Fungsi Eksponensial
Heny Rimadana
9/22/2021
Dosen Pengampu: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Pengertian Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah aib satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang perkiraan sama dengan 2.71828183.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), diartikan untuk nilai x yang positif.
Secara umum, variabel x mampu berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat ruang lingkup formal dibawah ini.
Daftar pokok
1 Sifat-sifat
2 Turunan dan persamaan diferensial
3 Ruang lingkup formal
4 Nilai numerik
Sifat-sifat
Dengan memakai logaritma natural, fungsi eksponensial yang semakin generik mampu diartikan.
Fungsi
a^x=e^{x ln a}
Terdefinisikan untuk a > 0, dan semua bilangan real x, disebut juga fungsi eksponensial dengan basis a.
Perlu diamati bahwa persamaan tersebut berlangsung pula untuk a = e, karena
e^{x ln e}=e^{x cdot 1}=e^x.
Fungsi eksponensial mampu “menterjemahkan” antara dua jenis operasi, penjumlahan dan pengkalian. Ini mampu dilihat dan diamati dari rumus-rumus eksponen sebagai berikut:
a^0 = 1
a^1 = a
a^{x + y} = a^x a^y
a^{x y} = left( a^x ight)^y
{1 over a^x} = left({1 over a}ight)^x = a^{-x}
a^x b^x = (a b)^x
Rumus-rumus di atas berlangsung untuk semua bilangan real positif a dan b dan semua bilangan real x dan y. Ekspresi yang mengandung pecahan dan pengakaran pada umumnya mampu disederhanakan dengan memakai notasi eksponensial, karena:
{1/a} = a^{-1}
dan, untuk semua a > 0, bilangan real b, dan bilangan bulat n > 1: > sqrt[n]{a^b} = left(sqrt[n]{a}ight)^b = a^{b/n}
##Turunan dan persamaan diferensial Pentingnya fungsi eksponensial dalam matematika dan ilmu-ilmu lainnya adalah karena sifat turunannya.
{d over dx} e^x = e^x
Dengan kata lain, fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri. Sifat “ketidakmempanan untuk diturunkan” ini sangat unik, karena hanya fungsi inilah yang ada sifat seperti ini. Sifat fungsi ini mampu diinterpretasikan sebagai berikut:
Kemiringan (gradien) grafik fungsi ini pada semua titiknya sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.
Bertambahnya nilai fungsi pada x sama dengan nilai fungsi pada x
Fungsi ini merupakan solusi dari persamaan diferensial y’=y.
Dalam ilmu-ilmu terapan, banyak persamaan diferensial yang menghasilkan fungsi eksponensial, antara lain persamaan Schrödinger, persamaan Laplace, dan persamaan untuk aksi harmonis sederhana.
Untuk fungsi eksponensial dengan basis-basis lain (yang bukan e):
{d over dx} a^x = (ln a) a^x
jadi, semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.
##Ruang lingkup formal Fungsi eksponensial ex mampu diartikan menurut beberapa ruang lingkup yang ekivalen, sebagai deret tak terhingga. Beberapa ruang lingkup tersebut antara lain:
e^x = sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!} =
1 + x + {x^2 over 2!} + {x^3 over 3!} + {x^4 over 4!} + cdots
atau sebagai limit berikut ini:
e^x = lim_{n o infty} left( 1 + {x over n} ight)^n.
Dalam ruang lingkup di atas, n! adalah faktorial dari n, dan x mampu berupa bilangan real, bilangan kompleks, ataupun konsep-konsep matematika lainnya yang kompleks, seperti matriks bujursangkar.
##Nilai numerik
Untuk mendapat nilai numerik dari fungsi eksponensial, deret tak terhingga di atas mampu ditulis menjadi:
e^x = {1 over 0!} + x , left( {1 over 1!} + x , left( {1 over 2!} + x , left( {1 over 3!} + cdots ight)ight)ight)
= 1 + {x over 1} left(1 + {x over 2} left(1 + {x over 3} left(1 + cdots ight)ight)ight)
Jika x semakin kecil dari 1, karenanya ekspresi di atas akan menemukan nilai numerik fungsi pada titik yang dicari dengan cepat.
Kunjungi Rpubs saya untuk melihat penjelasan yang lain https://rpubs.com/henyrimadana
SUMBER MATERI