1 Diseño Factorial \(2^3\)

1.1 Ejemplo

En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento \(2^3\) con dos réplicas. A continuación se aprecian los resultados obtenidos:(Pulido & Vara Salazar, 2012)

*Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Viscosidad*
-1 -1 -1 13.3, 13.9
+1 -1 -1 14.7, 14.4
-1 +1 -1 14.6, 14.9
+1 +1 -1 14.3, 14.1
-1 -1 +1 16.9, 17.2
+1 -1 +1 15.5, 15.1
-1 +1 +1 17.4, 17.1
+1 +1 +1 18.9, 19.2
  1. Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
  2. Realice un anáñisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
  3. Interprete a detalle los efectos significativos.
  4. ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
  5. Verifique residuos, ¿qué considera destacado?

1.2 Resarrollo del Ejercicio

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

#----------Adquisición de los datos----------#
library(printr)
## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5
library(FrF2)
## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  4 variables:
##  $ Ingrediente_A: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ Ingrediente_B: int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ Ingrediente_C: int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
##  $ Viscosidad   : num  13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...
View(datos)
attach(datos)
fac_IngredienteA=factor(`Ingrediente_A`)
fac_IngredienteB=factor(`Ingrediente_B`)
fac_IngredienteC=factor(`Ingrediente_C`)
head(datos, n= 64L)
Ingrediente_A Ingrediente_B Ingrediente_C Viscosidad
-1 -1 -1 13.3
1 -1 -1 14.7
-1 1 -1 14.6
1 1 -1 14.3
-1 -1 1 16.9
1 -1 1 15.5
-1 1 1 17.4
1 1 1 18.9
-1 -1 -1 13.9
1 -1 -1 14.4
-1 1 -1 14.9
1 1 -1 14.1
-1 -1 1 17.2
1 -1 1 15.1
-1 1 1 17.1
1 1 1 19.2 
#-----------Modelo Matemático----------#
modelo= lm(Viscosidad~(fac_IngredienteA+fac_IngredienteB+fac_IngredienteC+fac_IngredienteA*fac_IngredienteB+fac_IngredienteA*fac_IngredienteC+fac_IngredienteB*fac_IngredienteC+fac_IngredienteA*fac_IngredienteB*fac_IngredienteC))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Viscosidad ~ (fac_IngredienteA + fac_IngredienteB + 
##     fac_IngredienteC + fac_IngredienteA * fac_IngredienteB + 
##     fac_IngredienteA * fac_IngredienteC + fac_IngredienteB * 
##     fac_IngredienteC + fac_IngredienteA * fac_IngredienteB * 
##     fac_IngredienteC))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -0.30  -0.15   0.00   0.15   0.30 
## 
## Coefficients:
##                                                       Estimate Std. Error
## (Intercept)                                            13.6000     0.1777
## fac_IngredienteA1                                       0.9500     0.2512
## fac_IngredienteB1                                       1.1500     0.2512
## fac_IngredienteC1                                       3.4500     0.2512
## fac_IngredienteA1:fac_IngredienteB1                    -1.5000     0.3553
## fac_IngredienteA1:fac_IngredienteC1                    -2.7000     0.3553
## fac_IngredienteB1:fac_IngredienteC1                    -0.9500     0.3553
## fac_IngredienteA1:fac_IngredienteB1:fac_IngredienteC1   5.0500     0.5025
##                                                       t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                                            76.551 9.45e-13 ***
## fac_IngredienteA1                                       3.781  0.00538 ** 
## fac_IngredienteB1                                       4.577  0.00181 ** 
## fac_IngredienteC1                                      13.732 7.63e-07 ***
## fac_IngredienteA1:fac_IngredienteB1                    -4.222  0.00291 ** 
## fac_IngredienteA1:fac_IngredienteC1                    -7.599 6.31e-05 ***
## fac_IngredienteB1:fac_IngredienteC1                    -2.674  0.02820 *  
## fac_IngredienteA1:fac_IngredienteB1:fac_IngredienteC1  10.050 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9898, Adjusted R-squared:  0.9809 
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF,  p-value: 2.493e-07

Con los resultados optenidos por el modelo de regresión, se puede interpretar que existe una interacción entre los factores evaluados en este caso, ya que problema de la viscocidad si tiene solucion utilizando los ingredientes.

El ingrediente A en base a los datos optenidos se observa que si afecta la viscosidad de la leche de chocolate.
El ingrediente B es significativo, por lo tanto afecta la viscosidad de la leche de chocolate.
El ingrediente C al igual que el ingrediente B es significativo, por lo que interfiere con la viscosidad de la leche de chocolate.
La interacción que tiene el ingrediente A con el ingrediente B, muestra un valor significativo, sin embargo no es lo suficientemente fuerte.
La interacción del ingrediente A con el ingrediente C, muestra un valor significativo, por lo tanto si afecta a la viscosidad de la leche de chocolate.
La relacion del ingrediente B con el ingrediente C, muestra una significancia, con lo que determinamos que afecta a la viscosidad de la leche de chocolate.
Por lo tanto se puede decir que los tres ingredientes si afectan a la viscosidad de la lecha de chocolate y dicha afirmación se puede ver reflejada en el \(Valor_p\) arrojado por el modelo de regresión lineal, ya que el \(Valor_p<0.05\) que es el valor de significancia considerado para este ejercicio.

#----------Gráfica de Efectos Individuales----------#
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8, nfactors = 3, factor.names = list(fac_IngredienteA=c(-1,1),fac_IngredienteB=c(-1,1),fac_IngredienteC=c(-1,1)), replications = 2, randomize = FALSE)
experimento_respuesta=add.response(design = experimento,response = Viscosidad)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_respuesta, main="Gráfica de Efectos Individuales")

head(grafica_efectos_principales)
fac_IngredienteA fac_IngredienteB fac_IngredienteC
- 15.6625 15.1250 14.2750
+ 15.7750 16.3125 17.1625

Como se puede obserbar en la gráfica, que tanto el ingrediente A como el B interfiere con la viscosidad de la leche de chocolate, podemos obserbar que el factor que más afecta es el ingrediente C, ya que demuestra un incremento de la primera réplica a la segunda, pues en la primera presento una viscosidad de 14.2750 y en la segunda se incremento hasta 17.1625. por lo que definimos al ingrediente C es el factor significativo.

#----------Gráfica de Interacción----------#
grafica_interacciones=IAPlot(experimento_respuesta, main="Gráfica de Interacción")

head(grafica_interacciones)
fac_IngredienteA:fac_IngredienteB fac_IngredienteA:fac_IngredienteC fac_IngredienteB:fac_IngredienteC
-:- 15.325 14.175 14.075
+:- 14.925 14.375 14.475
-:+ 16.000 17.150 16.175
+:+ 16.625 17.175 18.150

El resultado se puede confirmar en el gráfico de interacción, porque como puede ver, el componente A no muestra un cambio significativo, el componente B muestra un cambio significativo, pero el componente C muestra un cambio muy significativo porque lo afecta El menor o el mayor y si no se controla, aumentará la viscosidad de la leche con chocolate. Por tanto, el factor de interacción más grave es el componente C.

b) Realice un anáñisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.

Analisis de varianza ANOVA

#----------Tabla ANOVA----------#
anova=aov(modelo)
summary(anova)
##                                                    Df Sum Sq Mean Sq F value
## fac_IngredienteA                                    1   0.05    0.05   0.802
## fac_IngredienteB                                    1   5.64    5.64  89.356
## fac_IngredienteC                                    1  33.35   33.35 528.327
## fac_IngredienteA:fac_IngredienteB                   1   1.05    1.05  16.644
## fac_IngredienteA:fac_IngredienteC                   1   0.03    0.03   0.485
## fac_IngredienteB:fac_IngredienteC                   1   2.48    2.48  39.297
## fac_IngredienteA:fac_IngredienteB:fac_IngredienteC  1   6.38    6.38 101.000
## Residuals                                           8   0.50    0.06        
##                                                      Pr(>F)    
## fac_IngredienteA                                   0.396647    
## fac_IngredienteB                                   1.29e-05 ***
## fac_IngredienteC                                   1.36e-08 ***
## fac_IngredienteA:fac_IngredienteB                  0.003536 ** 
## fac_IngredienteA:fac_IngredienteC                  0.505830    
## fac_IngredienteB:fac_IngredienteC                  0.000241 ***
## fac_IngredienteA:fac_IngredienteB:fac_IngredienteC 8.18e-06 ***
## Residuals                                                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se puede ver en la tabla de análisis de varianza que el \(Value_p\) del efecto producido por el componente A no es significativo, porque considerando el nivel de significancia \({\alpha=0.05}\), y el \(Valor_p > {\alpha}\), por lo tanto Se acepta la hipótesis nula y se concluye que no existe diferencia significativa entre la viscosidad producida por el componente A del efecto del tratamiento considerado al procesar la leche con chocolate.

En el caso del factor componente B, se puede concluir que si existe una diferencia significativa entre los componentes probados para este factor, suponga que \(Valor_p<{\alpha}\), y por lo tanto rechace la hipótesis nula del componente B. En el caso del componente C, asumiendo una diferencia significativa, se concluye que si \(Valor_p<{\alpha}\), interferirá con la viscosidad de la fabricación de la leche con chocolate. Para la interacción, la conclusión es que si existe una diferencia significativa entre las diferentes interacciones producidas, asumiendo \(Valor_P<{\ alpha}\), la conclusión es que si hay una interacción, la fuerza es suficiente para causar la viscosidad resultante An cambio importante en la producción de leche con chocolate.

c) Interprete a detalle los efectos significativos.
d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?

e) Verifique residuos, ¿qué considera destacado?

#----------------Prueba de Normalidad----------#
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.87343, p-value = 0.0307
#----------Gráfica de Probabilidad Normal----------#
qqnorm(resid(modelo), main = "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab = "Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

Prueba de Igualdad de Varianzas de Bartlett

#--------------Prueba de igualda de Varianzas de Bartlett-------------#
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),fac_IngredienteA,fac_IngredienteB,fac_IngredienteC,data=experimento_respuesta)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and fac_IngredienteA
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204

Bibliografía

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3.ª ed.). McGraw Hill.