1 Variable aleatoria

Se resalta que una variable aleatoria no es una probabilidad y, generalmente, se simbolizan con las últimas letras mayúsculas de nuestro alfabeto.
Una variable aleatoria $X$ es una función $X: \Omega \to R$, siendo $R$ el conjunto de los números reales.
Las variables aleatorias se clasifican en discretas o continuas.
Las variables discretas son las que tienen una cantidad o finita o (infinita) enumerable de valores.
Las variables continuas tienen una cantidad infinita no enumerable de valores.
En la figura de abajo se muestran algunos ejemplos de ambos tipos de variables.
En las secciones siguientes, solo se explicarán los conceptos relacionados con el caso discreto. El caso continuo se tratará en otros documentos.

2 Función de probabilidad

2.0.1 Definición de $f$

Es una función $f: R \to [0,1]$ tal que \[f(x) \;= \; \left\{% \begin{array}{ll} P(X=x), & \hbox{si $x=x_1, x_2, \ldots$;} \\ 0, & \hbox{de otra forma.} \\ \end{array}% \right. \]

2.0.2 Propiedades de $f$

Algunas propiedades de $f$ son las siguientes:

$f(x) \geq 0$ para todo valor $x$ real.
$\sum\limits_{x\in R} f(x) =1$, siendo $R$ el conjunto de los números reales.
La gráfica de $f$ se puede representar a través de un histograma de probabilidad o de un gráfico lineal.
A continuación, algunos ejemplos de representaciones gráficas de $f$.

3 Función de distribución acumulada

3.0.1 Definición de $F$

Es una función $F: R \to [0,1]$ definida por \[F(t)\; =\; P(X\leq t) \;= \; \sum\limits_{x; \, x\leq t} f(x), \quad \text{para todo $t$ real.}\]

3.0.2 Propiedades de $F$

Algunas propiedades de $f$ son las siguientes:

$0\leq F(t)\leq 1$.
$F$ es creciente.
$F$ es escalonada.
$F\left(\lim\limits_{t\to\infty} t\right)=1$.
$F\left(\lim\limits_{t\to-\infty} t\right)=0$.
A continuación, algunos ejemplos de representaciones gráficas de $F$.

4 Más propiedades

$P(X=a)$ no siempre es cero.
$P(a<X\leq b) = F(b)-F(a)$.
$P(a\leq X\leq b) \ne F(b)-F(a)$.
$P(a\leq X \leq b) \ne P(a< X \leq b)$.
Si $a^{-}$ es el valor máximo posible de $X$ que es estrictamente menor que $a$, entonces, \[f(a) \,= \; F(a) - F(a^{-})\]

5 Esperanza y varianza

5.0.1 Definiciones

La espezanza de $X$ se define así: \[\mu\; = \; E(X) \;= \; \sum\limits_k x_k \cdot f(x_k)\]
La varianza de $X$ se define así: \[\sigma^2 \;= \; V(X) \;= \; \sum\limits_k (x_k-\mu)^2 \cdot f(x_k).\]

5.0.2 Propiedades

Algunas propiedades de la esperanza y varianza son las siguientes:

$E(aX + b) \,=\, a E(X) \,+\, b$.
$V(aX + b) \,=\, a^2 V(X)$.
$V(X)\,=\, E(X^2) \,-\, \big[E(X)\big]^2$, donde $E(X^2) \;= \; \sum\limits_k x_k^2 \cdot f(x_k)$.

6 Ejemplo: Enunciado

Supóngase que una moneda se lanza 5 veces y sea $X$ la variable aleatoria que representa el “número de caras que resultan”.

¿Cuáles son los posibles valores $k$ de $X$?
Halle la probabilidad de que $X$ tome cada uno de esos valores $k$ de la parte (a).
Construya la función de probabilidad $f$ de $X$.
Haga un bosquejo de la representación gráfica de $f$.
Construya la función de distribución acumulada $F$ de $X$.
Haga un bosquejo de su representación gráfica de $F$.
Halle la probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 3.
Halle la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 2.
Halle la probabilidad de que $X$ se encuentre entre 1 y 4 (ambos inclusive).
Halle la probabilidad de $X$ se encuentre entre 1 y 4 (ambos no inclusive).
Halle la esperanza de $X$.
Halle la esperanza de $X^2$.
Encuentre la varianza de $X$.

7 Ejemplo: Solución

7.0.1 Solución parte (a)

Al lanzar 5 caras, los elementos del espacio muestral $\Omega$ tienen la forma $(\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5)$ y son:

No.	w1	w2	w3	w4	w5
1	C	C	C	C	C
2	S	C	C	C	C
3	C	S	C	C	C
4	S	S	C	C	C
5	C	C	S	C	C
6	S	C	S	C	C
7	C	S	S	C	C
8	S	S	S	C	C
9	C	C	C	S	C
10	S	C	C	S	C
11	C	S	C	S	C

No.	w1	w2	w3	w4	w5
12	S	S	C	S	C
13	C	C	S	S	C
14	S	C	S	S	C
15	C	S	S	S	C
16	S	S	S	S	C
17	C	C	C	C	S
18	S	C	C	C	S
19	C	S	C	C	S
20	S	S	C	C	S
21	C	C	S	C	S
22	S	C	S	C	S

No.	w1	w2	w3	w4	w5
23	C	S	S	C	S
24	S	S	S	C	S
25	C	C	C	S	S
26	S	C	C	S	S
27	C	S	C	S	S
28	S	S	C	S	S
29	C	C	S	S	S
30	S	C	S	S	S
31	C	S	S	S	S
32	S	S	S	S	S

El número de elementos que tiene el espacio muestral $\Omega$ es:

\[\# \Omega = 2^5 = 32\]

En forma resumida, los elementos de $\Omega$ y los posibles valores de $X$ se encuentran en la tabla de abajo:

Observe que:

\[\#\Omega= 1+5+10+10+5+1 = 32\]

En conclusión, los posibles valores de $X$ son: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

7.0.2 Solución parte (b)

Las probabilidades solicitadas se describen a continuación:

Probabilidad de que salga 0 cara: \[P(X=0) = P(SSSSS) = \frac{1}{32} = 0.03125\]
Probabilidad de que salga 1 cara: \[P(X=1) = P(SSSSC, SSSCS, SSCSS, SCSSS, CSSSS) = \frac{5}{32} = 0.15625\]
Probabilidad de que salgan 2 caras: \[P(X=2) = P(SSSCC, SSCSC, \cdots,SCSCS, CCSSS) = \frac{10}{32} = 0.3125\]
Probabilidad de que salgan 3 caras: \[P(X=3) = P(SSCCC, SCCSC, \cdots,SCCCS, CCCSS) = \frac{10}{32} = 0.3125\]
Probabilidad de que salgan 4 caras: \[P(X=4) = P(CCCCS, CCCSC, CCSCC, CSCCC, SCCCC) = \frac{5}{32} = 0.15625\]
Probabilidad de que salgan 5 caras: \[P(X=5) = P(CCCCC) = \frac{1}{32}= 0.03125\]

Estas probabilidades se pueden resumir en la tabla que se indica abajo:

7.0.3 Solución parte (c)

Debido a que $f(k) = P(X=k)$, la función de probabilidad $f$ coincide con las probabilidades halladas en el inciso anterior, como se muestra en la tabla de abajo.

7.0.4 Solución parte (d)

El bosquejo de la gráfica de $f$ se puede representar de dos maneras: como un gráfico de líneas o como un histograma de probabilidad.

Histograma de probabilidad

7.0.5 Solución parte (e)

Recordemos que la función de distribución acumulada $F$ se define como: \[F(t)\; =\; P(X\leq t) \;= \; \sum\limits_{x; \, x\leq t} f(x), \quad \text{para todo $t$ real.}\]

Hallaremos $F$ en tres pasos:

PRIMER PASO: Consideremos solo los valores de $X$, que son 0, 1, 2, 3, 4, 5.

\[\begin{eqnarray*} F(0) &=& P(X\leq 0) = P(X=0) = f(0) =0.03125. \\ && \\ F(1) &=& P(X\leq 1) = P(X=0)+P(X=1) = f(0)+ f(1) = 0,03125 + 0,15625 = 0.1875.\\ && \\ F(2) &=& P(X\leq 2) = P(X=0)+\cdots +P(X=2) = f(0) + \cdots +f(2) = 0.03125 + \cdots + 0.3125= 0.5.\\ &&\\ F(3) &=& P(X\leq 3) = P(X=0)+\cdots +P(X=3) = f(0) + \cdots +f(3)= 0.03125 +\cdots + 0.3125= 0.8125.\\ && \\ F(4) &=& P(X\leq 4) = P(X=0)+\cdots +P(X=4) = f(0) + \cdots +f(4)= 0.03125 +\cdots + 0.15625= 0.96875.\\ && \\ F(5) &=& P(X\leq 5) = P(X=0)+\cdots +P(X=5) = f(0) + \cdots +f(5)= 0.03125 +\cdots + 0.03125= 1. \end{eqnarray*}\]

SEGUNDO PASO: Consideremos números reales $t$ diferente de los valores de $X$ (0, 1, 2, 3, 4, 5) y utilizaremos siempre valores de prueba (el que usted quiera seleccionar). Aquí consideraremos 7 regiones.

Región 1: Supongamos que $t<0$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser -2:

\[F(-2) = P(X\leq -2) = 0\]

ya que no hay valores de $X$ que sean negativos.

Región 2: Supongamos que $0<t<1$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser 0.6:

\[F(0.6) = P(X\leq 0.6) = P(X=0) = 0.03125\]

ya que el único valor de $X$ menor o igual que 0.6 es 0.

Región 3: Supongamos que $1<t<2$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser 1.2:

\[F(1.2) = P(X\leq 1.2) = P(X=0)+P(X=1) = 0.1875\]

ya que los únicos valores de $X$ menores o iguales que 1.2 son 0 y 1.

Región 4: Supongamos que $2<t<3$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser 2.4:

\[F(2.4) = P(X\leq 2.4) = P(X=0)+\cdots +P(X=2) = 0.5\]

ya que los únicos valores de $X$ menores o iguales que 2,4 son 0 , 1 y 2.

Región 5: Supongamos que $3<t<4$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser 3.5:

\[F(3.5) = P(X\leq 3.5) = P(X=0)+\cdots +P(X=3) = 0.8125\]

ya que los únicos valores de $X$ menores o iguales que 3.5 son 0, 1, 2 y 3.

Región 6: Supongamos que $4<t<5$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser 4.1:

\[F(4.1) = P(X\leq 4.1) = P(X=0)+\cdots +P(X=4) = 0.96875\]

ya que los únicos valores de $X$ menores o iguales que 4.1 son 0, 1, 2, 3 y 4.

Región 7: Supongamos que $5<t$:

Tomamos un valor de prueba que esté en este intervalo. Por ejemplo, puede ser 7:

\[F(7) = P(X\leq 7) = P(X=0)+\cdots +P(X=5) = 1\]

ya que todos los valores de $X$ son menores o iguales que 7.

TERCER PASO: Reunimos los pasos 1 y 2:

\[F(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0; & \hbox{si $t<0$;} \\ 0.03125; & \hbox{si $0\leq t<1$;} \\ 0.1875; & \hbox{si $1\leq t<2$;} \\ 0.5; & \hbox{si $2\leq t<3$;} \\ 0.8125; & \hbox{si $3\leq t<4$;} \\ 0.96875; & \hbox{si $4\leq t<5$.} \\ 1; & \hbox{si $5\leq t$.} \end{array} \right.\]

7.0.6 Solución parte (f)

El bosquejo de la gráfica de $F$ se puede representar de dos maneras: como un gráfico de líneas o como una gráfica de una función escalonada.

Distribución acumulada

7.0.7 Solución parte (g)

La probabilidad de que el número de caras sea menor o igual que 3 es: \[P(X\leq 3) \; = \; F(3) \; = \; 0.8125 \]

7.0.8 Solución parte (h)

La probabilidad de que el número de caras sea mayor que 2 es: \[P(X>2) \; = \; 1- P(X\leq 2) \; = \; 1- F(2) \; = \; 1- 0.5 \; = \; 0.5\]

7.0.9 Solución parte (i)

La probabilidad de que $X$ se encuentre entre 1 y 4 (ambos inclusive) se puede hallar de dos maneras:

Primera forma: Utilizando $f$.

\[P(1 \leq X \leq 4) \; = \; P(X=1, 2, 3, 4)\; = \; f(1) + f(2) + f(3) + f(4)\; = 0.9375\]

Segunda forma: Utilizando $F$.

\[\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 4) &=& P(X=1, 2, 3, 4)\; = \; P(X=0, 1, 2, 3, 4)\, - \, P(X=0) \\ &=& P(X\leq 4) \, - \, P(X\leq 0) \; = \; F(4) \, - \, F(0) \; = \; 0.96875 \, - \, 0.03125 \; = \; 0.9375 \end{eqnarray*}\]

7.0.10 Solución parte (j)

La probabilidad de $X$ se encuentre entre 1 y 4 (ambos no inclusive) se puede hallar de dos maneras:

Primera forma: Utilizando $f$. \[P(1 < X < 4) \; = \; P(X= 2, 3)\; = \; f(2) + f(3) \; = 0.625\]

Segunda forma: Utilizando $F$. \[\begin{eqnarray*} P(1 < X < 4) &=& P(X=2, 3)\; = \; P(X=0, 1, 2, 3)\, - \, P(X=0, 1) \\ &=& P(X\leq 3) \, - \, P(X\leq 1) \; = \; F(3) \, - \, F(1) \; = \; 0.8125 \, - \, 0.1875 \; = \; 0.625 \end{eqnarray*}\]

7.0.11 Solución parte (k)

Recuerde que la esperanza de $X$ está definida por \[E(X) \;= \; \sum\limits_k k \cdot f(k)\]

En este ejemplo, \[\begin{eqnarray*} E(X) &=& (0)f(0) + (1) f(1)+ \cdots + (5)f(5) \\ &=& 0.00000 + 0.15625 + 0.62500 + 0.93750+ 0.62500 + 0.15625 \\ &=& 2.5 \end{eqnarray*}\]

7.0.12 Solución parte (l)

La esperanza de $X^2$ se calcula por \[E(X^2) \;= \; \sum\limits_k k^2 \cdot f(k)\]

En este ejemplo,

\[\begin{eqnarray*} E(X^2) &=& (0^2)f(0) + (1^2) f(1)+ \cdots + (5^2)f(5) \\ &=& 0.00000 + 0.15625 + 1.25000 + 2.81250 + 2.50000 + 0.78125\\ &=& 7.5 \end{eqnarray*}\]

7.0.13 Solución parte (m)

Recuerde que la varianza de $X$ se puede calcular así (de dos maneras equivalentes):

\[V(X) \;= \; \sum\limits_k (k-E(X))^2 \cdot f(k)\,=\, E(X^2) \,-\, \big[E(X)\big]^2\]

En este ejemplo, sin utilizar la propiedad, obtenemos:

\[\begin{eqnarray*} V(X) &=& \sum\limits_k (k-E(X))^2 \cdot f(k)\\ &=& 0.1953125 + 0.3515625 + 0.0781250 + 0.0781250 + 0.3515625 + 0.1953125 \\ &=& 1.25 \end{eqnarray*}\]

Con la propiedad se obtiene el mismo resultado:

\[V(X) \,=\, E(X^2) \,-\, \big[E(X)\big]^2 \;= \; 7.5 - (2.5)^2 \;= \;1.25\]

8 Distribuciones especiales discretas: Resumen

Las distribuciones discretas más importantes son:

Uniforme discreta
De Bernoulli
Binomial
De Poisson
Hipergeométrica
Binomial negativa
Geométrica

En otros documentos se explicarán cada una de ellas.

9 Ejercicios

Realizar los ejercicios que se indican abajo. Interpretar siempre los resultados hallados.

¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justifique cada respuesta.
1. Toda variable aleatoria es un número.
2. Si $f$ es la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ y 0 es un posible valor de $X$, entonces, $f(0)=0$.
3. Para cualquier variable aleatoria discreta $X$ se cumple que $P(X=1)=1$, en donde 1 es un posible valor de $X$.
4. Si $F$ es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria $X$ discreta, entonces, $F$ es una función escalonada.
5. Si $X$ es una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada $F$, entonces, se cumple que $P(3\leq X<5)=F(5)-F(3)$.
6. Si $X$ es cualquier variable aleatoria y si la variable aleatoria $X+4$ tiene esperanza 1, entonces, la esperanza de $X$ es
Repita el ejemplo 1 suponiendo que la moneda se lanza 2 veces.
Repita el ejemplo 1 suponiendo que la moneda se lanza 3 veces.
Repita el ejemplo 1 suponiendo que la moneda se lanza 4 veces.
Repita el ejemplo 1 suponiendo que la moneda se lanza 6 veces.
Una pizzería, que atiende pedidos por correo, tiene cinco líneas telefónicas. Sea $X$ la variable aleatoria que representa al número de líneas ocupadas en un momento específico. Supongamos que la función de probabilidad $f$ de $X$ está dada en tabla de abajo.
1. Calcule la probabilidad del siguiente evento: $A =$ “a lo sumo 2 líneas están en uso”.
2. Calcule la probabilidad del siguiente evento: $B =$ “menos de 4 líneas están en uso”.
3. Calcule la probabilidad del siguiente evento: $C =$ “por lo menos 3 líneas están en uso”.
4. Calcule la probabilidad del siguiente evento: $D =$ “entre 2 y 4 (ambos inclusive) líneas están en uso”.
5. Haga un bosquejo gráfico de $f$.
6. Halle la función de distribución acumulada $F$ de $X$ y haga un bosquejo gráfico.
7. Halle la esperanza de $X$.
8. Halle la varianza de $X$.

Considere la situación del ejercicio 6. Suponga que $Y$ representa la variable aleatoria que representa al número de líneas desocupadas en un momento específico.
1. Halle la función de probabilidad de $Y$ y haga un bosquejo gráfico de $f$.
2. Calcule la probabilidad del siguiente evento: $E =$ “entre 2 y 5 (ambos inclusive) líneas no están en uso”.
3. Calcule la probabilidad del siguiente evento: $F =$ “por lo menos 3 líneas no están en uso”.
4. Halle la función de distribución acumulada $F$ de $Y$ y haga un bosquejo gráfico.
5. Halle la esperanza de $Y$.
6. Halle la varianza de $Y$.
La función de probabilidad de la variable aleatoria $X$ que representa al número de imperfecciones por 4 metros de un papel especial en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por la tabla de abajo.
1. Haga un bosquejo gráfico de $f$.
2. Halle la función de distribución acumulada $F$ de $X$ y represéntela gráficamente.
3. Halle la esperanza de $X$.
4. Halle la varianza de $X$.

Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la inspección de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. Supongamos que, en cierto día, él recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lote para inspeccionarlos. Podemos representar los posibles resultados del proceso de selección por pares. Por ejemplo, el par $(3,4)$ representa la selección de los lapiceros 3 y 4 para inspeccionarlos.
1. Haga una lista de los resultados diferentes.
2. Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los únicos defectuosos de un lote de cinco y se van a escoger dos lapiceros al azar. Defina la variable aleatoria $X$ como el número de de lapiceros defectuosos observado entre los inspeccionados. Encuentre la función de probabilidad de $X$ y represéntela gráficamente.
3. Encuentre la función de distribución acumulada $F$ de $X$ y represéntela gráficamente.
4. Halle la esperanza de $X$.
5. Halle la varianza de $X$.
Considere la situación del ejercicio 9. Suponga que $Y$ representa la variable aleatoria que representa al número de lapiceros no defectuosos.
1. Halle la función de probabilidad de $Y$ y haga un bosquejo gráfico de $f$.
2. Halle la función de distribución acumulada $F$ de $Y$ y haga un bosquejo gráfico.
3. Halle la esperanza de $Y$.
4. Halle la varianza de $Y$.
Al invertir en unas acciones particulares, una persona puede tener una ganancia en un año de $8.000.000 con probabilidad de 0,4 o tener una pérdida de $2.000 con probabilidad de 0,6. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona? Interprete su respuesta.

10 Otros ejercicios

Tener en cuenta la Bibliografía No. 1 que se referencia abajo y realizar los ejercicios que aparecen en:
- La Sección 3.1 (página 187): Variables aleatorias.
- La Sección 3.2 (página 197): Distribuciones de probabilidad (caso discreto).
- La Sección 3.3 (página 210): Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta.
- La Sección de Ejercicios Complementarios (página 252).
Al hacer click aquí, usted encontrará una serie de artículos publicados en diferentes áreas de aplicación. Seleccione algunos de ellos y aplique la teoría explicada en este documento.

Anexos

A. Tablas estadísticas: Click derecho aquí.

B. Apéndice de tablas y diagramas: Click aquí.

Bibliografía

LLinás, H., Rojas, C. (2005). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.
Consultar mis Notas de clase: Cap. 3 (Descriptiva).
Consultar el documento RPubs :: Enlace y materiales de ayuda.

If you found any ERRORS or have SUGGESTIONS, please report them to my email. Thanks.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS (TEORÍA)

Variable aleatoria discreta

Dr. rer. nat. Humberto LLinás Solano