Diseño Factorial 2^3

1 Diseño Factorial \(2^3\)

1.1 Ejemplo

8. En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que son tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento \(2^3\) cos dos réplicas. A continuación se aprecian los resultados obtenidos:(Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)

Ingrediente A	Ingrediente B	Ingrediente C	Viscosidad
-1	-1	-1	13.3,19.9
1	-1	-1	14.7,14.4
-1	1	-1	14.6,14.1
1	-1	-1	14.3,14.1
-1	-1	1	16.9,17.2
1	-1	1	15.5,15.1
-1	1	1	17.4,17.1
1	1	1	18.9,19.2

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
c) Interprete a detalle los efectos significativos.
d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
e) Verifique residuos, ¿Qué considera destacado?

1.2 Solución del ejercicio

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

library(printr)

#------------Adquisición de datos-------------#
library(printr)
library(FrF2)
datos=read.table("dataset.txt", header = TRUE)
str(datos)

## 'data.frame':    16 obs. of  4 variables:
##  $ ingrediente_A: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ ingrediente_B: int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ ingrediente_C: int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
##  $ viscosidad   : num  13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...

View(datos)
attach(datos)

Modelo matemático

\[\hat{y}_{ijk}=\mu+\tau_{i}+\beta_{j}+\delta_{k}+\tau\beta_{ij}+\tau\delta_{ik}+\beta\delta_{jk}+\tau\beta\delta_{ijk}+E_{ijk}\]

#---------------Modelo matemático--------------#
f_ingrediente_A=factor(`ingrediente_A`)
f_ingrediente_B=factor(`ingrediente_B`)
f_ingrediente_C=factor(`ingrediente_C`)
head(datos, n=64L)

ingrediente_A	ingrediente_B	ingrediente_C	viscosidad
-1	-1	-1	13.3
1	-1	-1	14.7
-1	1	-1	14.6
1	1	-1	14.3
-1	-1	1	16.9
1	-1	1	15.5
-1	1	1	17.4
1	1	1	18.9
-1	-1	-1	13.9
1	-1	-1	14.4
-1	1	-1	14.9
1	1	-1	14.1
-1	-1	1	17.2
1	-1	1	15.1
-1	1	1	17.1
1	1	1	19.2

modelo=lm(viscosidad~(f_ingrediente_A+f_ingrediente_B+f_ingrediente_C+f_ingrediente_A*f_ingrediente_B+f_ingrediente_A*f_ingrediente_C+f_ingrediente_B*f_ingrediente_C+f_ingrediente_A*f_ingrediente_B*f_ingrediente_C))
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm.default(formula = viscosidad ~ (f_ingrediente_A + f_ingrediente_B + 
##     f_ingrediente_C + f_ingrediente_A * f_ingrediente_B + f_ingrediente_A * 
##     f_ingrediente_C + f_ingrediente_B * f_ingrediente_C + f_ingrediente_A * 
##     f_ingrediente_B * f_ingrediente_C))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -0.30  -0.15   0.00   0.15   0.30 
## 
## Coefficients:
##                                                    Estimate Std. Error t value
## (Intercept)                                         13.6000     0.1777  76.551
## f_ingrediente_A1                                     0.9500     0.2512   3.781
## f_ingrediente_B1                                     1.1500     0.2512   4.577
## f_ingrediente_C1                                     3.4500     0.2512  13.732
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1                   -1.5000     0.3553  -4.222
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_C1                   -2.7000     0.3553  -7.599
## f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1                   -0.9500     0.3553  -2.674
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1   5.0500     0.5025  10.050
##                                                    Pr(>|t|)    
## (Intercept)                                        9.45e-13 ***
## f_ingrediente_A1                                    0.00538 ** 
## f_ingrediente_B1                                    0.00181 ** 
## f_ingrediente_C1                                   7.63e-07 ***
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1                   0.00291 ** 
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_C1                  6.31e-05 ***
## f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1                   0.02820 *  
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9898, Adjusted R-squared:  0.9809 
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF,  p-value: 2.493e-07

En base a los resultados obtenidos en el modelo de regresión, se puede ver que si existe una interacción entre los factores, por lo que el problema mencionado sobre la viscosidad puede ser arreglado por los ingredientes.

Se puede observar que el intercepto si es significativo, ya que de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este si es menor a \(\alpha=0.05\).

En el ingrediente A, de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este es menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).

En el ingrediente B, de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este es menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).

En el ingrediente C, de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este es menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad).

En la interacción entre el ingrediente A y el ingrediente B de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este arroja un valor mayor a \(\alpha=0.05\), por lo que no es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).

En la interacción entre el ingrediente A y el ingrediente C de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este arroja un valor menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad).

En la interacción entre el ingrediente B y el ingrediente C de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este arroja un valor mayor a \(\alpha=0.05\), por lo que no es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).

En la interacción entre el ingrediente A, el ingrediente B y el ingrediente C, de acuerdo con el \(Valor_{p}<\alpha\) este arroja un valor menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad).

#--------------Gráfica de efectos individuales----------#
library(printr)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_ingrediente_A=c(-1,1),f_ingrediente_B=c(-1,1),f_ingrediente_C=c(1,-1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = viscosidad)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Efectos Individuales")

#------------Gráfica de interacciones--------#
grafica_interacciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Interacciones")

head(grafica_efectos_principales)

	f_ingrediente_A	f_ingrediente_B	f_ingrediente_C
-	15.6625	15.1250	14.2750
+	15.7750	16.3125	17.1625

head(grafica_interacciones)

	f_ingrediente_A:f_ingrediente_B	f_ingrediente_A:f_ingrediente_C	f_ingrediente_B:f_ingrediente_C
-:-	15.325	14.175	14.075
+:-	14.925	14.375	14.475
-:+	16.000	17.150	16.175
+:+	16.625	17.175	18.150

Gráfica de efectos individuales

De forma individual como se observa en la gráfica de efectos individuales se puede ver cuales son realmente significativos, y en términos de los efectos el que hace un mayor alteramiento es el ingrediente C, ya que de acuerdo con la gráfica este tiene una pendiente más pronunciada a comparación de los ingredientes A y B. En cuestión de los datos de la tabla, es claro que el ingrediente A y B interfieren en la viscosidad, pero el que afecta en mayor cantidad es el ingrediente C, ya que se puede ver claramente que al inicio tiene una viscosidad de 14.2750 y después de 17.1625 por lo que se puede decir que este es el factor más significativo.

Gráfica de interacciones

En la gráfica de interacciones se puede observar como se comportan cuando se asocian los factores. Es de de observarse que el ingrediente A en interacción no muestra un alto cambio de significancia, el ingrediente B en cambio si muestra cambios significativos, pero no tan altos a comparación del ingrediente C, que en efecto, el ingrediente C es el factor preponderante, es el que altera a los demás ingredientes, debido a que si esta en la parte máxima o mínima y no se controla distorsiona la viscosidad en la bebida.

b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.

#-------------------Tabla Anova-------------------#
anova=aov(modelo)
summary(anova)

##                                                 Df Sum Sq Mean Sq F value
## f_ingrediente_A                                  1   0.05    0.05   0.802
## f_ingrediente_B                                  1   5.64    5.64  89.356
## f_ingrediente_C                                  1  33.35   33.35 528.327
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B                  1   1.05    1.05  16.644
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_C                  1   0.03    0.03   0.485
## f_ingrediente_B:f_ingrediente_C                  1   2.48    2.48  39.297
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B:f_ingrediente_C  1   6.38    6.38 101.000
## Residuals                                        8   0.50    0.06        
##                                                   Pr(>F)    
## f_ingrediente_A                                 0.396647    
## f_ingrediente_B                                 1.29e-05 ***
## f_ingrediente_C                                 1.36e-08 ***
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B                 0.003536 ** 
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_C                 0.505830    
## f_ingrediente_B:f_ingrediente_C                 0.000241 ***
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B:f_ingrediente_C 8.18e-06 ***
## Residuals                                                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

De acuerdo con los resultados obtenidos por el ANOVA, se pueden concluir tres aspectos, el primero es que se puede observar que el \(Valor_{p}\) para lo que es el efecto producido por el ingrediente A es de 0.396647, y tomando como valor un nivel de significancia de \(\alpha=0.05\), y el \(Valor_{p}<\alpha\), se acepta la \(H_0\) (hipótesis nula), por lo que se puede concluir que no existen diferencias significativas entre la viscosidad producida por el ingrediente A el efecto de tratamiento considerados para la elaboración de la bebida.

Segundo, de acuerdo con el valor 1.29e-05 en lo que respecta al factor del ingrediente B, y la consideración de que el \(Valor_{p}<\alpha\), se rechaza la \(H_0\) (hipótesis nula), por lo que se puede concluir que si existe diferencia significativa.

Y tercero, en el ingrediente C arroja un valor de 1.36e-08, y siguiendo con que el \(Valor_{p}<\alpha\), se rechaza la \(H_0\) (hipótesis nula), y se puede decir que si existe diferencia significativa, concluyendo que interfiere con la viscosidad de la elaboración de la bebida.

En terminos individuales el factor realmente significativo (el preponderante) es el ingredinte C y el B, asi como en la de interacción con otros ingredientes de igual manera son significativos, por lo que se puede decir que son fuertes para provocar cambios en la viscosidad al elaborar la bebida.

c) Interprete a detalle los efectos significativos.

Los resultados que se muestran en la tabla ANOVA del inciso b), se observa que existen efectos significativos, ya que de acuerdo con el valor de \(\alpha=0.05\) el \(Valor_{p}<\alpha\) y estos arrojan un valor menor a este, ya sea individualmente como ingrediente o en interacción con otros, por lo que en lo que se puede ver que los ingredientes significativos son los ingredintes B, C, AB, CB y ABC, y como resultado se puede decir que estos si afectan a la viscosidad de la bebida. Pero como se pudo observar, el ingrediente que genera más problema es el C, por lo que se debe de tener en observación.

d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?

El tratamiento ganador en base a los resultados obtenidos es el ingrediente C, ya que como se pudo observar en los resultados anteriores, este ingrediente muestra que es el que genera una mayor interacción a comparación de los demas, por lo que es el ingrediente que genera mayor viscosidad a la hora de producir la bebida y el que se debe de minimizar.

e) Verifique residuos, ¿Qué considera destacado?

Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk

\[H_{0}:R \, {\in} N\, ({\mu=0}, {\sigma^2}=Constante)\]

\[H_{1}:R \, {\notin}\, N\, ({\mu=0}, {\sigma^2}<Constante)\]

#------------------Análisis Residual----------------#
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.87343, p-value = 0.0307

La prueba de Shapiro-Wilk confirma que mediante la gráfica de probabilidad para los residuales del modelo muestra con cierta evidencia que hay una falta de normalidad en lo que respecta a los residuos, por lo que se puede decir que existen datos atípicos en el modelo propuesto, los cuales provocan que no sea idóneo para explicar la viscosidad que se genera al producir la bebida de chocolate con los demás ingredientes.

#-------------Gráfica de Probabiliad Normal-----------------#
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett

\[H_{0}:\sigma^{2}_{i}=\sigma^{2}_{j}=Constante\]

\[H_{1}:\sigma^{2}_{i} \neq \sigma^{2}_{j}\neq Constante\]

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_ingrediente_A,ingrediente_B,ingrediente_C,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_ingrediente_A
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204

En base a los resultados obtenidos por el análisis de homocedasticidad, estos son homocedásticos, ya que a pesar de que no tienen una normalidad su varianza es constante, por lo que se puede decir que el modelo de regresión no es el adecuado.

Bibliografia

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: