Diseño Factorial 2^3
ING. Jazmin Isabela Landa Ortega
2021-09-22
1 Diseño Factorial 2^3
- En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resol ver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento 2^3 con dos réplicas. A continuación se aprecian los resultados obtenidos:
| Ingrediente A | Ingrediente B | Ingrediente C | Viscosidad |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | 13.3 |
| +1 | -1 | -1 | 14.7 |
| -1 | +1 | -1 | 14.6 |
| +1 | +1 | -1 | 14.3 |
| -1 | -1 | +1 | 16.9 |
| +1 | -1 | +1 | 15.5 |
| -1 | +1 | +1 | 17.4 |
| +1 | +1 | +1 | 18.9 |
| -1 | -1 | -1 | 13.9 |
| +1 | -1 | -1 | 14.4 |
| -1 | +1 | -1 | 14.9 |
| +1 | +1 | -1 | 14.1 |
| -1 | -1 | +1 | 17.2 |
| +1 | -1 | +1 | 15.1 |
| -1 | +1 | +1 | 17.1 |
| +1 | +1 | +1 | 19.2 |
- Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
- Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
- Interprete a detalle los efectos significativos.
- ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
- verique residuos, ¿qué considera destacado?
1.1 Solución
a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
library(printr)datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
View(datos)
str(datos)## 'data.frame': 16 obs. of 4 variables:
## $ Ingrediente_A: int -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
## $ Ingrediente_B: int -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
## $ Ingrediente_C: int -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
## $ Viscosidad : num 13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...attach(datos)
f_inga=factor(`Ingrediente_A`)
f_ingb=factor(`Ingrediente_B`)
f_ingc=factor(`Ingrediente_C`)head(datos, n= 16L)| Ingrediente_A | Ingrediente_B | Ingrediente_C | Viscosidad |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | 13.3 |
| 1 | -1 | -1 | 14.7 |
| -1 | 1 | -1 | 14.6 |
| 1 | 1 | -1 | 14.3 |
| -1 | -1 | 1 | 16.9 |
| 1 | -1 | 1 | 15.5 |
| -1 | 1 | 1 | 17.4 |
| 1 | 1 | 1 | 18.9 |
| -1 | -1 | -1 | 13.9 |
| 1 | -1 | -1 | 14.4 |
| -1 | 1 | -1 | 14.9 |
| 1 | 1 | -1 | 14.1 |
| -1 | -1 | 1 | 17.2 |
| 1 | -1 | 1 | 15.1 |
| -1 | 1 | 1 | 17.1 |
| 1 | 1 | 1 | 19.2 |
Para calcular los efectos de los factores, debemos considerar que en la ejecución de un diseño factorial completo de la familia 2^2 es necesario considerar el factor de interacción; el modelo matemático que relaciona los efectos de los factores en la variable de salida se escribe de la siguiente manera:
\[y_ij={\mu}+{\tau_i}+{\beta_j}+{\varepsilon_{ij}}\]
Según Montgomery, en un diseño factorial con dos niveles, el efecto primedio de un factor puede definirse como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para para los niveles del otro factor(Montgomery, 2004). Dicho lo anterior, para el caso del factor A, el efecto promedio, utilizando la notación de Yates, se define como:
\[A={\frac{1}{2n}}[ab+a-a-b-(1)]\]
Para el caso del factor B, se define de la siguiente manera:
\[B={\frac{1}{2n}}[ab+b-a-(1)\]
En el caso del efecto de interacción AB, se define como la diferencia promedio entre el efecto de A con el nivel alto de B y el efecto de A con el nivel bajo de B, por lo tanto:
\[AB={\frac{1}{2n}}[ab+(1)-a-b]\] Para determinar los efectos, se utiliza el siguiente código:
modelo=lm(Viscosidad~(f_inga+f_ingb+f_ingc+f_inga*f_ingb+f_inga*f_ingc+f_ingb*f_ingc+f_inga*f_ingb*f_ingc))
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = Viscosidad ~ (f_inga + f_ingb + f_ingc + f_inga *
## f_ingb + f_inga * f_ingc + f_ingb * f_ingc + f_inga * f_ingb *
## f_ingc))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.30 -0.15 0.00 0.15 0.30
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 13.6000 0.1777 76.551 9.45e-13 ***
## f_inga1 0.9500 0.2512 3.781 0.00538 **
## f_ingb1 1.1500 0.2512 4.577 0.00181 **
## f_ingc1 3.4500 0.2512 13.732 7.63e-07 ***
## f_inga1:f_ingb1 -1.5000 0.3553 -4.222 0.00291 **
## f_inga1:f_ingc1 -2.7000 0.3553 -7.599 6.31e-05 ***
## f_ingb1:f_ingc1 -0.9500 0.3553 -2.674 0.02820 *
## f_inga1:f_ingb1:f_ingc1 5.0500 0.5025 10.050 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9898, Adjusted R-squared: 0.9809
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF, p-value: 2.493e-07library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_inga=c(-1,1),f_ingb=c(-1,1),f_ingc=c(-1,1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Viscosidad)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Gráfica de efectos principales para viscosidad.")
grafica_interaciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de matriz de interacción para viscosidad")
head(grafica_efectos_principales)| f_inga | f_ingb | f_ingc | |
|---|---|---|---|
| - | 15.6625 | 15.1250 | 14.2750 |
| + | 15.7750 | 16.3125 | 17.1625 |
head(grafica_interaciones)| f_inga:f_ingb | f_inga:f_ingc | f_ingb:f_ingc | |
|---|---|---|---|
| -:- | 15.325 | 14.175 | 14.075 |
| +:- | 14.925 | 14.375 | 14.475 |
| -:+ | 16.000 | 17.150 | 16.175 |
| +:+ | 16.625 | 17.175 | 18.150 |
Existe suficiente evidencia para concluir que los datos que presentan una significación en los factores es el Ingrediente C.
b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
Para establecer de manera definitiva cuales son los niveles de operación del sistema, es conveniente verificar la significancia tanto de los factores de manera individual como de las interacciones, para tal caso se ejecuta el Análisis de Varianza (ANOVA) correspondiente, mediante la siguiente secuencia de comandos:
anova=aov(modelo)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## f_inga 1 0.05 0.05 0.802 0.396647
## f_ingb 1 5.64 5.64 89.356 1.29e-05 ***
## f_ingc 1 33.35 33.35 528.327 1.36e-08 ***
## f_inga:f_ingb 1 1.05 1.05 16.644 0.003536 **
## f_inga:f_ingc 1 0.03 0.03 0.485 0.505830
## f_ingb:f_ingc 1 2.48 2.48 39.297 0.000241 ***
## f_inga:f_ingb:f_ingc 1 6.38 6.38 101.000 8.18e-06 ***
## Residuals 8 0.50 0.06
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Se observa que el \(valor_p\) para el efecto del Ingrediente A no es significativo, considerando un nivel de significancia de α = 0.05, \(valor_p\)>α, por lo tanto, se acepta la hipótesis nula y se concluye que consdiderando la viscosidad producida por el efecto del tratamiento considerado para la elaboración de la leche con chocolate que es el Ingrediente A.
Para el factor ingrediente B se puede concluir que existe una diferencia significativa entre los ingredientes, dado que \(valor_p\)<α, por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula para el ingrediente B.
Para el ingrediente C, se puede concluir que existe una diferencia significativa, por lo tanto, interfiere con la viscosidad de la producción de leche con chocolate, dado que \(valor_p\)<α.
En las interaciones, se concluye que existen diferencias significativas entre las diferentes interacciones generadas dado que \(valor_p\)<α, lo tanto, si existen interacciones fuertes como para provocar cambios significativos en la viscosidad generada en la producción de leche con chocolate.
c) Interprete a detalle los efectos significativos Existe suficiente evidencia para decir que el Ingrediente A e Ingrediente C no son significativos, con un nivel de 95% de confianza, por lo tanto, se concluye que no genera alteraciones de ningún tipo.
d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar? Con base experimental con el 95% de nivel de confianza se puede concluir que el tratamiento que presenta mayor efecto para minimizar es el Ingrediente c.
e) verique residuos, ¿qué considera destacado?
Prueba de Adecuación
Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk Para realizar esta prueba debemos plantear las siguientes hipótesis:
\[H_0:x \, {\in}\, N\, ({\mu}=0, {\sigma^2}=Constante)\] \[H_1:x \, {\notin} \, N \, ({\mu}=0,{\sigma^2}=Constante)\]
Cuando el \(valor_p\)<0.05, se rechaza la hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilks.Siempre se recomienda realizar una gráfica de probabilidad normal para confirmar la prueba de hipótesis.Para ello usaremos la siguiente secuencia de comandos:
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: resid(modelo)
## W = 0.87343, p-value = 0.0307#Gráfica de probabilidad normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))
Con base en el gráfico anterior, podemos concluir que los puntos en el gráfico no muestran un comportamiento lineal, por lo que se concluye que no muestran un comportamiento normal. No corresponde al supuesto de normalidad.
La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:
\[H_0:{\sigma^2}={\sigma^2_j}=Costante\]
\[H_1:{\sigma^2}\,{\neq}\,{\sigma^2_j}\,{\neq}\,Costante\] La Prueba de Bartlett se realiza con la siguiente línea de comandos, misma que se efectúa por separado para cada factor.
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_inga,f_ingb,f_ingc,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: resid(modelo) and f_inga
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204Existe suficiente evidencia para comprobar qué el valor de Alfa es menor qué al valor obtenido mediante la prueba de homogeneidad de las varianzas ya que el valor presente es igual a 0.5704, con un nivel de confianza del 95%, por lo tanto, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa.
Bibliografía
Montgomery, D. C. (2004). Diseño y Análisis de Experimentos (2a ed.). Limusa Wiley.