DISTRIBUCIONES DISCRETAS (TEORÍA)
Distribución binomial
Distribución binomial
Dr. rer. nat. Humberto LLinás Solano
Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad del Norte (Barranquilla, Colombia)25/07/25
Abstract
La teoría mencionada puede revisarse en el capítulo 3 de mis notas de clase que aparecen en el siguiente documento: 1.1. Estadística básica. En Rpubs:: toc se pueden ver otros documentos de posible interés.
1 Distribución binomial
1.0.1 Experimentos de Bernoulli y binomial
El experimento de Bernoulli sólo tiene dos resultados posibles: “éxito” y “fracaso”. Un éxito ocurre con probabilidad \(p\), siendo \(0<p<1\).
El experimento binomial es un experimento de Bernoulli que se ejecuta \(n\) veces, de tal manera que las diferentes ejecuciones se efectúen independientemente unas de las otras y con la misma probabilidad \(p\).
1.0.2 Función de probabilidad
Si se realiza \(n\) veces un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito \(p\) y si \(X\) denota al número total de éxitos obtenidos, entonces, la probabilidad de que se obtengan \(k\) éxitos está dada por la función de probabilidad \(f\):
\[f(k) \;=\;P(X=k) \;=\; {n\choose k} p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n\]
La correspondiente distribución de \(X\) se conoce con el nombre de distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\).
El código para escribir la expresión anterior es:
$$f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {n\choose k} p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n$$1.0.3 Gráfica de la función de probabilidad
En las gráficas de abajo se muestran diferentes representaciones gráficas de la función de probabilidad binomial con diferentes \(n=5, 15, 25, 35, 50, 100\) y el mismo valor de \(p=0.5\).
1.0.4 Función de de distribución acumulada
Si \(f\) es la función de probabilidad binomial, entonces la función de distribución acumulada binomial \(F\) se calcula así:
\[F(t)\; =\; P(X\leq t) \;= \; \sum\limits_{x; \, x\leq t} f(x), \quad \text{para todo $t$ real}\]
En las gráficas de abajo se muestran diferentes representaciones gráficas de \(F\) con diferentes \(n=5, 15, 25, 35, 50, 100\) y el mismo valor de \(p=0.5\).
1.0.5 Esperanza y varianza
\[E(X)= np, \qquad V(X)= np(1-p)\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$E(X)= np, \qquad V(X)= np(1-p)$$2 Ejemplo 1: Enunciado
Supóngase que se lanza una moneda 5 veces y sea \(X\) la variable aleatoria que representa el “número de caras que resultan”. Halle:
a) La probabilidad de que el número de caras sea igual a 3.
b) La probabilidad de que el número de caras sea igual a 2.
c) La probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 3.
d) La probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 2.
e) La probabilidad de que el número de caras sea mayor que 3 (usando f).
f) La probabilidad de que el número de caras sea mayor que 3 (usando F).
g) La probabilidad de que el número de caras se encuentre entre 1 y 4 (ambos inclusive).
h) La probabilidad de que el número de caras se encuentre entre 1 y 4 (ambos no inclusive).
i) La esperanza de X, es decir, la esperanza del número de caras que resultan.
j) La varianza de X, es decir, la varianza del número de caras que resultan.
k) La desviación de X, es decir, la desviación del número de caras que resultan.3 Ejemplo 1: Solución
La variable \(X\) tiene distribución binomial con parámetros \(n=5\) y \(p=0.5\).
3.0.1 Solución parte (a)
Utilizando la fórmula binomial, la probabilidad de que el número de caras sea igual a 3 se calcula así:
\[P(X= 3) = {5\choose 3} (0,5)^3\, (1-0,5)^{5-3} = 0.3125\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(X= 3) = {5\choose 3} (0,5)^3\, (1-0,5)^{5-3} = 0.3125$$La probabilidad de que el número de caras sea igual a 3 es 0.3125.
3.0.2 Solución parte (b)
La probabilidad de que el número de caras sea igual a 2 es 0.3125.
3.0.3 Solución parte (c)
Utilizando la fórmula binomial, la probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 3 se calcula así:
\[\begin{eqnarray*} P(X\leq 3) &=& f(0) + f(1) + f(2) + f(3)\\ &=& {5\choose 0} (0,5)^0\, (1-0,5)^{5-0} +{5\choose 1} (0,5)^1\, (1-0,5)^{5-1}+ {5\choose 2} (0,5)^2\, (1-0,5)^{5-2} +{5\choose 3} (0,5)^3\, (1-0,5)^{5-3}\\ &=& 0.8125 \end{eqnarray*}\]
El código para escribir la expresión anterior es:
\begin{eqnarray*}
P(X\leq 3) &=& f(0) + f(1) + f(2) + f(3)\\
&=& {5\choose 0} (0,5)^0\, (1-0,5)^{5-0} +{5\choose 1} (0,5)^1\, (1-0,5)^{5-1}+
{5\choose 2} (0,5)^2\, (1-0,5)^{5-2} +{5\choose 3} (0,5)^3\, (1-0,5)^{5-3}\\
&=& 0.8125
\end{eqnarray*}Es decir, la probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 3 es 0.8125.
3.0.4 Solución parte (d)
La probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 2 es 0.5.
3.0.5 Solución parte (e)
Utilizando la fórmula binomial, la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 3 se calcula así:
\[P(X>3) \; = \; f(4) + f(5)\; = \; 0.1875\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(X>3) \; = \; f(4) + f(5)\; = \; 0.1875$$Es decir, la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 3 es 0.1875.
3.0.6 Solución parte (f)
Por la propiedad del complemento:
\[P(X> 3) \; = \; 1- F(3)\; = \;1- 0.8125 \; = \; 0.1875\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(X> 3) \; = \; 1- F(3)\; = \;1- 0.8125 \; = \; 0.1875$$Es decir, la probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 3 es 0.5.
3.0.7 Solución parte (g)
La probabilidad de que el número de caras se encuentre entre 1 y 4 (ambos inclusive) se calcula así:
\[\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 4) &=& P(X=1, 2, 3, 4)\; = \; P(X=0, 1, 2, 3, 4)\, - \, P(X=0) \\ &=& P(X\leq 4) \, - \, P(X\leq 0) \; = \; F(4) \, - \, F(0) \; = \; 0.96875 \, - \, 0.03125 \; = \; 0.9375 \end{eqnarray*}\]
El código para escribir la expresión anterior es:
\begin{eqnarray*}
P(1 \leq X \leq 4) &=& P(X=1, 2, 3, 4)\; = \; P(X=0, 1, 2, 3, 4)\, - \, P(X=0) \\
&=& P(X\leq 4) \, - \, P(X\leq 0) \; = \; F(4) \, - \, F(0) \; = \; 0.96875 \, - \, 0.03125 \; = \; 0.9375
\end{eqnarray*}Es decir, la probabilidad de que el número de caras se encuentre entre 1 y 4 (ambos inclusive) es 0.9375.
3.0.8 Solución parte (h)
La probabilidad de que el número de caras se encuentre entre 1 y 4 (ambos no inclusive) así:
\[\begin{eqnarray*} P(1 < X < 4) &=& P(X=2, 3)\; = \; P(X=0, 1, 2, 3)\, - \, P(X=0, 1) \\ &=& P(X\leq 3) \, - \, P(X\leq 1) \; = \; F(3) \, - \, F(1) \; = \; 0.8125 \, - \, 0.1875 \; = \; 0.625 \end{eqnarray*}\]
El código para escribir la expresión anterior es:
\begin{eqnarray*}
P(1 < X < 4) &=& P(X=2, 3)\; = \; P(X=0, 1, 2, 3)\, - \, P(X=0, 1) \\
&=& P(X\leq 3) \, - \, P(X\leq 1) \; = \; F(3) \, - \, F(1) \; = \; 0.8125 \, - \, 0.1875 \; = \; 0.625
\end{eqnarray*}Es decir, la probabilidad de que el número de caras se encuentre entre 1 y 4 (ambos no inclusive) es 0.625.
3.0.9 Solución parte (i)
La esperanza de \(X\) es 2.5:
\[E(X) \; = \; np \; = \; (5) (0.5) \; = \; 2.5\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$E(X) \; = \; np \; = \; (5) (0.5) \; = \; 2.5$$3.0.10 Solución parte (j)
La varianza de \(X\) es 1.25:
\[V(X) \; = \; np(1-p) \; = \; (5) (0.5)(1-0.5) \; = \; 1.25\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$V(X) \; = \; np(1-p) \; = \; (5) (0.5)(1-0.5) \; = \; 1.25$$ 3.0.11 Solución parte (k)
La desviación es la raiz cuadrada de la varianza:
\[\sigma \; =\; \sqrt{V(X)} \; =\; \sqrt{1.25} \; = \; 1.118034\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$\sigma \; =\; \sqrt{V(X)} \; =\; \sqrt{1.25} \; = \; 1.118034$$4 Ejercicios
Realizar los ejercicios que se indican abajo. Interpretar siempre los resultados hallados.
Repetir el ejemplo 1, utilizando \(n=6\), \(n=7\), \(n=8\) y \(n=9\).
Repetir el ejemplo 1, utilizando \(n=10\), \(n=15\), \(n=20\) y \(n=25\).
Una semilla tiene un porcentaje de germinación del 70%. Si se siembran 15 semillas, halle lo que se pide en los incisos de abajo. Sugerencia: defina \(X\) como el número de semillas germinadas y \(Y\) como el número de semillas no germinadas. Utilícelas en los incisos donde sea el caso.
- La probabilidad de que germinen todas las semillas.
- La probabilidad de que no germinen todas las semillas.
- La probabilidad de que germinen 10 semillas.
- La probabilidad de que no germinen 10 semillas.
- La probabilidad de que germinen a lo sumo 10 semillas.
- La probabilidad de que no germinen a lo sumo 10 semillas.
- La probabilidad de que germinen menos de 7 semillas.
- La probabilidad de que no germinen menos de 7 semillas.
- La probabilidad de que germinen al menos 8 semillas.
- La probabilidad de que no germinen al menos 8 semillas.
- La probabilidad de que germinen más de 5 semillas.
- La probabilidad de que no germinen más de 5 semillas.
- La esperanza, varianza y desviación del número de semillas germinadas.
- La esperanza, varianza y desviación del número de semillas no germinadas.
De una producción de 8000 tornillos se sabe que el 5% está defectuosos. Supongamos que se selecciona un muestra al azar de 25 tornillos.
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos no defectuosos en la muestra no exceda a 8?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra sea por lo menos 12?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos no defectuosos en la muestra sea estrictamente mayor que 6 pero menor o igual a 20?
- ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tornillos esté defectuoso?
- Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del número de tornillos defectuosos en la muestra.
De una producción de 9000 tornillos se sabe que el 80% no está defectuosos. Supongamos que se selecciona un muestra al azar de 20 tornillos.
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra no exceda a 9?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos no defectuosos en la muestra sea por lo menos 11?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra sea estrictamente mayor que 3 pero menor o igual a 18?
- ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tornillos no esté defectuoso?
- Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del número de tornillos no defectuosos en la muestra.
En un peaje se cobra 6000 pesos por cada bus de transporte público y 9500 por carros particulares. Supongamos que durante las horas diurnas, de un total de 10000 de vehículos que pasa por el peaje, el 75% de todos los vehículos son carros particulares. Si 15 vehículos pasan por el peaje durante un período particular diurno,
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de carros particulares no exceda a 8?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de transporte público es al menos 8?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de transporte público en la muestra sea por lo menos 6?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de carros particulares en la muestra sea estrictamente menor que 5 y menor o igual a 11?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de transporte público en la muestra sea estrictamente mayor que 5 pero menor o igual a 11?
- ¿Cuál es la probabilidad de que todos los vehículos sean de transporte público?
- ¿Cuál es la probabilidad de el número de carros particulares en la muestra esté entre 5 y 12 (ambos inclusive)?
- ¿Cuál es la probabilidad de el número de transporte público en la muestra esté entre 5 y 12 (ambos no inclusive)?
- ¿Cuál es el ingreso de cuotas esperado?
El propietario de un local comercial ha comprobado que el 10% de los clientes que entran allí hacen alguna compra. Cierta tarde, entraron \(n\) personas. Halle lo que se pide en los incisos de abajo para cada uno de los siguientes seis casos: CASO 1: \(n=5\), CASO 2: \(n=6\), CASO 3: \(n=7\), CASO 4: \(n=8\), CASO 5: \(n=9\) y CASO 6: \(n=10\). Sugerencia: defina \(X\) como el número de clientes que hicieron alguna compra y \(Y\) como el número de clientes que no hicieron compra. Utilícelas en los incisos donde sea el caso.
- La probabilidad de que todos los clientes no hicieron compra.
- La probabilidad de que a lo sumo 5 clientes hicieron alguna compra.
- La probabilidad de que menos de 3 clientes no hicieron compra.
- La probabilidad de que al menos 3 clientes hicieron alguna compra.
- La probabilidad de que más de 2 clientes no hicieron compra.
- La probabilidad de el número de clientes en la muestra que hicieron alguna compra esté entre 3 y 10 (ambos inclusive)
- La probabilidad de que el número de clientes en la muestra que no hicieron compra sea estrictamente mayor que 1 pero menor o igual a 4.
- La probabilidad de que el número de clientes en la muestra que hicieron alguna compra sea estrictamente menor que 3 y menor o igual a 9.
- La esperanza, varianza y desviación del número de clientes que no hicieron compra.
- La esperanza, varianza y desviación del número de clientes que hicieron alguna compra.
5 Otros ejercicios
Tener en cuenta la Bibliografía No. 1 que se referencia abajo y realizar los ejercicios que aparecen en:
La Sección 3.1 (página 187): Variables aleatorias.
La Sección 3.2 (página 197): Distribuciones de probabilidad (caso discreto).
La Sección 3.3 (página 210): Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta.
La Sección 3.5 (página 221): Distribución binomial.
La Sección de Ejercicios Complementarios (página 252).
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Bibliografía
LLinás, H., Rojas, C. (2005); Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.
Consultar mis Notas de clase: Cap. 3 (Descriptiva).
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