maqA<-c(145,127,136,142,141,137)
maqB<-c(143,128,132,138,142,132)
# medias
mi_a<-mean(maqA)
mi_b<-mean(maqB)
# variancias
s2_a<-var(maqA)
s2_b<-var(maqB)
(cbind(mi_a,mi_b,s2_a,s2_b))

##      mi_a     mi_b s2_a     s2_b
## [1,]  138 135.8333   40 36.96667

Desejamos testar:

\[ H_0:\sigma^2_A=\sigma^2_B=\sigma^2 \\ H_1:\sigma^2_A≠\sigma^2_B \]

Utilizamos o comando var.test para comparar duas variâncias amostrais:

teste_13_2<-var.test(x = maqA, 
                     y = maqB, 
                     conf.level = 0.9, 
                     alternative = "two.sided")
teste_13_2

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  maqA and maqB
## F = 1.0821, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.9331
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 90 percent confidence interval:
##  0.2142545 5.4647384
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.082056

Desejamos testar:

\[ H_0:\mu_A=\mu_B=\mu \\ H_1:\mu_A≠\mu_B \]

Utilizamos o comando t.test para comparar duas variâncias amostrais:

t.test(x = maqA, 
       y = maqB, mu=0, # diferença de médias
       alternative = c("two.sided"),
       var.equal = F) 

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  maqA and maqB
## t = 0.60495, df = 9.9845, p-value = 0.5587
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -5.815291 10.148624
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  138.0000  135.8333

# se colocar var.equal=T ele fará com variancias iguais (Excel)

Neste caso, chamar os dados do cd_brasil ano 2007, a partir de https://www.ime.usp.br/~pam/Dados_EB.xls e retirar linhas dos subtotais.
Tenho as variáveis: “Regiao”, “UF”, “Superfície”, “População”, “Densidade”.

Rejeito H0 e a hipótese alternativa de variâncias diferentes entre Norte e Nordeste é preferida.

var.test(Densidade ~ Regiao,
       data=subset(cd_brasil_2007,Regiao %in% c("Norte","Nordeste")),
       alternative = c("two.sided"))

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  Densidade by Regiao
## F = 424.73, num df = 8, denom df = 6, p-value = 2.182e-07
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##    75.85001 1975.72139
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           424.7314

Rejeito H0 e a hipótese alternativa de médias diferentes entre Norte e Nordeste é preferida.

t.test(Densidade ~ Regiao,
       data=subset(cd_brasil_2007,Regiao %in% c("Norte","Nordeste")),
       alternative = c("two.sided"),var.equal = F)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  Densidade by Regiao
## t = 4.7131, df = 8.0484, p-value = 0.001491
## alternative hypothesis: true difference in means between group Nordeste and group Norte is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  27.26646 79.40123
## sample estimates:
## mean in group Nordeste    mean in group Norte 
##              57.360245               4.026401

Não Rejeito H0 e considero médias iguais estatisticamente a 95% de confiança entre Sul e Nordeste.

t.test(Densidade ~ Regiao,
       data=subset(cd_brasil_2007,Regiao %in% c("Sul","Nordeste")),
       alternative = c("two.sided"),var.equal = F)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  Densidade by Regiao
## t = 0.53753, df = 9.6632, p-value = 0.6031
## alternative hypothesis: true difference in means between group Nordeste and group Sul is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -22.56941  36.83197
## sample estimates:
## mean in group Nordeste      mean in group Sul 
##               57.36025               50.22896