GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

Suponha que possuímos \(r\) populações \(S_1, \ldots, S_r\). De cada subpopulação é extraída uma amostra de \(n_i\) elementos, \(i = 1, \ldots, r.\) Em seguida, é registrado a qual categoria da variável \(A\) cada elemento pertence (\(A_1, \ldots, A_c\)). O objetivo deste teste é verificar se a distribuição de probabilidade de \(A\) em cada subpopulação é a mesma.

As hipóteses associadas ao teste são

\[H_0: P_1(A_1) = \ldots = P_r(A_1), \ldots, P_1(A_c) = \ldots = P_r(A_c)\] \[\times\] \[H_1: \mbox{Existe pelo menos uma diferente}.\] em que \(P_i(A_j)\) é a probabilidade de um elemento da subpopulação \(i\) ser classificado na categoria \(A_j\), \(i = 1, \ldots, r\) e \(j = 1, \ldots, c\).

Vamos discutir o teste em cima do seguinte problema: um dono de uma fábrica que empacota cafés possui três máquinas (A, B e C) enchendo os pacotes. Os pacotes podem ser classificados no final como normais ou defeituosos. O dono da fábrica coletou uma amostra de 20 cafés da máquina A, 30 cafés da máquina B e 25 cafés da máquina C. Ele gostaria de saber se as máquinas produzem de forma semelhante. Como responder a este questionamento?

Notem que no nosso problema, cada máquina representa uma população, nesse caso, \(r = 3\) e a variável que está sendo observada é a classificação do café com duas possíveis categorias (normal ou defeituoso) \(c = 2\). Este cenário se aplica ao teste de homogeneidade, pois foi sorteado uma amostra fixada para cada subpopulação e então verificada a qual categoria (defeituoso ou não) cada elemento pertencia. Podemos traduzir o problema nas seguinte hipóteses

Hipótese: \[H_0: P_A(D) = P_B(D) = P_C(D), P_A(ND) = P_B(ND) = P_C(ND)\] \[\times\] \[H_1: \mbox{Existe pelo menos uma diferente}.\] Antes de testarmos estas hipóteses, podemos explorar um pouco os dados.

#Importando os dados
base_def = read_rds("Base defeito.rds")

#Tabela de contingência frequência absoluta
base_def |> 
  calc_cro_cases(defeito,maquina)

#Tabela de contingência percentual por coluna
base_def |> 
  calc_cro_cpct(defeito,maquina)

#Gráfico de barras empilhadas
base_def |> 
  ggplot(aes(x = maquina, fill = defeito)) + 
  geom_bar(position = "fill") +
  labs(x = "Máquina", y = "%",fill = "Classificação") +
     scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) 

Notem que se analisarmos a tabela de contingência com as frequências absolutas não consegumos comparar bem as frequências observadas já que as subpopulações (máquinas) tem amostras de tamanhos diferentes, o que faz ser necessário trabalharmos com as porcentagens. Quando avaliamos as %, o comportamento das máquinas A e C parecem bastante semelhante, isto é, as proporções de defeituosos nas duas máquinas são parecidas, bem como a proporção de não defeituosos. O mesmo não se pode falar da máquina C, que apresentou proporções das categorias bem diferente das outras máquinas. Porém para respondermos o questionamento feito precisamos testar as hipóteses levantadas.

Para executarmos o teste de homogeneidade, também usaremos a função chisq.test do pacote stats.

A seguir, vamos apresentar os principais argumentos da função chisq.test para o teste de homogeneidade:

  - x - uma tabela de contingência (dupla entrada) com as frequências absolutas;

  - correct - um operador lógico indicando se será aplicado ou não a correção de continuidade (default - TRUE).

#Realizando o teste de homogeneidade
chisq.test(x = table(base_def$maquina, base_def$defeito), 
           correct = FALSE)

    Pearson's Chi-squared test

data:  table(base_def$maquina, base_def$defeito)
X-squared = 16.107, df = 2, p-value = 0.000318

A saída do teste contém várias informações: o valor da estatística do teste X-squared, o número de graus de liberdade da estatística de teste df e o p-valor associado as hipóteses especificadas.

Com base em um nível de significância de 5%, rejeitamos \(H_0\) (p-valor = 0.000318 < 0,05 = \(\alpha\)), ou seja, encontramos evidências nos dados para acreditar que a distribuição de defeituosos e não defeituosos não é homogênea, isto é, existe pelo menos uma máquina com distribuição de probabilidade dos itens defeituoso diferente. Avaliando a tabela de contingência, vê-se claramente que a máquina B possui um comportamento diferente das demais.