class: center, middle, inverse, title-slide # Topología ### Jhonatan Ancco ### 6/9/2021 --- #Espacios metricos ##Definicion 1 Valor absoluto: a) Si `\(x>0\)` `\(|x|=x\)` b) Si `\(x<0\)` `\(|x|=-x\)` --- ##Propiedades 1- `\(\forall x \in \mathbb{R}: |x-y|\geq 0\)` 2- --- #Espacios métricos ##Def 1.1 Sea `\(X \neq {}\)`, una métrica en `\(X\)` es una $ d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface: c1) `\(\forall x,y \in X: d(x;y)\geq 0\)` c2) `\(\forall x,y \in X: d(x,y)=d(y,x)\)` c3) `\(\forall x,y,z \in X: d(x,z)\)` --- #Ejemplo 1.2 a) \mathbb{R} es un espacio metrico con: `\(\forall x,y \in X: d(x;y)=|x-y|\)` b) c) Sea `\(n\in\mathbb{N}\)`: `\(\mathbb{R}^n= \{ (x_1,...,x_n)\}\)` `\(d1(x;y)=\sqrt(\sum((x_k-y_k)^2) \Rightarrow(\mathbb{R}^n,d)\)` es una metrica. `\(d2(x;y)=\sqrt(\sum((x_k-y_k)^2) \Rightarrow\)` `\((\mathbb{R}^n,d)\)` es una metrica. `\(d3(x;y)=\sqrt(\sum((x_k-y_k)^2) \Rightarrow\)` `\((\mathbb{R}^n,d)\)` es una metrica. --- d) Sea `\(X\neq \empty\)`, $ d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ definida por : `\(d(x;y)=1\)` si `\(x\neq y\)` e) Sean `\(a,b\in\mathbb{R}\)` con `\(a<b\)` `\(C([a,b];\mathbb{R})=\{ f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)` tq f es continua en [a,b] \}$ Es decir existen `\(\max f(x)\)` y `\(\min f(x)\)` `\(\forall f,g \in C([a,b]; \mathbb{R})\)` `\(d1(f,g)=\max\{|f(x)-g(x)| tq x\in [a,b]\}\)` `\(d2(f,g)= \int_a^b||\)` \mathbb{R} tq f es continua en [a,b] Es decir existen `\(\max f(x)\)` y `\(\min f(x)\)` `\(\forall f,g \in C([a,b]; \mathbb{R})\)` `\(d1(f,g)=\max\{|f(x)-g(x)| tq x\in [a,b]\}\)` `\(d2(f,g)= \int_a^b||\)` --- ##2 Bolas Abiertas y cerradas ##Definicion 2.1 Sean `\((X,d)\)` un espacio métrico $ a\in X; r>0$ a) La bola abierta de radio `\(a\)` y centro `\(r\)` se denota `\(B_d(a;r)\)` y se define: `\(B_d(a;r)=\{x\in X /d(x;a)<r\}\)` b) La bola cerrada de radio `\(a\)` y centro `\(r\)` se denota `\(\bar{B}_d(a;r)\)` y se define: `\(\bar{B}_d(a;r)=\{x\in X /d(x;a)\leq r\}\)` c) La esfera de radio `\(a\)` y centro `\(r\)` se denota `\(S_d(a;r)\)` y se define: `\(S_d(a;r)=\{x\in X /d(x;a)= r\}\)` Es claro que `\(\bar{B}_d(a;r)=B_d(a;r) \cup S_d(a;r)\)` --- ###Ejemplo 2.2 a) `\((\mathbb{R,d_{|.|}}):\)` `\(B(0,1)=<-1;1>\)`; `\(B(0,r)=<-r;r>\)` b) `\((\mathbb{R,d_{disc}}):\)` ##3 Conjunto Acotado ##Definicion 3.1 (Conjunto acotado) Sea `\((X,d)\)` un espacio metrico y `\(A\subset X\)`, no vacio. `\(A\)` Es un conjunto acotado si esta contenido en alguna bola. ###Ejemplo 3.2 a) En el espacio metrico `\((\mathbb{R,d_{|.|}}):\)` es claro que $ \mathbb{R}$ esta acotado b)Considerando `\((\mathbb{R,d_{disc}})\)` como $ \mathbb{R}= B_d_{dis}(0;2)$ sigue que `\(\mathbb{R}\)` es acotado. --- c) Sea `\(X\)` no-vacío, luego, Todo subconjunto no vacio de `\(X\)` es acotado en `\((\mathbb{X,d_{disc}})\)` Veamos: Sea `\(\Asubset X\)` --- ##Definicion 3.2[Diametro de un conjunto] Sea `\(A\)` un conjunto acotado en `\((X,d)\)`. El diametro de `\(A\)` se denota por: `\(diam(A)=\sup\{d(x;y)/ x,y \in A\}\)` ###Observacion Sea `\(A\)` un conjunto acotado en un espacio metrico `\((X,d)\)`. Es decir: `\(\exists a,X\)` y `\(r>0/ A \subset B_d(a;r)\)` `\(\Rightarrow \forall x,y \in A : d(x,y)\)` El conjunto `\(\{\}\)` es acotado ysuperiormente lo cual verifica que existe `\(\sup\{\}\)` --- ###Ejemplo 3.3 Sean `\((X,d)\)` un espacio metrico y `\(B_d(a;r)\)`. `\(\forall x,y \in B: d(x;y) \leq d\)` --- ##Proposicion 3.4 Sea `\((X,d)\)` un espacio metrico, `\(A,B\subset X\)` conjuntos no vacios. Sia `\(A\subset B\)` es acotado `\(\Rightarrow\)` `\(A\)` tambien es acotado ###Prueba Por `\(B\)` acotado, existen `\(a\in X\)` y `\(r>0\)` tq: ##Proposicion 3.5 La union finita de conjuntos acotados es un conjunto acotado. ###Prueba Sean `\(A_1,...,A_n \subset X\)` acotados en `\((X,d)\)`. Es decir `\(\exists a_i,r_i/ A_i\subset B_d(a_i,r_i)\)` Sea $A=\Cup $ --- `\(a_1 \in A_1, a_2 \in A_2 \Rightarrow d(a_1,x)<r_1\)` y `\(d(a_2,y)<r_2\)` `\(\forall x,y \in A1\cup A_2\)` $d(x,y)\leq $ --- #4 Distancia entre conjuntos ##Definicion 4.1 Sea `\((X,d)\)`, `\(x_0 \in X, \neq A\subset X\)`. La distancia de x_0 al conjunto `\(A\)` se le denota por `\(d(x_0,A)\)` y se define por: `\(d(x_0,A)\)` ###Ejemplo 4.2 ###Ejemplo 4.3 En un espacio metrico discreto se cumple que `\(d(x_0,A)=0\)` si y solo si `\(x_0\)` --- ##Proposicion 4.4 Sean `\(x_0,y_0 \in X, \neq A\subset X\)` luego: `$$|d(x_0,A)-d(y_0,A)\leq d(x_0,y_0)|$$` ###Prueba `\(\forall\)` --- ##Definicion 4.5 Sea `\((X,d)\)` un espacio metrico y $ \neq A,B \subset X$. La distancia entre `\(A,B\)` se denota por: `$$d(A;B)=\inf\{d(a,b)/a\in A, b\in B\}$$` ##Ejemplo 4.6 ##Proposicion 4.7 Sea `\((X,d)\)` un espacio metrico y $ \neq A,B \subset X$. Se cumple que: `\(d(A,B)=inf {d(b,A) }= inf {d(A,B)}\)` --- --- --- --- --- --- --- ---