Workshop 4, Computational Finance
Montserrat Guzmán
Sepetember 01, 2021
1 Data management and visualization for financial portfolios
Topics covered - Data Management such as return calculation - Data visualization - Estimate expected stock return $ expected portfolio return and risk
1.1 Data Management of financial data
1.1.1 Data collection
library(quantmod)## Loading required package: xts## Loading required package: zoo##
## Attaching package: 'zoo'## The following objects are masked from 'package:base':
##
## as.Date, as.Date.numeric## Loading required package: TTR## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
## method from
## as.zoo.data.frame zoo# If I run the function with a "?" before, a window with more information would be displayed
#?getSymbolss
#getSymbols is a wrapper to load data from various sources, local or remoteWe would use the historical data of Bitcoin and TESLA (daily from January 1,2017 to date) from Yahoo Finance
getSymbols(c("BTC-USD","TSLA"), from="2017-01-01", src="yahoo", periodicity="daily")## 'getSymbols' currently uses auto.assign=TRUE by default, but will
## use auto.assign=FALSE in 0.5-0. You will still be able to use
## 'loadSymbols' to automatically load data. getOption("getSymbols.env")
## and getOption("getSymbols.auto.assign") will still be checked for
## alternate defaults.
##
## This message is shown once per session and may be disabled by setting
## options("getSymbols.warning4.0"=FALSE). See ?getSymbols for details.## Warning: BTC-USD contains missing values. Some functions will not work if
## objects contain missing values in the middle of the series. Consider using
## na.omit(), na.approx(), na.fill(), etc to remove or replace them.## [1] "BTC-USD" "TSLA"#list the first 5rows
head(`BTC-USD`,5)## BTC-USD.Open BTC-USD.High BTC-USD.Low BTC-USD.Close BTC-USD.Volume
## 2017-01-01 963.658 1003.08 958.699 998.325 147775008
## 2017-01-02 998.617 1031.39 996.702 1021.750 222184992
## 2017-01-03 1021.600 1044.08 1021.600 1043.840 185168000
## 2017-01-04 1044.400 1159.42 1044.400 1154.730 344945984
## 2017-01-05 1156.730 1191.10 910.417 1013.380 510199008
## BTC-USD.Adjusted
## 2017-01-01 998.325
## 2017-01-02 1021.750
## 2017-01-03 1043.840
## 2017-01-04 1154.730
## 2017-01-05 1013.380#list the last 5rows
tail(`BTC-USD`, 5)## BTC-USD.Open BTC-USD.High BTC-USD.Low BTC-USD.Close BTC-USD.Volume
## 2021-09-04 50009.32 50545.58 49548.78 49944.62 37471327794
## 2021-09-05 49937.86 51868.68 49538.60 51753.41 30322676319
## 2021-09-06 51769.00 52700.94 51053.68 52633.54 38884105426
## 2021-09-07 52660.48 52853.77 43285.21 46811.13 65210059683
## 2021-09-08 46799.26 47292.27 46311.19 46338.92 65613893632
## BTC-USD.Adjusted
## 2021-09-04 49944.62
## 2021-09-05 51753.41
## 2021-09-06 52633.54
## 2021-09-07 46811.13
## 2021-09-08 46338.92Op(TSLA)## TSLA.Open
## 2017-01-03 42.972
## 2017-01-04 42.950
## 2017-01-05 45.284
## 2017-01-06 45.386
## 2017-01-09 45.794
## 2017-01-10 46.400
## 2017-01-11 45.814
## 2017-01-12 45.812
## 2017-01-13 46.000
## 2017-01-17 47.340
## 2017-01-18 47.330
## 2017-01-19 49.450
## 2017-01-20 49.092
## 2017-01-23 49.170
## 2017-01-24 50.000
## 2017-01-25 51.462
## 2017-01-26 50.858
## 2017-01-27 50.276
## 2017-01-30 50.506
## 2017-01-31 49.848
## 2017-02-01 50.610
## 2017-02-02 49.668
## 2017-02-03 50.382
## 2017-02-06 50.200
## 2017-02-07 51.638
## 2017-02-08 51.470
## 2017-02-09 53.250
## 2017-02-10 53.958
## 2017-02-13 54.148
## 2017-02-14 55.806
## 2017-02-15 56.000
## 2017-02-16 55.520
## 2017-02-17 53.160
## 2017-02-21 55.090
## 2017-02-22 56.062
## 2017-02-23 52.800
## 2017-02-24 50.532
## 2017-02-27 49.634
## 2017-02-28 48.838
## 2017-03-01 50.836
## 2017-03-02 49.942
## 2017-03-03 50.148
## 2017-03-06 49.582
## 2017-03-07 50.384
## 2017-03-08 49.400
## 2017-03-09 49.526
## 2017-03-10 49.242
## 2017-03-13 48.964
## 2017-03-14 49.222
## 2017-03-15 51.400
## 2017-03-16 52.480
## 2017-03-17 52.800
## 2017-03-20 52.120
## 2017-03-21 52.566
## 2017-03-22 50.312
## 2017-03-23 51.078
## 2017-03-24 51.140
## 2017-03-27 52.120
## 2017-03-28 55.404
## 2017-03-29 55.668
## 2017-03-30 55.608
## 2017-03-31 55.746
## 2017-04-03 57.380
## 2017-04-04 59.378
## 2017-04-05 60.408
## 2017-04-06 59.376
## 2017-04-07 59.500
## 2017-04-10 61.830
## 2017-04-11 62.676
## 2017-04-12 61.268
## 2017-04-13 59.340
## 2017-04-17 60.540
## 2017-04-18 59.940
## 2017-04-19 60.492
## 2017-04-20 61.302
## 2017-04-21 60.400
## 2017-04-24 61.844
## 2017-04-25 61.600
## 2017-04-26 62.474
## 2017-04-27 62.338
## 2017-04-28 61.966
## 2017-05-01 62.976
## 2017-05-02 64.800
## 2017-05-03 63.534
## 2017-05-04 61.488
## 2017-05-05 59.600
## 2017-05-08 62.180
## 2017-05-09 61.876
## 2017-05-10 64.312
## 2017-05-11 64.680
## 2017-05-12 65.096
## 2017-05-15 63.676
## 2017-05-16 63.518
## 2017-05-17 62.878
## 2017-05-18 61.400
## 2017-05-19 63.100
## 2017-05-22 62.560
## 2017-05-23 62.092
## 2017-05-24 61.302
## 2017-05-25 62.204
## 2017-05-26 63.456
## 2017-05-30 65.200
## 2017-05-31 67.538
## 2017-06-01 68.800
## 2017-06-02 67.954
## 2017-06-05 67.700
## 2017-06-06 68.940
## 2017-06-07 71.268
## 2017-06-08 72.750
## 2017-06-09 74.884
## 2017-06-12 71.598
## 2017-06-13 73.524
## 2017-06-14 76.218
## 2017-06-15 74.500
## 2017-06-16 75.596
## 2017-06-19 75.000
## 2017-06-20 75.334
## 2017-06-21 74.870
## 2017-06-22 75.598
## 2017-06-23 76.490
## 2017-06-26 77.338
## 2017-06-27 75.280
## 2017-06-28 73.336
## 2017-06-29 74.122
## 2017-06-30 72.742
## 2017-07-03 74.048
## 2017-07-05 69.440
## 2017-07-06 63.452
## 2017-07-07 62.700
## 2017-07-10 62.580
## 2017-07-11 63.200
## 2017-07-12 66.080
## 2017-07-13 66.022
## 2017-07-14 64.638
## 2017-07-17 65.108
## 2017-07-18 63.500
## 2017-07-19 65.646
## 2017-07-20 65.380
## 2017-07-21 65.892
## 2017-07-24 66.048
## 2017-07-25 69.000
## 2017-07-26 68.072
## 2017-07-27 69.200
## 2017-07-28 67.378
## 2017-07-31 67.100
## 2017-08-01 64.600
## 2017-08-02 63.788
## 2017-08-03 69.066
## 2017-08-04 69.400
## 2017-08-07 71.470
## 2017-08-08 71.506
## 2017-08-09 72.200
## 2017-08-10 72.320
## 2017-08-11 71.394
## 2017-08-14 72.926
## 2017-08-15 73.040
## 2017-08-16 72.600
## 2017-08-17 72.242
## 2017-08-18 70.582
## 2017-08-21 69.164
## 2017-08-22 68.226
## 2017-08-23 67.798
## 2017-08-24 70.504
## 2017-08-25 70.848
## 2017-08-28 69.456
## 2017-08-29 67.896
## 2017-08-30 69.934
## 2017-08-31 70.710
## 2017-09-01 71.224
## 2017-09-05 70.760
## 2017-09-06 69.900
## 2017-09-07 69.196
## 2017-09-08 69.798
## 2017-09-11 70.270
## 2017-09-12 72.898
## 2017-09-13 72.764
## 2017-09-14 72.866
## 2017-09-15 74.902
## 2017-09-18 76.050
## 2017-09-19 76.000
## 2017-09-20 74.600
## 2017-09-21 74.980
## 2017-09-22 73.298
## 2017-09-25 70.630
## 2017-09-26 70.186
## 2017-09-27 69.980
## 2017-09-28 67.976
## 2017-09-29 68.372
## 2017-10-02 68.504
## 2017-10-03 67.180
## 2017-10-04 70.250
## 2017-10-05 71.200
## 2017-10-06 70.620
## 2017-10-09 69.930
## 2017-10-10 69.360
## 2017-10-11 70.778
## 2017-10-12 70.590
## 2017-10-13 71.396
## 2017-10-16 70.752
## 2017-10-17 70.182
## 2017-10-18 71.194
## 2017-10-19 71.112
## 2017-10-20 70.538
## 2017-10-23 69.976
## 2017-10-24 67.760
## 2017-10-25 67.340
## 2017-10-26 65.556
## 2017-10-27 63.950
## 2017-10-30 63.836
## 2017-10-31 64.046
## 2017-11-01 66.450
## 2017-11-02 60.026
## 2017-11-03 59.900
## 2017-11-06 61.400
## 2017-11-07 60.204
## 2017-11-08 61.100
## 2017-11-09 60.500
## 2017-11-10 60.500
## 2017-11-13 60.026
## 2017-11-14 63.000
## 2017-11-15 61.202
## 2017-11-16 62.798
## 2017-11-17 65.134
## 2017-11-20 62.758
## 2017-11-21 62.172
## 2017-11-22 63.354
## 2017-11-24 62.758
## 2017-11-27 62.650
## 2017-11-28 63.272
## 2017-11-29 63.460
## 2017-11-30 61.712
## 2017-12-01 61.088
## 2017-12-04 61.300
## 2017-12-05 60.400
## 2017-12-06 60.020
## 2017-12-07 62.400
## 2017-12-08 62.920
## 2017-12-11 62.926
## 2017-12-12 66.090
## 2017-12-13 68.186
## 2017-12-14 68.202
## 2017-12-15 68.408
## 2017-12-18 68.980
## 2017-12-19 68.052
## 2017-12-20 66.538
## 2017-12-21 65.918
## 2017-12-22 65.902
## 2017-12-26 64.766
## 2017-12-27 63.200
## 2017-12-28 62.350
## 2017-12-29 63.236
## 2018-01-02 62.400
## 2018-01-03 64.200
## 2018-01-04 62.574
## 2018-01-05 63.324
## 2018-01-08 63.200
## 2018-01-09 67.032
## 2018-01-10 66.440
## 2018-01-11 67.048
## 2018-01-12 67.726
## 2018-01-16 67.508
## 2018-01-17 68.094
## 2018-01-18 69.134
## 2018-01-19 69.000
## 2018-01-22 69.880
## 2018-01-23 72.000
## 2018-01-24 70.916
## 2018-01-25 69.654
## 2018-01-26 68.300
## 2018-01-29 67.970
## 2018-01-30 69.028
## 2018-01-31 69.502
## 2018-02-01 70.200
## 2018-02-02 69.688
## 2018-02-05 67.594
## 2018-02-06 65.042
## 2018-02-07 67.798
## 2018-02-08 68.662
## 2018-02-09 63.986
## 2018-02-12 63.226
## 2018-02-13 63.004
## 2018-02-14 64.168
## 2018-02-15 64.900
## 2018-02-16 66.500
## 2018-02-20 66.894
## 2018-02-21 67.206
## 2018-02-22 67.106
## 2018-02-23 69.566
## 2018-02-26 70.700
## 2018-02-27 71.250
## 2018-02-28 70.514
## 2018-03-01 69.002
## 2018-03-02 65.396
## 2018-03-05 66.478
## 2018-03-06 66.750
## 2018-03-07 65.088
## 2018-03-08 66.572
## 2018-03-09 64.820
## 2018-03-12 65.722
## 2018-03-13 65.722
## 2018-03-14 67.352
## 2018-03-15 65.876
## 2018-03-16 64.586
## 2018-03-19 63.300
## 2018-03-20 62.974
## 2018-03-21 62.050
## 2018-03-22 62.778
## 2018-03-23 62.250
## 2018-03-26 61.468
## 2018-03-27 60.800
## 2018-03-28 52.916
## 2018-03-29 51.298
## 2018-04-02 51.252
## 2018-04-03 53.964
## 2018-04-04 50.556
## 2018-04-05 57.868
## 2018-04-06 60.200
## 2018-04-09 60.074
## 2018-04-10 59.794
## 2018-04-11 60.148
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## 2021-04-19 55724.266
## 2021-04-20 56473.031
## 2021-04-21 53906.090
## 2021-04-22 51762.273
## 2021-04-23 51093.652
## 2021-04-24 50050.867
## 2021-04-25 49004.254
## 2021-04-26 54021.754
## 2021-04-27 55033.117
## 2021-04-28 54824.703
## 2021-04-29 53555.109
## 2021-04-30 57750.176
## 2021-05-01 57828.051
## 2021-05-02 56631.078
## 2021-05-03 57200.293
## 2021-05-04 53333.539
## 2021-05-05 57424.008
## 2021-05-06 56396.516
## 2021-05-07 57356.402
## 2021-05-08 58803.777
## 2021-05-09 58232.316
## 2021-05-10 55859.797
## 2021-05-11 56704.574
## 2021-05-12 49150.535
## 2021-05-13 49716.191
## 2021-05-14 49880.535
## 2021-05-15 46760.188
## 2021-05-16 46456.059
## 2021-05-17 43537.512
## 2021-05-18 42909.402
## 2021-05-19 37002.441
## 2021-05-20 40782.738
## 2021-05-21 37304.691
## 2021-05-22 37536.633
## 2021-05-23 34770.582
## 2021-05-24 38705.980
## 2021-05-25 38402.223
## 2021-05-26 39294.199
## 2021-05-27 38436.969
## 2021-05-28 35697.605
## 2021-05-29 34616.066
## 2021-05-30 35678.129
## 2021-05-31 37332.855
## 2021-06-01 36684.926
## 2021-06-02 37575.180
## 2021-06-03 39208.766
## 2021-06-04 36894.406
## 2021-06-05 35551.957
## 2021-06-06 35862.379
## 2021-06-07 33560.707
## 2021-06-08 33472.633
## 2021-06-09 37345.121
## 2021-06-10 36702.598
## 2021-06-11 37334.398
## 2021-06-12 35552.516
## 2021-06-13 39097.859
## 2021-06-14 40218.477
## 2021-06-15 40406.270
## 2021-06-16 38347.062
## 2021-06-17 38053.504
## 2021-06-18 35787.246
## 2021-06-19 35615.871
## 2021-06-20 35698.297
## 2021-06-21 31676.693
## 2021-06-22 32505.660
## 2021-06-23 33723.027
## 2021-06-24 34662.438
## 2021-06-25 31637.779
## 2021-06-26 32186.277
## 2021-06-27 34649.645
## 2021-06-28 34434.336
## 2021-06-29 35867.777
## 2021-06-30 35040.836
## 2021-07-01 33572.117
## 2021-07-02 33897.047
## 2021-07-03 34668.547
## 2021-07-04 35287.781
## 2021-07-05 33746.004
## 2021-07-06 34235.195
## 2021-07-07 33855.328
## 2021-07-08 32877.371
## 2021-07-09 33798.012
## 2021-07-10 33520.520
## 2021-07-11 34240.188
## 2021-07-12 33155.848
## 2021-07-13 32702.025
## 2021-07-14 32822.348
## 2021-07-15 31780.730
## 2021-07-16 31421.539
## 2021-07-17 31533.068
## 2021-07-18 31796.811
## 2021-07-19 30817.832
## 2021-07-20 29807.348
## 2021-07-21 32110.693
## 2021-07-22 32313.105
## 2021-07-23 33581.551
## 2021-07-24 34292.445
## 2021-07-25 35350.188
## 2021-07-26 37337.535
## 2021-07-27 39406.941
## 2021-07-28 39995.906
## 2021-07-29 40008.422
## 2021-07-30 42235.547
## 2021-07-31 41626.195
## 2021-08-01 39974.895
## 2021-08-02 39201.945
## 2021-08-03 38152.980
## 2021-08-04 39747.504
## 2021-08-05 40869.555
## 2021-08-06 42816.500
## 2021-08-07 44555.801
## 2021-08-08 43798.117
## 2021-08-09 46365.402
## 2021-08-10 45585.031
## 2021-08-11 45593.637
## 2021-08-12 44428.289
## 2021-08-13 47793.320
## 2021-08-14 47096.945
## 2021-08-15 47047.004
## 2021-08-16 46004.484
## 2021-08-17 44695.359
## 2021-08-18 44801.188
## 2021-08-19 46717.578
## 2021-08-20 49339.176
## 2021-08-21 48905.492
## 2021-08-22 49321.652
## 2021-08-23 49546.148
## 2021-08-24 47706.117
## 2021-08-25 48960.789
## 2021-08-26 46942.219
## 2021-08-27 49058.668
## 2021-08-28 48902.402
## 2021-08-29 48829.832
## 2021-08-30 47054.984
## 2021-08-31 47166.688
## 2021-09-01 48847.027
## 2021-09-02 49327.723
## 2021-09-03 50025.375
## 2021-09-04 49944.625
## 2021-09-05 51753.410
## 2021-09-06 52633.535
## 2021-09-07 46811.129
## 2021-09-08 46338.918#Extract the Adjusted prices of the period.1.1.2 Merging and cleaning financial datasets
prices<- merge(`BTC-USD`,TSLA)
#with the merge() function, we can bring together on or more xts-zoo objects
adprices<- Ad(prices)
# we ask for only the adjusted prices to calculate the returnsnames(adprices) <-c("bitcoin","tesla")
adprices<- na.omit(adprices)1.2 Return Calculation
Continously compounded daily returns
ccreturns <- diff(log(adprices))Simple daily returns
returns<- adprices/lag(adprices, n=1)-1returns_2 <- diff(adprices)/lag(adprices, n=1)
#The diff function works with xts to calculate the difference between the value of one period minus the previous one. The lag function gets the previous value of the time series.Holding period return
HPR1<- 100*as.vector(last(adprices))/as.vector(first(adprices))-1
cat("The holding period return for Bitcoin is: ", HPR1[1], "%")## The holding period return for Bitcoin is: 4483.512 %cat("The holding period return for Bitcoin is: ", HPR1[2], "%")## The holding period return for Bitcoin is: 1733.919 %HPR2<- 100*exp(colSums(ccreturns, na.rm= TRUE))-1
HPR2## bitcoin tesla
## 4483.512 1733.9191.3 Visualization of financial data
Let´s see the performance of Bitcoin prices
chartSeries(`BTC-USD`, theme = ("white"))
Let’s see the performance of TESLA prices:
chartSeries(TSLA, theme = ("black"))
We can see exponential growth of both, the Bitcoin prices and Tesla prices for the last days. If you had invested in Bitcoin or Tesla in July 2020 and has sold your position early January 2021, you would have multiplied your investment by around 4 times (300% period return)!
We can visualize the daily returns over time:
plot(returns$bitcoin)
plot(returns$tesla)
With this plot we can appreciate the daily volatility of each instrument over time. Volatility is a measure of how disperse the returns move up and down from its mean; it is basically the standard deviation of returns.
1.4 Basics of portfolio analysis
library(tidyverse)## -- Attaching packages --------------------------------------- tidyverse 1.3.1 --## v ggplot2 3.3.5 v purrr 0.3.4
## v tibble 3.1.4 v dplyr 1.0.7
## v tidyr 1.1.3 v stringr 1.4.0
## v readr 2.0.1 v forcats 0.5.1## -- Conflicts ------------------------------------------ tidyverse_conflicts() --
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::first() masks xts::first()
## x dplyr::lag() masks stats::lag()
## x dplyr::last() masks xts::last()library(PerformanceAnalytics)##
## Attaching package: 'PerformanceAnalytics'## The following object is masked _by_ '.GlobalEnv':
##
## prices## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## legendlibrary(highcharter)
# We will do an exercise of a simple portfolio composed by 5 US stocks: Tesla, Microsoft, Nextera, WalMart and Pfizer. You can change the tickers of the stocks as you wish as long as Yahoo Finance has data for your tickers. I selected stocks from the industries: high-tech, clean energies, pharmaceutical, and retail.1.4.1 Automation of data collection and data management
w
symbols <- c("TSLA","MSFT","NEE","WMT","PFE")
prices <- getSymbols(symbols,src = 'yahoo',
periodicity = "monthly",
from = "2018-01-01",
auto.assign = TRUE,
warnings = FALSE) %>%
map(~Ad(get(.))) %>%
reduce(merge) %>%
`colnames<-`(symbols)
#The %>% indicates the separation of each data management process
#1. Download price data of the 5 stocks
#2. Apply (map) the adjusted function to all xts-zoo datasets in order to get the adjusted stock prices
#3. Do the merge of all the xts-zoo objects into one object
#4. Finally rename the columns of the integrated object, and return the object as prices.1.4.2 Return calculations
Simple Monthly Returns
Returns<- Return.calculate(prices)%>%
na.omit()Continuously compounded monthly returns
returns<- Return.calculate(prices,method="log")%>%
na.omit()
#or we can also calculate them by...
returns2<- na.omit(diff(log(prices)))1.4.3 Descriptive statistics of returns
table.Stats(returns)We can see arithmetic, geometric mean, median of returns. Also we can see risk measures such as standard deviation, variance. Finally we can see skewness and kurtosis, which are important financial measures to understand the data.
1.4.4 Visualization of risk and return of stocks
We can do a Box plot of the returns to better appreciate historical median return and risk by looking at the median, the quartiles Q1 and Q3, volatility and extreme values of these returns:
chart.Boxplot(returns)
It is easy to see that Tesla is the stock with the highest risk. The red circles show the mean, the mid line is the median (50 percentile), the boxes include the 50% of the data from the Q1 (25 percentile) to the Q3 (75 percentile). The dots are considered extreme values for in the context of its own distribution.
Now we can start evaluating the performance over time for each stock by looking at how much $ we would have made if we had invested $1.00 in each stock at the beginning of the time periods:
charts.PerformanceSummary(Returns,
main = "Performance of $1.00 over time",
wealth.index = TRUE)
Since Tesla has had an extraordinary performance for the last months, it is hard to appreciate the performance of the rest of the stocks. So, we can drop Tesla from the plot:
charts.PerformanceSummary(Returns[,2:5],
main = "Performance of $1.00 over time",
wealth.index = TRUE)
1.5 Portfolio formation
I start creating the weights of 2 portfolios. One will be an equally-weighted portfolio, and the other will be an aggressive portfolio assigning high weights to risky stocks, and low weights to conservative stocks.
I start creating a vector of weights for the equally weighted portfolio:
w_ew = rep(0.2,5)
# The rep function repeats a value n timesw_aggressive = c(0.4,0.3,0.2,0,0.1)1.6 Portfolio returns calculation
portfolio_returns_ew <-
Return.portfolio(Returns,
weights = w_ew) %>%
`colnames<-`("returns")Now for the agressive one
portfolio_returns_ag <-
Return.portfolio(Returns,
weights = w_aggressive) %>%
`colnames<-`("returns")Plot performance of each portfolio
charts.PerformanceSummary(portfolio_returns_ew,
main = "Equally-weighted Portfolio")
charts.PerformanceSummary(portfolio_returns_ag,
main = "Aggressive Portfolio Performance")
We finally do a dynamic plot of historical monthly returns of each portfolio using the highchart function from the highcharter package:
highchart(type = "stock") %>%
hc_title(text = "Equally-weighted Portfolio") %>%
hc_add_series(portfolio_returns_ew$returns,
name = "Monthly Returns",
color = "cornflowerblue") %>%
hc_add_theme(hc_theme_flat()) %>%
hc_navigator(enabled = FALSE) %>%
hc_scrollbar(enabled = FALSE) %>%
hc_legend(enabled = TRUE) %>%
hc_exporting(enabled = TRUE)Same for aggressive portfolio
highchart(type = "stock") %>%
hc_title(text = "Aggressive Portfolio") %>%
hc_add_series(portfolio_returns_ag$returns,
name = "Monthly Returns",
color = "cornflowerblue") %>%
hc_add_theme(hc_theme_flat()) %>%
hc_navigator(enabled = FALSE) %>%
hc_scrollbar(enabled = FALSE) %>%
hc_legend(enabled = TRUE) %>%
hc_exporting(enabled = TRUE)2 Introduction to Portfolio Theory
Create the Variance-covariance matrix which is needed to compute the expected risk of the portfolio.
ret.mat <- as.matrix(Returns)We compute the Var-Covariance matrix. The var function receives a matrix of returns as parameter. The returns of stock 1 are in column 1, returns of stock 2 are in column 2, and so on. This function calculates the Variance-Covariance Matrix of stock returns.
Remember that the Variance-Covariance matrix contains Variances of stock returns in the diagonal, and it contains the covariances of pairs of stock returns in the non-diagonals. Also, this matrix is symetric, since Cov(Reti, Retj) = Cov(Retj,Reti). More formally:
For example, the variance-covariance matrix of 2 variables X1 and X2 contains the variance of each variable in its diagonal and covariances between the variables in its non-diagonal terms. In other words, the elements in the upright part of the matrix are repeated in the down-left part of the matrix. More formally:
∑cov=[Var(X1)Cov(X2,X1)Cov(X1,X2)Var(X2)]
COV <- var(ret.mat)
COV## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## TSLA 0.045762143 0.0050370384 0.0018630329 0.0030757057 0.0034162157
## MSFT 0.005037038 0.0025348395 0.0001794182 0.0007295386 0.0009458638
## NEE 0.001863033 0.0001794182 0.0024832926 0.0006925373 0.0010749990
## WMT 0.003075706 0.0007295386 0.0006925373 0.0025269439 0.0016306594
## PFE 0.003416216 0.0009458638 0.0010749990 0.0016306594 0.0044928310#Correlation, the more near to 1, the more correlation that exists
cor(ret.mat)## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## TSLA 1.0000000 0.46767790 0.17476457 0.2860183 0.2382495
## MSFT 0.4676779 1.00000000 0.07151174 0.2882539 0.2802808
## NEE 0.1747646 0.07151174 1.00000000 0.2764594 0.3218356
## WMT 0.2860183 0.28825393 0.27645944 1.0000000 0.4839555
## PFE 0.2382495 0.28028079 0.32183558 0.4839555 1.0000000We calculate the expected simple returns of the stocks in another matrix using the apply function. It is important to double check that the second parameter is equal to 2. This means that we are applying the function mean by column. If we want to apply the mean function by raw, we have to specify the second parameter as 1.
ER<- exp(apply(ret.mat, 2, mean)) - 1
ER## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## 0.07563866 0.02862638 0.02045853 0.01012254 0.01173784To calculate this expected return we have 2 methods:
Calculate the products of Gross Returns of each period, substract 1, and then apply the N root to get the geometric average.
Get the arithmetic average of continuously compounded returns and then convert this amount to simple returns by raising e to this average and then substract 1.
apply(ret.mat, 2, var)## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## 0.045762143 0.002534839 0.002483293 0.002526944 0.004492831apply(ret.mat, 2, sd)## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## 0.21392088 0.05034719 0.04983265 0.05026872 0.06702858apply(ret.mat, 2, skewness)## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## 1.0654295 -0.1714956 0.3844723 -0.6502201 0.4245292#Used to measure the shape of the probability distribution of the returns apply(ret.mat, 2, kurtosis)## TSLA MSFT NEE WMT PFE
## 0.9893684 -0.4141543 0.9770822 1.1116478 0.2854452# used to provide information about the extreme returns positive and negative3 Calculation of expected variance and risk of a Portfolio
Portfolio weights Apple 30%, Walmart 10%, Microsoft 30%, GE 10% and Tesla 20%.
W <- c(0.30,0.10,0.30,0.10,0.20)ERP1 <- t(W)%*%ER
ERP1## [,1]
## [1,] 0.03505162The vector ERP1 will have one value with the expected return of the portfolio. The t function is the transpose function of a vector or matrix. The result of multiplying the vector transposed times the vector of expected returns of the stocks is the same as calculating a weighted average.
Now I can estimate the expected risk of the portfolio using Matrix Albegra:
EVARPORT <- t(W)%*%COV%*%W
ERISK <- sqrt(EVARPORT)
ERISK## [,1]
## [1,] 0.07812455With this matrix multiplication I am applying Markowitz theory to estimate the expected variance of the portfolio. You can review why this is the case in the Notes about Portfolio Theory. Make sure you understand why we do this matrix multiplication.