1 Diseño Factorial Completo 2^2

1.1 Ejemplo

6.12 En un artículo de AT&T Technical Journal (vol. 65, pp. 39-50) se describe la aplicación de diseños factoriales de dos niveles en la fabricación de circuitos integrados. Un paso básico del procesamiento es hacer crecer una capa epitaxial sobre obleas de silicio pulidas. Las obleas se montan en un susceptor, se colocan en el interior de una campana de cristal y se introducen vapores químicos. El susceptor se hace girar y se aplica calor hasta que la capa epitaxial tiene el espesor suficiente. Se corrió un experimento utilizando dos factores: rapidez de flujo de arsénico (A) y tiempo de deposición (B). Se corrieron cuatro réplicas y se midió el la capa epitaxial (en \({\mu}\)m). Los datos se muestran a continuación:

                 Réplica               Niveles de factores
A B I II III IV Bajo(-) Alto(+)
- - 14.037 16.165 13.972 13.907 A 55% 59%
+ - 13.880 13.860 14.032 13.914
- + 14.821 14.757 14.843 14.878 B Corto Largo
+ + 14.888 14.921 14.415 14.932 (10 min) (15 min)
  1. Estimular los efectos de los factores.
  2. Conducir un análisis de varianza.¿Qué factores son importantes?
  3. Escribir una encuación de regresión que podría usarse para preceder el espesor de la capa epitaxial en la región de la velocidad de flujo del arsénico y el tiempo de deposición utilizando este experimento.
  4. Analizar los residuales.¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?
  5. Comentar la fo0rma en que se podria resolver el punto atípico potencial encontrado en el insico d. 

1.2 Solución

a) Estimular los efectos de los factores.

library(printr)
## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  3 variables:
##  $ Respuesta     : num  14 13.9 14.8 14.9 16.2 ...
##  $ flujo_arsenico: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ tiempo        : int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
attach(datos)
f_arsenico=factor(`flujo_arsenico`)
f_tiempo=factor(`tiempo`)
head(datos, n= 16L)
Respuesta flujo_arsenico tiempo
14.037 -1 -1
13.880 1 -1
14.821 -1 1
14.888 1 1
16.165 -1 -1
13.860 1 -1
14.757 -1 1
14.921 1 1
13.972 -1 -1
14.032 1 -1
14.843 -1 1
14.415 1 1
13.907 -1 -1
13.914 1 -1
14.878 -1 1
14.932 1 1

Para calcular los efectos de los factores, debemos considerar que en la ejecución de un diseño factorial completo de la familia 2^2 es necesario considerar el factor de interacción; el modelo matemático que relaciona los efectos de los factores en la variable de salida se escribe de la siguiente manera:

\[y_ij={\mu}+{\tau_i}+{\beta_j}+{\varepsilon_{ij}}\]

Según Montgomery, en un diseño factorial con dos niveles, el efecto primedio de un factor puede definirse como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para para los niveles del otro factor(Montgomery, 2004). Dicho lo anterior, para el caso del factor A, el efecto promedio, utilizando la notación de Yates, se define como:

\[A={\frac{1}{2n}}[ab+a-a-b-(1)]\]

Para el caso del factor B, se define de la siguiente manera:

\[B={\frac{1}{2n}}[ab+b-a-(1)\]

En el caso del efecto de interacción AB, se define como la diferencia promedio entre el efecto de A con el nivel alto de B y el efecto de A con el nivel bajo de B, por lo tanto:

\[AB={\frac{1}{2n}}[ab+(1)-a-b]\] Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:

modelo=lm(Respuesta~(f_arsenico+f_tiempo+f_arsenico*f_tiempo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = Respuesta ~ (f_arsenico + f_tiempo + f_arsenico * 
##     f_tiempo))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.61325 -0.14431 -0.00563  0.10188  1.64475 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)            14.5202     0.2824  51.414 1.93e-15 ***
## f_arsenico1            -0.5987     0.3994  -1.499    0.160    
## f_tiempo1               0.3045     0.3994   0.762    0.461    
## f_arsenico1:f_tiempo1   0.5630     0.5648   0.997    0.339    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5648 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3535, Adjusted R-squared:  0.1918 
## F-statistic: 2.187 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.1425
library(FrF2)
## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5
experimento=FrF2(nruns = 4, nfactors = 2, factor.names = list(f_arsenico=c(-1,1), f_tiempo=c(-1,1)), replications = 4, randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Respuesta)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main="Gráfica de efectos individuales")

grafica_interaciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de interacciones")

head(grafica_efectos_principales)
f_arsenico f_tiempo
- 14.67250 14.22087
+ 14.35525 14.80687 
head(grafica_interaciones)
f_arsenico:f_tiempo
-:- 14.52025
+:- 13.92150
-:+ 14.82475
+:+ 14.78900

El caso de las gráficas individuales tienen una rapidez de flujo de arsénico al 55% de su capacidad y genera un grosor de la capa epitaxial de 14.67250 \(\mu m\) aproximadamente, mientras que un flujo de dicha sustancia al 59% de su misma capacidad un grosor de la capa de 14.35525 \(\mu m\).En el tiempo, en un lapso corto de 10 min de exposición a vapores químicos produce en promedio un grosor de la capa epitaxial de 14.22087 \(\mu m\), a comparación de un tiempo de exposición largo de 15 min genera un grosor promedio de la capa de 14.80687 \(\mu m\). Por tanto, se puede concluir que un tiempo de exposición largo a los vapores químicos crea un mayor grosor a la capa mas grande que un flujo al 59% de capacidad del flujo de arsénico, se toma en cuenta al tiempo como un factor principal.Las gráficas de interacciones cuando el flujo de arsénico está en un 55% de su capacidad con un tiempo de exposición corto de 10 min este produce un grosor promedio de 14.52025 \(\mu m\), si se mantiene el flujo de arsénico a ese nivel y se opera el sistema para un tiempo largo de 15 min de exposición se genera un grosor promedio de la capa de 14.82475 \(\mu m\), por lo que dan cierta evidencia de una interacción entre el flujo de arsénico y el tiempo de exposición.En el caso del flujo de arsénico en un nivel de funcionamiento de 59%, si se mantiene el sistema operando para un tiempo corto de 10 min de exposición se tiene un grosor promedio de 13.92150 \(\mu m\), y si se mantiene operando el sistema con un flujo de arsénico al 59% de su capacidad con un tiempo largo de 15 min de exposición, se obtiene un grosor promedio de la capa de 14.78900 \(\mu m\).Para definir la significancia de los factores de manera individual así como de las interacciones cuando se quiere alcanzar establecer de manera definitiva cuales son los niveles de operación del sistema, y para eso se realiza un Análisis de Varianza (ANOVA) mediante la siguiente secuencia de comandos que se realizan en el siguiente apartado.

b) Conducir un análisis de varianza.¿Qué factores son importantes?

Para establecer de manera definitiva cuales son los niveles de operación del sistema, es conveniente verificar la significancia tanto de los factores de manera individual como de las interacciones, para tal caso se ejecuta el Análisis de Varianza (ANOVA) correspondiente, mediante la siguiente secuencia de comandos:

tabla_anova=aov(modelo)
summary(tabla_anova)
##                     Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## f_arsenico           1  0.403  0.4026   1.262 0.2833  
## f_tiempo             1  1.374  1.3736   4.305 0.0602 .
## f_arsenico:f_tiempo  1  0.317  0.3170   0.994 0.3386  
## Residuals           12  3.828  0.3190                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Con base a los resultados obtenidos se concluye que no existen diferencias significativas en los grosores promedio producidos por los niveles de tratamiento para el flujo arsénico.En el caso factor tiempo de exposición, se puede concluir que no existe diferencia significativa entre los niveles probados para este factor, por lo tanto se acepta la hipótesis nula.En la interacción, se puede concluir que no existe diferencia significativas entre las diferentes interacciones producidas, por lo tanto, se concluye que si bien existen interacciones, no son suficientes para provocar cambios importantes en el grosor de la capa epitaxial resultante.

c) Escribir una encuación de regresión que podría usarse para preceder

En el caso de un modelo estadístico, el coeficiente de regresión del informe de resultados dado los datos se expresará de la siguiente manera:

\[Grosor_ij={14.5420}-{0.1868Porcentaje_i}+{0.2649Tiempo_j}+{0.1689PorcentajeTiempo_{ij}}\]

Realizado el analisis ANOVA se debe aplicar la prueba de normalidad de residuos Shapiro Wilks y para igualdad de varianzas la prueba Barttlet.

d) Analizar los residuales.¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?

Prueba de Adecuación

Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk

Para realizar esta prueba debemos plantear las siguientes hipótesis de trabajo:

\[H_0:x \, {\in}\, N\, ({\mu}=0, {\sigma^2}=Constante)\] \[H_1:x \, {\notin} \, N \, ({\mu}=0,{\sigma^2}=Constante)\]

Cuando el \(valor_p\)<0.05, se rechaza la hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilks.Siempre se recomienda realizar una gráfica de probabilidad normal para confirmar la prueba de hipótesis.Para ello usaremos la siguiente secuencia de comandos:

prueba_normal=shapiro.test(resid(modelo))
print(prueba_normal)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.71743, p-value = 0.0002643
#Gráfica de probabilidad normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

Los resultados obtenidos por la prueba de Shapiro-Wilk demuestran que los residuales carecen de normalidad. La gráfica de probabilidad de los residuales del modelo confirma esta situación. Se concluye que para este caso especial, existen datos atípicos para el modelo propuesto. Esto da como resultado el modelo no siendo suficiente para explicar el espesor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición al baño químico experimentado por la oblea de silicio pulido.

Prueba Igualdad de Varianza de Bartlett

La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:

\[H_0:{\sigma^2}={\sigma^2_j}=Costante\]

\[H_1:{\sigma^2}\,{\neq}\,{\sigma^2_j}\,{\neq}\,Costante\] La Prueba de Bartlett se realiza con la siguiente línea de comandos, misma que se efectúa por separado para cada factor

prueba_homocedasticidad=bartlett.test(Respuesta~f_arsenico, data = datos)
print(prueba_homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  Respuesta by f_arsenico
## Bartlett's K-squared = 1.0199, df = 1, p-value = 0.3125
prueba_homocedasticidad_tiempo=bartlett.test(Respuesta~f_tiempo,data = datos)
print(prueba_homocedasticidad_tiempo)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  Respuesta by f_tiempo
## Bartlett's K-squared = 11.714, df = 1, p-value = 0.0006203

Para aceptar la igualdad de varianzas, es necesario que los residuales sean homocedásticos para todos los factores, y en el caso de el factor de tiempo, se rechaza la hipótesis de igualdad de varianzas.Por lo tanto se concluye que el modelo no es adecuado para explicar los cambios en el grosor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición al baño químico para las obleas de silicio pulido.

e) Comentar la forma en que se podria resolver el punto atípico potencial encontrado en el insico d.

Para el caso de los datos atípico existen varias alternativas, los cuales son datos atípico univariados y datos atípicos multivariados.En las alternativas para datos atípicos existen varias alternativas de solución entre ellas los univariante o multivariante.Por lo tanto se concluye que se puede resolver con los datos atípicos multivariados.

Bibliografia

Montgomery, D. C. (2004). Diseño y Análisis de Experimentos (2.ª ed.). Limusa Wiley.