상관비 계산(예제)
Kong, Seokkyu
2021-09-19
Summary
연령별 선호하는 패션 브랜드 설문자료를 통해서 상관비 개념을 검토한다.[1] 또한 STAT-110[3] 에서 배운 전체확률의 법칙[2]을 통해서 구한 값과 비교한다.
- 상관비는 수량데이터와 카테고리 데이터 비교할 때 사용한다.
- 여기서는 ‘연령별’ ‘선호하는 패션 브랜드’ 의 상관비를 계산한다.
- 상관비는 0~1 사이가 된다.
- 그리고 1에 가까울수록 강한 관련이 있다.
상관비 = 급간변동 / (급내변동 + 급간변동)
자료 입력 및 상관비 계산
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(knitr)
# 데이터 생성
person <- LETTERS[1:15]
age <- c(27, 33, 16, 29, 32, 23, 25, 28, 22, 18, 26, 26, 15, 29, 26)
brand <- c('테르메스', '샤네리올', '버퍼리', '버퍼리', '샤네리올','테르메스',
'샤네리올', '테르메스', '버퍼리', '버퍼리', '샤네리올', '테르메스',
'버퍼리', '샤네리올', '버퍼리')
df_data <- data.frame(person=person, age=age, brand=brand)
TM <- df_data[df_data$brand=='테르메스',]$age
SN <- df_data[df_data$brand=='샤네리올',]$age
BB <- df_data[df_data$brand=='버퍼리',]$age
kable(df_data, caption = "연령별 선호하는 브랜드표",
align=c("c","c","c"))| person | age | brand |
|---|---|---|
| A | 27 | 테르메스 |
| B | 33 | 샤네리올 |
| C | 16 | 버퍼리 |
| D | 29 | 버퍼리 |
| E | 32 | 샤네리올 |
| F | 23 | 테르메스 |
| G | 25 | 샤네리올 |
| H | 28 | 테르메스 |
| I | 22 | 버퍼리 |
| J | 18 | 버퍼리 |
| K | 26 | 샤네리올 |
| L | 26 | 테르메스 |
| M | 15 | 버퍼리 |
| N | 29 | 샤네리올 |
| O | 26 | 버퍼리 |
# 선호하는 사람수를 확인한다.
table(brand) # 브랜드별 선호하는 사람 수## brand
## 버퍼리 샤네리올 테르메스
## 6 5 4g <- ggplot(df_data, aes(x=brand, fill=brand)) + geom_bar()
g <- g + theme(text = element_text(family = "NanumGothic")) # XXX: 한글설정 for mac
g
# boxplot 을 그려서 각 범주별 평균과 분포 정도를 확인한다.
g <- ggplot(df_data, aes(x = brand, y = age, fill = brand)) + geom_boxplot()
g <- g + theme(text = element_text(family = "NanumGothic"))
g <- g + theme(axis.text.x = element_text(angle=45, hjust=1, vjust=1)) # XXX: 눈금 라벨을 30도 기울인다.
g
# 급내변동 (SSE) = (테르메스 - 테르메스의 평균)^2 + ... = 224
#group_inner <- sum((TM - mean(TM))^2) + sum((SN - mean(SN))^2) + sum((BB - mean(BB))^2)
tmp_1 <- df_data %>% group_by(brand) %>% summarise(avg = sum((age - mean(age))^2))
group_inner <- sum(tmp_1$avg)
group_inner## [1] 224# 급간변동 (SSR) = (테르메스의 데이터 개수)*(테르메스의 평균 - 전체평균)^2 + ... = 180
# E_T <- mean(c(TM, SN, BB)) # 전체평균 = 25
# group_between <- length(TM) * (mean(TM) - E_T)^2 + length(SN) * (mean(SN) - E_T)^2 + length(BB) * (mean(BB) - E_T)^2
E_T <- mean(df_data$age) # 전체평균
tmp_2 <- df_data %>% group_by(brand) %>% summarise(sub_sum = length(age) * sum((E_T - mean(age))^2))
group_between = sum(tmp_2$sub_sum)
group_between## [1] 180# 상관비 = 급간 변동 / (급내 변동 + 급간 변동)
# = SSR / SST = SSR / (SSE + SSR)
group_between / (group_inner + group_between) # 0.4455446## [1] 0.4455446위의 개념은 회귀분석 및 일원배치분산분석(ANOVA) 에서도 사용된다.
- SSR (Regression sum of squares): 회귀 제곱합, 설명이 되는 변동
- SSE (Error sum of squares): 오차의 제곱합, 설명이 안되는 변동
- SST (Total sum of squares): 총 제곱합
- 집단간 제곱합(SSR) = 합(집단평균 – 전체평균)^2 x 각 집단의 관찰치수
- 집단내 제곱합(SSE) = 합(각 집단내 개별관찰치 – 각 집단내 평균)^2
- 전체 제곱합(SST) = 집단간 제곱합(SSR) + 집단내 제곱합(SSE)
전체 분산의 법칙을 이용해서, 위에서 구한 상관비와 비교한다.
\[ Var(Y) = E(Var(Y|X)) + Var(E(Y|X)) \]
# 분산 공식
varp <- function(x) mean((x-mean(x))^2)
Total <- length(c(TM, SN, BB)) # 전체 개수
p_TM <- length(TM) / Total # 0.266
p_SN <- length(SN) / Total # 0.333
p_BB <- length(BB) / Total # 0.4
# 그룹내 변동성 = 그룹내 분산의 평균을 구한다 = E(Var(Y|X))
E_V <- varp(TM)*p_TM + varp(SN)*p_SN + varp(BB)*p_BB
# 그룹간 변동성 = 그룹내 평균을 구하고, 평균에 대한 분산을 구한다 = Var(E(Y|X))
# E(X), E(X^2) 을 구한다.
EX <- mean(TM) * p_TM + mean(SN) * p_SN + mean(BB) * p_BB
EX2 <- mean(TM)^2 * p_TM + mean(SN)^2 * p_SN + mean(BB)^2 * p_BB
# Var(E(Y|X)) = E(X^2) - (E(X))^2
V_E <- EX2 - EX^2
V_E # 12## [1] 12# 총 분산 비교 확인
varp(c(TM, SN, BB)) # 총 분산: 26.93333## [1] 26.93333E_V + V_E # 총 분산: 26.93333## [1] 26.93333# 상관비 확인, 위에서의 상관비와 동일함을 알 수 있다.
V_E / (E_V + V_E) # 0.4455446## [1] 0.4455446REFERENCES
[1] Shin Takahashi, 2006, 만화로 쉽게 배우는 통계학, 성안당, 121-124
[2] https://blog.naver.com/skkong89/222467620542
[3] https://www.youtube.com/watch?v=KbB0FjPg0mw&list=PL2SOU6wwxB0uwwH80KTQ6ht66KWxbzTIo