Ejercicio 6.12

6.12 En un artículo de AT&T Technical Journal (vol. 65, pp. 39-50) se describe la aplicación de diseños factoriales de dos niveles en la fabricación de circuitos integrados. Un paso básico del procesamiento es hacer crecer una capa epitaxial sobre obleas de silicio pulidas. Las obleas se montan en un susceptor, se colocan en el interior de una campana de cristal y se introducen vapores químicos. El susceptor se hace girar y se aplica calor hasta que la capa epitaxial tiene el espesor suficiente. Se corrió un experimento utilizando dos factores: rapidez de flujo de arsénico (A) y tiempo de deposición (B). Se corrieron cuatro réplicas y se midió el la capa epitaxial (en μm). Los datos se muestran a continuación:(Montgomery, 2004)

Replica Niveles de factores
A B I II III IV Factor Bajo_(-) Alto_(+)
- - 14.037 16.165 13.972 13.907 A 55% 59%
+ - 13.880 13.860 14.032 13.914
- + 14.821 14.757 14.843 14.878 B Corto Largo
+ + 14.888 14.921 14.415 14.932 10 min 15 min

Una vez leído el ejercicio, resuelve de manera clara y ordenada los siguientes incisos:
a) Estime los efectos de los factores
b) Ejecute un análisis de varianza ¿Qué factores son importantes?
c) Escriba una ecuación de regresión que podría usarse para predecir el espesor de la capa epitaxial en la región de la velocidad de flujo del arsénico y el tiempo de deposición utilizado en este experimento.
d)Analice los residuales. ¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?
e) Comentar la forma en que se podría resolver el punto atípico potencial encontrado en el inciso d. 

Desarrollo del ejercicio

a) Estime los efectos de los factores

#--------Preparación_de_datos----------#
library(printr)
## Warning: package 'printr' was built under R version 4.0.5
library(FrF2)
## Warning: package 'FrF2' was built under R version 4.0.5
datos= read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  3 variables:
##  $ Respuesta     : num  14 13.9 14.8 14.9 16.2 ...
##  $ flujo_arsenico: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ tiempo        : int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
attach(datos)
head(datos, n= 16L)
Respuesta flujo_arsenico tiempo
14.037 -1 -1
13.880 1 -1
14.821 -1 1
14.888 1 1
16.165 -1 -1
13.860 1 -1
14.757 -1 1
14.921 1 1
13.972 -1 -1
14.032 1 -1
14.843 -1 1
14.415 1 1
13.907 -1 -1
13.914 1 -1
14.878 -1 1
14.932 1 1 
modelo=lm(Respuesta~(flujo_arsenico+tiempo+flujo_arsenico*tiempo))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Respuesta ~ (flujo_arsenico + tiempo + flujo_arsenico * 
##     tiempo))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.61325 -0.14431 -0.00563  0.10188  1.64475 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)            14.5139     0.1412 102.783   <2e-16 ***
## flujo_arsenico         -0.1586     0.1412  -1.123   0.2833    
## tiempo                  0.2930     0.1412   2.075   0.0602 .  
## flujo_arsenico:tiempo   0.1407     0.1412   0.997   0.3386    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5648 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3535, Adjusted R-squared:  0.1918 
## F-statistic: 2.187 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.1425
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 4, nfactors = 2, factor.names = list(Flujo_arcenico=c(-1,1),Tiempo=c(-1,1)),replications = 4,randomize = FALSE)
experimento_respuesta=add.response(design=experimento,response = Respuesta)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_respuesta, main= "Gráfica de Efectos Individuales")

grafica_interacciones=IAPlot(experimento_respuesta, main= "Gráfica de Interacciones")

head(grafica_efectos_principales)
Flujo_arcenico Tiempo
- 14.67250 14.22087
+ 14.35525 14.80687 
head(grafica_interacciones)
Flujo_arcenico:Tiempo
-:- 14.52025
+:- 13.92150
-:+ 14.82475
+:+ 14.78900

b) Ejecute un análisis de varianza ¿Qué factores son importantes?

c) Escriba una ecuación de regresión que podría usarse para predecir el espesor de la capa epitaxial en la región de la velocidad de flujo del arsénico y el tiempo de deposición utilizado en este experimento.

anova=aov(modelo)
summary(anova)
##                       Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## flujo_arsenico         1  0.403  0.4026   1.262 0.2833  
## tiempo                 1  1.374  1.3736   4.305 0.0602 .
## flujo_arsenico:tiempo  1  0.317  0.3170   0.994 0.3386  
## Residuals             12  3.828  0.3190                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

nos podemos dar cuenta en el Valorp para el efecto ocasionado por el flujo de arsénico no es significativo debido a que, considerando un nivel de significancia de α=0.05, Valorp>α,se deberá aceptar la hipótesis nula y por lo tanto se concluye que no existen diferencias significativas entre los grosores promedio que son producidos por los niveles del factor de tratamiento considerados para el flujo de arsénico. en el caso del factor Tiempo de exposición, se concluye que no existen diferencias significativas entre los niveles probados para este factor, dado que Valorp>α, se deberá aceptar la hipótesis nula para los niveles del factor en comento. con esto nos damos cuenta que las interacciones, se concluye que no existen diferencias significativas entre las diferentes interacciones generadas, dado que Valorp>α, con lo que concluimos que, si bien existen interacciones evidentes, éstas no son los suficientemente fuertes para provocar cambios importantes en el grosor de la capa epitaxial resultante.

d)Analice los residuales. ¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?

Prueba de Shapiro-Wilk

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.71743, p-value = 0.0002643
#Gráfica de Probabiliad Normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

viendo los resultados obtenidos para la prueba de Shapiro-Wilk se obserba la falta de normalidad en los residuos, esto se confirma mediante la Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo, llegamos a la conclusión de que, existen datos atípicos para el modelo propuesto, mismos que provocan que dicho modelo no sea el adecuado para explicar el grosor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición al baño químico al que se somenten las obleas de silicio pulido.

Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett

homocedasticidad_flujo=bartlett.test(Respuesta~flujo_arsenico, data=datos)
print(homocedasticidad_flujo)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  Respuesta by flujo_arsenico
## Bartlett's K-squared = 1.0199, df = 1, p-value = 0.3125
homocedasticidad_tiempo=bartlett.test(Respuesta~tiempo, data=datos)
print(homocedasticidad_tiempo)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  Respuesta by tiempo
## Bartlett's K-squared = 11.714, df = 1, p-value = 0.0006203

Para aceptar la igualdad de varianzas, es necesario que los residuales sean homocedásticos para todos los factores, y en el caso de el factor Tiempo de exposición, se rechaza la hipótesis de igualdad de varianzas. con estos datos podemos concluir que el modelo no es adecuado para explicar los cambios en el grosor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición al baño químico para las obleas de silicio pulido.

Inciso e

Datos atípicos

“Una observación que se desvía mucho de otras observaciones y despierta sospechas de ser generada por un mecanismo diferente” Para los datos atípicos existen varias alternativas de solución los cuales se identifican desde una perspectiva univariante o multivariante. Datos atipicos univariados

##Bibliografía

Montgomery, D. C. (2004). Diseño y análisis de experimentos (2nd ed.). Limusa Wiley.