1 Diseño factorial Completo 2^2

1.1 Ejercicio

6.12 En un artículo de AT&T Technical Journal (vol. 65, pp. 39-50) se describe la aplicación de diseños factoriales de dos niveles en la fabricación de circuitos integrados. Un paso básico del procesamiento es hacer crecer una capa epitaxial sobre obleas de silicio pulidas. Las obleas se montan en un susceptor, se colocan en el interior de una campana de cristal y se introducen vapores químicos. El susceptor se hace girar y se aplica calor hasta que la capa epitaxial tiene el espesor suficiente. Se corrió un experimento utilizando dos factores: rapidez de flujo de arsénico (A) y tiempo de deposición (B). Se corrieron cuatro réplicas y se midió el la capa epitaxial (en \({\mu}\)m). Los datos se muestran a continuación:

A B I II III IV Bajo(-) Alto(+)
- - 14.037 16.165 13.972 13.907 A 55% 59%
+ - 13.880 13.860 14.032 13.914
- + 14.821 14.757 14.843 14.878 B Corto Largo
+ + 14.888 14.921 14.415 14.932 (10 min) (15 min)
  1. Estimular los efectos de los factores.
  2. Conducir un análisis de varianza.¿Qué factores son importantes?
  3. Escribir una encuación de regresión que podría usarse para preceder el espesor de la capa epitaxial en la región de la velocidad de flujo del arsénico y el tiempo de deposición utilizando este experimento.
  4. Analizar los residuales.¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?
  5. Comentar la fo0rma en que se podria resolver el punto atípico potencial encontrado en el insico d. 

1.2 Solución del ejercicio

a. Estimular los efectos de los factores.

library(printr)
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
View(datos)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  3 variables:
##  $ respuesta     : num  14 13.9 14.8 14.9 16.2 ...
##  $ flujo_arsenico: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ tiempo        : int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
attach(datos)
f_arsenico=factor(`flujo_arsenico`)
f_tiempo=factor(`tiempo`)
head(datos, n= 16L)
respuesta flujo_arsenico tiempo
14.037 -1 -1
13.880 1 -1
14.821 -1 1
14.888 1 1
16.165 -1 -1
13.860 1 -1
14.757 -1 1
14.921 1 1
13.972 -1 -1
14.032 1 -1
14.843 -1 1
14.415 1 1
13.907 -1 -1
13.914 1 -1
14.878 -1 1
14.932 1 1

Para calcular los efectos de los factores, debemos considerar que en la ejecución de un diseño factorial completo de la familia 22 es necesario considerar el factor de interacción; el modelo matemático que relaciona los efectos de los factores en la variable de salida se escribe de la siguiente manera: \[y_ij={\mu}+{\tau_i}+{\beta_j}+{\varepsilon_{ij}}\] Según Montgomery, en un diseño factorial con dos niveles, el efecto primedio de un factor puede definirse como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para para los niveles del otro factor(Montgomery (2004), 2004). Dicho lo anterior, para el caso del factor A, el efecto promedio, utilizando la notación de Yates, se define como: \[A={\frac{1}{2n}}[ab+a-a-b-(1)]\] Para el caso del factor B, se define de la siguiente manera: \[B={\frac{1}{2n}}[ab+b-a-(1)\] En el caso del efecto de interacción AB, se define como la diferencia promedio entre el efecto de A con el nivel alto de B y el efecto de A con el nivel bajo de B, por lo tanto: \[AB={\frac{1}{2n}}[ab+(1)-a-b]\] Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:

modelo=lm(respuesta~(f_arsenico+f_tiempo+f_arsenico*f_tiempo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = respuesta ~ (f_arsenico + f_tiempo + f_arsenico * 
##     f_tiempo))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.61325 -0.14431 -0.00563  0.10188  1.64475 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)            14.5202     0.2824  51.414 1.93e-15 ***
## f_arsenico1            -0.5987     0.3994  -1.499    0.160    
## f_tiempo1               0.3045     0.3994   0.762    0.461    
## f_arsenico1:f_tiempo1   0.5630     0.5648   0.997    0.339    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5648 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3535, Adjusted R-squared:  0.1918 
## F-statistic: 2.187 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.1425
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 4, nfactors = 2, factor.names = list(f_arsenico=c(-1,1), f_tiempo=c(-1,1)), replications = 4, randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = respuesta)
gráfica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Gráfica de Efectos Individuales")

gráfica_interaciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Interacciones")

head(gráfica_efectos_principales)
f_arsenico f_tiempo
- 14.67250 14.22087
+ 14.35525 14.80687 
head(gráfica_interaciones)
f_arsenico:f_tiempo
-:- 14.52025
+:- 13.92150
-:+ 14.82475
+:+ 14.78900

b. Conducir un análisis de varianza.¿Qué factores son importantes?
Para establecer de manera definitiva cuales son los niveles de operación del sistema, es conveniente verificar la significancia tanto de los factores de manera individual como de las interacciones, para tal caso se ejecuta el Análisis de Varianza (ANOVA) correspondiente, mediante la siguiente secuencia de comandos:

tabla_anova=aov(modelo)
summary(tabla_anova)
##                     Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## f_arsenico           1  0.403  0.4026   1.262 0.2833  
## f_tiempo             1  1.374  1.3736   4.305 0.0602 .
## f_arsenico:f_tiempo  1  0.317  0.3170   0.994 0.3386  
## Residuals           12  3.828  0.3190                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Con base a la prueba experimental, el valor p no es significativo para el efecto producido del flujo de arsénico, se considero un nivel de significación α=0.05, tenido un valor mayor al 5%, se puede concluir que no existen diferentes significativas entre el grosor promedio del producto considerados en el flujo de arsénico. Del mismo modo para efectos del factor de exposición, al analizar la información experimental se puede concluir que no existe diferencias significativas, por lo tanto se rechaza la hipótesis alternativa y se aprueba la niña. Para las interacciones, de igual forma se puede observar que no existen diferencias significativas ya que el valor p es mayor al 5% , por lo tanto no provocan cambios importantes en el grosor de la capa epitaxil resultante.

c. Escribir una encuación de regresión que podría usarse para preceder Para el caso del modelo estadístico, el resultado obtenido reporta que los coeficientes de regresión dados los datos presentados quedarían representados de la siguiente manera: \[Grosor_ij={14.5420}-{0.1868Porcentaje_i}+{0.2649Tiempo_j}+{0.1689PorcentajeTiempo_{ij}}\] d. Analizar los residuales.¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?

Prueba de Adecuación

Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk
Para el caso específico de la normalidad, procederemos a utilizar la Prueba de Bondad de Ajuste a la Distribución Normal de Shapiro-Wilks, aunque cabe mencionar que puede utilizarse cualquier otra, como Kolmogorov-Smirnov o Anderson-Darlind, la prueba de Shapiro-Wilks está diseñada específicamente para la Distribución Normal(Montgomery (2004), 2004). Para realizar esta prueba debemos plantear las siguientes hipótesis de trabajo: \[H_0:x \, {\in}\, N\, ({\mu}=0, {\sigma^2}=Constante)\] \[H_1:x \, {\notin} \, N \, ({\mu}=0,{\sigma^2}=Constante)\] La hipótesis nula de la Prueba de Shapiro-Wilks se rechaza cuando \(Valor_p<0.05\), siempre es recomendable realizar una gráfica de probabilidad normal para confirmar la prueba de hipótesis, para lo cual utilizaremos la siguiente secuencia de comandos

prueba_normal=shapiro.test(resid(modelo))
print(prueba_normal)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.71743, p-value = 0.0002643
#Gráfica de probabilidad normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

Al analizar los datos mediante la prueba de Shapiro-Wilk se puede reflejar que existe validación de la normalidad en los residuos. Mediante la gráfica de Residuos del Modelo se puede concluir que existen datos atípicos que muestra que el modelo propuesto no puede ser el adecuado para expresar las medidas del grosor de la capa epitaxial en el flujo del arsénico al igual que tal tiempo de exposición.

Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett La Prueba de Homocedasticidad, o de Varianzas Iguales, se realiza mediante la Prueba de Bartlett, misma que para el caso particular, como sólo es significativo el factor de tratamiento, solo se considerará éste para la ejecución de la prueba(Pulido & Vara Salazar (2012), 2012). La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis: \[H_0:{\sigma^2}={\sigma^2_j}=Costante\]

\[H_1:{\sigma^2}\,{\neq}\,{\sigma^2_j}\,{\neq}\,Costante\]

La Prueba de Bartlett se realiza con la siguiente línea de comandos, misma que se efectúa por separado para cada factor.

prueba_homocedasticidad=bartlett.test(respuesta~f_arsenico, data = datos)
print(prueba_homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  respuesta by f_arsenico
## Bartlett's K-squared = 1.0199, df = 1, p-value = 0.3125
prueba_homocedasticidad_tiempo=bartlett.test(respuesta~f_tiempo,data = datos)
print(prueba_homocedasticidad_tiempo)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  respuesta by f_tiempo
## Bartlett's K-squared = 11.714, df = 1, p-value = 0.0006203

Al analizar los datos para la igualdad de varianzas nos encontramos que para efectos de tiempo de exposición se acepta la hipótesis de diferencia de varianzas, lo que se concreta que el modelo no es el adecuado para indicar los cambios en el grosor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición.

e. Comentar la forma en que se podria resolver el punto atípico potencial encontrado en el insico d.

En efecto en el modelo propuesto se encuentran los datos atípicos que pueden ser analizados mediante lo siguiente: -Datos atípicos univariados -Datos atípicos multivariados

Bibliográfia

Montgomery, D. C. (2004). Diseño y Análisis de Experimentos (2.ª ed.). Limusa Wiley.
Pulido, H. G., & Vara Salazar, R. de la. (2012). Analisis y diseño de Experimentos (3.ª ed.). McGraw Hill.