1 Planteamiento 8

8.En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resol ver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento \(2^3\) con dos réplicas. A continuación, se aprecian los resultados obtenidos:(Pulido & Vara Salazar, 2012)

Ingrediente A	Ingrediente B	Ingrediente C	Viscosidad
-1	-1	-1	13.3, 13.9
+1	-1	-1	14.7, 14.4
-1	+1	-1	14.6, 14.9
+1	+1	-1	14.3, 14.1
-1	-1	+1	16.9, 17.2
+1	-1	+1	15.5, 15.1
-1	+1	+1	17.4, 17.1
+1	+1	+1	18.9, 19.2

Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
Interprete a detalle los efectos significativos.
¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
Verifique residuos, ¿qué considera destacado?

1.1 Solución del ejercicio

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

#----------Importación de los datos----------#  
library(printr)

## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5

library(FrF2)

## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5

datos = read.table("dataset1.txt", header = TRUE)
str(datos)

## 'data.frame':    16 obs. of  4 variables:
##  $ Ingrediente_A: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ Ingrediente_B: int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ Ingrediente_C: int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
##  $ Viscosidad   : num  13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...

View(datos)

attach(datos)
f_IngredienteA=factor(`Ingrediente_A`)
f_IngredienteB=factor(`Ingrediente_B`)
f_IngredienteC=factor(`Ingrediente_C`)

head(datos, n= 64L)

Ingrediente_A	Ingrediente_B	Ingrediente_C	Viscosidad
-1	-1	-1	13.3
1	-1	-1	14.7
-1	1	-1	14.6
1	1	-1	14.3
-1	-1	1	16.9
1	-1	1	15.5
-1	1	1	17.4
1	1	1	18.9
-1	-1	-1	13.9
1	-1	-1	14.4
-1	1	-1	14.9
1	1	-1	14.1
-1	-1	1	17.2
1	-1	1	15.1
-1	1	1	17.1
1	1	1	19.2

#-----------Modelo matemático----------#
modelo=lm(Viscosidad~(f_IngredienteA+f_IngredienteB+f_IngredienteC+f_IngredienteA*f_IngredienteB+f_IngredienteA*f_IngredienteC+f_IngredienteB*f_IngredienteC+f_IngredienteA*f_IngredienteB*f_IngredienteC))
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm.default(formula = Viscosidad ~ (f_IngredienteA + f_IngredienteB + 
##     f_IngredienteC + f_IngredienteA * f_IngredienteB + f_IngredienteA * 
##     f_IngredienteC + f_IngredienteB * f_IngredienteC + f_IngredienteA * 
##     f_IngredienteB * f_IngredienteC))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -0.30  -0.15   0.00   0.15   0.30 
## 
## Coefficients:
##                                                 Estimate Std. Error t value
## (Intercept)                                      13.6000     0.1777  76.551
## f_IngredienteA1                                   0.9500     0.2512   3.781
## f_IngredienteB1                                   1.1500     0.2512   4.577
## f_IngredienteC1                                   3.4500     0.2512  13.732
## f_IngredienteA1:f_IngredienteB1                  -1.5000     0.3553  -4.222
## f_IngredienteA1:f_IngredienteC1                  -2.7000     0.3553  -7.599
## f_IngredienteB1:f_IngredienteC1                  -0.9500     0.3553  -2.674
## f_IngredienteA1:f_IngredienteB1:f_IngredienteC1   5.0500     0.5025  10.050
##                                                 Pr(>|t|)    
## (Intercept)                                     9.45e-13 ***
## f_IngredienteA1                                  0.00538 ** 
## f_IngredienteB1                                  0.00181 ** 
## f_IngredienteC1                                 7.63e-07 ***
## f_IngredienteA1:f_IngredienteB1                  0.00291 ** 
## f_IngredienteA1:f_IngredienteC1                 6.31e-05 ***
## f_IngredienteB1:f_IngredienteC1                  0.02820 *  
## f_IngredienteA1:f_IngredienteB1:f_IngredienteC1 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9898, Adjusted R-squared:  0.9809 
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF,  p-value: 2.493e-07

Interpretación:
Con base a los resultados obtenidos del modelo de regresión, se explica que existe una interacción entre los factores evaluados, por esta parte, el problema de la viscocidad puede ser arreglado por los ingredientes.

El Ingrediente A con base a los resultados obtenidos si afecta la viscosidad de la leche de chocolate.
El Ingrediente B es significativo, por lo que afecta la viscosidad de la leche de chocolate.
El Ingrediente C de iugal modo que el ingrediente B es significativo, por lo que interfiere con la viscosidad de la leche de chocolate.
La interacción que tiene el Ingrediente A con el Ingrediente B, muestra un valor significativo, pero no es muy fuerte.
La interacción del Ingrediente A con el Ingrediente C, muestra un valor significativo, refiriendose a que si afecta a la viscosidad de la leche de chocolate.
La interacción del Ingrediente B con el Ingrediente C, muestra una significancia, por lo que afecta a la viscosidad de la leche de chocolate.
De modo que se puede decir que los tres ingredientes si afectan a la viscosidad de la leche de chocolate y esa afirmación se puede ver reflejada en el \(Valor_p\) arrojado por el modelo de regresión lineal, ya que el \(Valor_p<0.05\) el cual es el valor de significancia considerado para este ejercicio.

#----------Gráfica de efectos individuales----------#
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_IngredienteA=c(-1,1),f_IngregienteB=c(-1,1),f_IngredienteC=c(-1,1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_respuesta=add.response(design = experimento,response = Viscosidad)
Grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_respuesta, main="Gráfica de efectos principales para viscosidad.")

head(Grafica_efectos_principales)

	f_IngredienteA	f_IngregienteB	f_IngredienteC
-	15.6625	15.1250	14.2750
+	15.7750	16.3125	17.1625

Interpretación:
En la gráfica de efectos se puede observar que tanto el Ingrediente A como el Ingrediente B interfieren con la viscosidad de la leche de chocolate, pero el factor que más afecta es el Ingrediente C, ya que muestra un incremento de la primera réplica a la segunda, puesto que en la primera presentó una viscosidad de 14.2750 y en la segunda se incrementó hasta 17.1625;En consecuencia el ingrediente C es el factor significativo.

#----------Gráfica de interacción----------#
Grafica_interaciones=IAPlot(experimento_respuesta, main= "Gráfica de interacción")

head(Grafica_interaciones)

	f_IngredienteA:f_IngregienteB	f_IngredienteA:f_IngredienteC	f_IngregienteB:f_IngredienteC
-:-	15.325	14.175	14.075
+:-	14.925	14.375	14.475
-:+	16.000	17.150	16.175
+:+	16.625	17.175	18.150

Interpretación:
El resultado se comprueba en la Gráfica de Interacciones, como se observa el Ingrediente A no muestra cambios significativos, en cambio el Ingrediente B muestra cambios significativos, pero por otra parte el Ingrediente C muestra cambios muy significativos debido a que afecta si este se encuentra a minimo o máximo y si no se controla puede subir la viscosidad de la leche de chocolate. En consecuencia el factor que genera las interacciones más graves es el Ingrediente C.

b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.

Análisis de varianza ANOVA

#----------Tabla ANOVA----------#
anova=aov(modelo)
summary(anova)

##                                              Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
## f_IngredienteA                                1   0.05    0.05   0.802 0.396647
## f_IngredienteB                                1   5.64    5.64  89.356 1.29e-05
## f_IngredienteC                                1  33.35   33.35 528.327 1.36e-08
## f_IngredienteA:f_IngredienteB                 1   1.05    1.05  16.644 0.003536
## f_IngredienteA:f_IngredienteC                 1   0.03    0.03   0.485 0.505830
## f_IngredienteB:f_IngredienteC                 1   2.48    2.48  39.297 0.000241
## f_IngredienteA:f_IngredienteB:f_IngredienteC  1   6.38    6.38 101.000 8.18e-06
## Residuals                                     8   0.50    0.06                 
##                                                 
## f_IngredienteA                                  
## f_IngredienteB                               ***
## f_IngredienteC                               ***
## f_IngredienteA:f_IngredienteB                ** 
## f_IngredienteA:f_IngredienteC                   
## f_IngredienteB:f_IngredienteC                ***
## f_IngredienteA:f_IngredienteB:f_IngredienteC ***
## Residuals                                       
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretación:
Como se observa en la tabla ANOVA, el \(Valor_p\) para el efecto producido por el Ingrediente A no es significativo, puesto que, considerando un nivel de significancia del \({\alpha=0.05}\), y el \(Valor_p > {\alpha}\), por ello se acepta la hipótesis nula y se concluye que no existen diferencias significativas entre la viscosidad producida por el Ingrediente A del efecto de tratamiento considerado para la elaboración de la leche de chocolate.
Para el factor Ingrediente B, se concluye que si hay diferencia significativa entre los ingredientes probados para este factor, dado que \(Valor_p<{\alpha}\), debido a esto se rechaza la hipótesis nula para el Ingrediente B. Para el factor Ingrediente C, se concluye que si hay diferencia significativa, por lo que interfiere con la viscosidad de la fabricación de la leche de chocolate, debido a que \(Valor_p<{\alpha}\). En el caso de las interacciones, se concluye que si existen diferencias significativas entre las diferentes interacciones generadas, dado que \(Valor_P<{\alpha}\) por lo que se concluye que, si existen interacciones lo suficientemente fuertes para provocar cambios importantes en la viscosidad generada en la elaboración de la leche de chocolate.

c) Interprete a detalle los efectos significativos
En base a la evidencia experimental y con un nivel de 95% de confianza qué Ingrediente A e Ingrediente C no es significativa, en consecuencia se concluye que no genera alteraciones de ningún tipo.

d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
En base experimental y con el 95% de nivel de confianza, se concluye que el tratamiento que presenta mayor efecto para minimizar es el Ingrediente C.

e) Verifique residuos, ¿qué considera destacado?

Prueba de Adecuación

Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk

#----------------Prueba de Normalidad----------#
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.87343, p-value = 0.0307

#----------Gráfica de probabilidad Normal----------#
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

Interpretación:
En base a la gráfica obtenida se concluye que los puntos de la gráfica no muestran un comportamiento lineal, por lo tanto, estos no presentan un comportamiento normal y no cumplen con el supuesto de normalidad.

Prueba de Igualdad de Varianzas de Bartlett

#--------------Prueba de igualda de varianzas de Bartlett-------------#
Homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_IngredienteA,f_IngredienteB,f_IngredienteC,data=experimento_respuesta)
print(Homocedasticidad)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_IngredienteA
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204

Interpretación:
En base en la evidencia experimental se comprobó qué el valor del alfa es menor que el valor obtenido por la prueba de homogeneidad de varianzas debido a que se obtuvo el valor igual a 0.5204, por lo que se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipotesis alternativa.

Bibliografía

Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de experimentos (3rd ed.). McGraw Hill.

Diseño factorial completo \(2^3\)

Ing. Dennise Sofia López Borjas

2021-09-22

1 Planteamiento 8

1.1 Solución del ejercicio

Bibliografía