restricción 2 queda satisfecha.
\[x_{13}-8x_{23}=0\] \[856-8(107)=0\] El resultado de esta operación es 0, por lo que la Restricción 3 queda satisfecha.