VaR

Curso Teoría de Riesgo

Introducción

La metodología de valor en riesgo fue desarrollada en 1994 por J. P. Morgan (1995) y ha sido ampliamente utilizada en los mercados financieros como una medida del riesgo de una inversión. El VaR está siendo utilizado extensamente para que las empresas financieras evalúen los riesgos que tienen en las operaciones de inversión. Es una medida sencilla de tal forma que puede ser fácilmente comprendida por personas no versadas en análisis de riesgo.

El valor en riesgo es una medida estadística del riesgo de mercado que cuantifica la pérdida máxima que podría tener un activo un portafolio en un período determinado, con un determinado nivel de confianza, en condiciones normales del mercado.

Para calcular el VaR es necesario definir el nivel de confianza que desea utilizar. Los niveles de confianza más utilizados son 0.95 y 0.99. También debe definirse el horizonte de tiempo en el cual se va a medir. Generalmente se utiliza determinar el VaR para un día o para diez dias. J. P. Morgan recomienda que se utilice un nivel de confianza 0.95 con un horizonte de un día.

Según la definición del VaR. esta medida o ofrece certidumbre con relación la pérdida que podría sufrir una inversión en un tiempo determinado, sino una probabilidad de que una determinada pérdida ocurra. El VaR correspondencia al \((1- \alpha) -\)ésimo cuantil de la distribución de pérdidas y ganancias del activo.

Cálculo del VaR: métodos paramétricos

VaR para un activo individual

El VaR parte del supuesto de normalidad de los rendimientos del activo financiero y, además, que la media de los rendimientos es cero. El modelo desarrollado para el VaR es:

VaR

El modelo a desarrollado para el VaR es:

\[\text{VaR }=Z\cdot S\cdot \sigma\cdot\sqrt{t}\]

\(Z:\) es el valor de la variable estandarizada en la distribución normal estándar para un nivel de confianza \(1-\alpha\). Los niveles de confianza más utilizados son 0.95 y 0.99, para los cuales el valor correspondiente de \(Z\) son de 1.65 y 2.33, respectivamente.

\(S:\) es el monto totaal de la inversión o cantidad total del dinero expuesto a riesgo.

\(\sigma:\) es la desviación estándar de los rendimientos del activo (volatilidad de los rendimientos).

\(t:\) el horizonte de tiempo el cual se calcula el VaR. los horizontes de tiempo más usual es a un o diez días.

Ejemplo

Retomemos un ejemplo ya tomado en el curso anteiormente, con el paquete TTR tomemos la serie de precios de la acción de Apple entre los años 2018 y 2019.

library(tidyquant)
library(TTR)
library(ggplot2)
AAPL <- tq_get("AAPL", get="stock.prices", from= "2018-01-01", to= "2019-12-31") 
AAPL <- data.frame(AAPL) 
a<-mean(AAPL$close)
sma20 <- SMA(AAPL[c('close')], n=10) 

fecha20<- as.Date(AAPL$date)
precio<-AAPL$close
data<-data.frame(fecha20,precio,sma20)
ggplot(data = data,
       aes(fecha20,y = precio)) +
  geom_line(color='darkblue')+
  ggtitle('Precio de una acción') +
  xlab('Fecha') + 
  ylab('Precio cierre') 

Si calculamos su rendimiento tenemos el siguiente gráfico

fecha<-fecha20
n<-length(precio)
rendimiento<-c()
for (i in 1:n) {
  rendimiento[i]<-(precio[i+1]-precio[i])/(precio[i])
}
dataprecio<-data.frame(fecha,rendimiento)
ggplot(data = dataprecio,
       aes(fecha,y = rendimiento)) +
  geom_line(color='darkblue')+
  ggtitle('Rendimiento de una acción') +
  xlab('Fecha') + 
  ylab('Rendimiento del precio de cierre') 

Vamos a suponer que queremos realizar un inversión en este activo por un valor de \(\$ 10.000.000\), revisemos el Var a un 95% de confianza a un día y a 10 días, entonces usando el modelo

\[\text{VaR }=Z\cdot S\cdot \sigma\cdot\sqrt{t}\]

• A un día, se obtiene

sigma<-sd(na.omit(rendimiento))
VaR<-1.65*10000000*sigma*sqrt(1)
VaR

[1] 286615.7

Con una confianza del 95%, la máxima pérdida en condiciones normales del mercado el inversionista en un día normal del mercado es de \(\$286.615.7\).

• A 10 días, se obtiene

VaR<-1.65*10000000*sigma*sqrt(10)
VaR

[1] 906358.4

Con una confianza del 95%, la máxima pérdida en condiciones normales del mercado el inversionista en 10 días de conducta normal en el mercado es de \(\$906.358.4\).

Valor en riesgo de un portafolio

Un portafolio es un conjunto formado por activos financieros. Matemáticamente, puede definirse como una combinación lineal de los activos.

La diversificación del portafolio es una herramienta útil, pues ayuda a proteger de las pérdidas que puede sufrir un inversionista, ya que cuando uno de los activos sufre una baja, otros pueden tener una alza y de esta manera unos activos compensan la pérdida que puedan tener otros. El método para el cálculo del VaR que a continuación se expone se conoce como método de varianza-covarianza o delta normal.

Se considera primero el caso sencillo de un portafolio con dos activos, cada uno de los cuales participa en el portafolio con ponderaciones \(w_1\) y \(w_2\), con \(w_1+w_2=1\).

Si el rendimiento esperado de cada uno de los dos activos es \(\overline{r}_1\) y \(\overline{r}_2\), respectivamente, el rendimiento esperado del portafolio será:

\[\overline{r}_p=w_1\overline{r}_1+w_2\overline{r}_2\]

Sean \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) las varianzas de los rendimientos de los dos activos \(\sigma_1\) y \(\sigma_2\) las desviaciones estándar de los rendimientos de los dos activos, \(\sigma_{12}\) la covarianza entre los rendimientos de los dos activos y \(\rho_{12}\) el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los dos activos. La varianza de los rendimientos del portafolio la definimos como:

\[\sigma^2_p=w_1^2\sigma^2_1+w_2^2\sigma^2_2+2w_1w_2\sigma_{12}\]

Que también puede expresarse como:

\[\sigma^2_p=w_1^2\sigma^2_1+w_2^2\sigma^2_2+2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2\]

el VaR del portafolio es:

\[\text{VaR }_p=Z\cdot S\cdot \sigma_p\cdot\sqrt{t}\]

\[\text{VaR}_p=Z\cdot S\cdot \sqrt{t}\sqrt{w_1^2\sigma^2_1+w_2^2\sigma^2_2+2w_1w_2\sigma_{12}}\]

o

\[\text{VaR}_p=\sqrt{\text{VaR}^2_1+\text{VaR}^2_2+2\rho_{12}\text{VaR}_1\text{VaR}_2}\]

Que también se conoce como el VaR diversificado. Se puede observar que el VaR diversificado es menor que la suma aritmética de los VaR de los activos individuales que lo conforman.