PROBABILIDAD (TEORÍA)
Introducción a la probabilidad clásica
Introducción a la probabilidad clásica
Dr. rer. nat. Humberto LLinás Solano
Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad del Norte (Barranquilla, Colombia)24/07/25
Abstract
La teoría mencionada puede revisarse en el capítulo 2 de mis notas de clase que aparecen en el siguiente documento: 1.1. Estadística básica. En Rpubs:: toc se pueden ver otros documentos de posible interés.
1 Probabilidad clásica
Sea \(\Omega \ne \emptyset\) un espacio muestral finito y supongamos que todos los eventos elementales suceden con la misma probabilidad. Entonces, para cada evento \(A\) de \(\Omega\): \[P(A)\;= \; \frac{\mbox{Número de elementos de $A$}}{\mbox{Número de elementos de $\Omega$}}\]
2 Probabilidad: propiedades
Para eventos \(A\), \(B\), \(C\) de un espacio muestral \(\Omega \ne \emptyset\) se tiene:
\(0 \leq P(A)\leq 1\).
\(P(\emptyset)=0\).
\(P(\Omega)=1\).
Propiedad del complemento: Si \(\overline{A}\) es el complemento de \(A\), entonces, \[P(\overline {A}) + P(A) = 1\]
Teorema de la partición de un conjunto: \[P(A)= P(A\cap B) + P(A\cap \overline{B})\] \[P(B)= P(A\cap B) + P(B\cap \overline{A})\]
Teorema de adición para 2 eventos mutuamente excluyentes (es decir, eventos con intersección vacía): \[P(A\cup B)= P(A) + P(B)\]
Teorema de adición para 2 eventos (no necesariamente mutuamente excluyentes): \[P(A\cup B)= P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]
Teorema de adición para 3 eventos mutuamente excluyentes (es decir, eventos con intersección vacía, dos a dos): \[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)\]
Teorema de adición para 3 eventos (no necesariamente mutuamente excluyentes): \[P(A\cup B\cup C)= P(A) + P(B) + P(C)- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C)\]
3 Probabilidad: diagramas de Venn
Enunciado
Sean \(A\), \(B\) y \(C\) eventos tales que:
\[P(A)=0.50, \qquad P(B)=0.26, \qquad P(C)=0.55, \qquad P(A\cap B)=0.15,\]
\[P(A\cap C)=0.25, \qquad P(B\cap C)=0.15, \qquad P(A\cap B \cap C)=0.05\]
Dibuje un digrama de Venn y complételo teniendo en cuenta las probabilidades dadas.
Calcule (utilizando las propiedades): \(P(A\cup B)\).
Calcule (utilizando las propiedades): \(P(A\cap \overline{C})\).
Calcule (utilizando las propiedades): \(P(\overline{A} \cup C)\).
Calcule (utilizando las propiedades): \(P(A\cup B\cup C)\).
Calcule (utilizando las propiedades): \(P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})\).
Calcule las probabilidades anteriores utilizando el diagrama de Venn de la parte (a).
Solución
- El diagrama de Venn es:
## (np.float64(-0.6906831368597864), np.float64(0.6349536184131089), np.float64(-0.7624825469570986), np.float64(0.6862531979123428))
- Teniendo en cuenta el teorema de adición para 2 eventos, se tiene que:
\[P(A\cup B) \;=\; P(A) + P(B) - P(A\cap B) \;=\; 0,50 + 0,26 - 0,15 \;= \; 0,61\]
- Teniendo en cuenta la parte (e) de las propiedades, se obtiene que:
\[P(A\cap \overline{C})\;= \; P(A) - P(A\cap C) \;= \; 0,50 - 0,25 \;= \; 0,25\]
- Teniendo en cuenta la parte (c) de las propiedades, las leyes de de Morgan y la parte (b) de este ejercicio, se tiene:
\[P(\overline{A}\cup C) \;= \; 1- P(\overline{\overline{A}\cup C}) \;= \; 1- P(A\cap \overline{C}) \;= \; 1- 0,25 \;= \; 0,75\]
- Teniendo en cuenta el teorema de adición para 3 eventos (véase la parte (g) de las propiedades), se tiene que:
\[\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C)&=& P(A) + P(B) + P(C)- P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \\ &=& 0,50 \,+\, 0,26 \,+\, 0,55 \,-\, 0,15 \,-\, 0,25 \,-\, 0,15 \,+\, 0,05 \\ &=& 0,81 \end{eqnarray*}\]
Por las leyes de De Morgan: \[ P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(\overline{A \cup B \cup C}) = 1- P(A\cup B\cup C) = 1 - 0.81 = 0.19\]
Alternativamente, las respuestas encontradas en los ejercicios (a)-(e) pueden ser obtenidas con ayuda de las probabilidades que aparecen en el diagrama de Venn de la parte (a). Se deja como ejercicio al lector.
4 Probabilidad: lanzamiento de dados
4.0.1 Ejemplo: con orden
Supongamos que un dado se lanza 3 veces. Hallaremos la probabilidad de que salga el 2 delante del 1 (en ese orden).
Solución
Vemos que: el espacio muestral tiene \(w= \#\Omega =216\) elementos, la muestra es de tamaño \(n=3\) y el evento \(A\) tiene \(a=\#A=16\) elementos (ver tabla de abajo).
| Dado 1 | Dado 2 | Dado 3 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 8 | 2 | 2 | 1 |
| 9 | 3 | 2 | 1 |
| 10 | 4 | 2 | 1 |
| 11 | 5 | 2 | 1 |
| 12 | 6 | 2 | 1 |
| 14 | 2 | 3 | 1 |
| 20 | 2 | 4 | 1 |
| Dado 1 | Dado 2 | Dado 3 | |
|---|---|---|---|
| 26 | 2 | 5 | 1 |
| 32 | 2 | 6 | 1 |
| 38 | 2 | 1 | 2 |
| 74 | 2 | 1 | 3 |
| 110 | 2 | 1 | 4 |
| 146 | 2 | 1 | 5 |
| 182 | 2 | 1 | 6 |
Por consiguiente, la probablidad pedida es
\[P(A)=\frac{15}{216}=0.0694\]
Al lanzar 3 veces un dado, la probabilidad de que salga el 2 delante del 1 es aproximadamente 0.074.
4.0.2 Ejemplo: sin orden
Supongamos que un dado se lanza 3 veces. Hallaremos la probabilidad de que salga el 1 y el 2 (no necesariamente en ese orden).
Solución
Vemos que: el espacio muestral tiene \(w= \#\Omega =216\) elementos, la muestra es de tamaño \(n=3\) y el evento \(B\) tiene \(b=\#B=30\) elementos.
| Dado 1 | Dado 2 | Dado 3 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 2 | 1 |
| 8 | 2 | 2 | 1 |
| 9 | 3 | 2 | 1 |
| 10 | 4 | 2 | 1 |
| 11 | 5 | 2 | 1 |
| 12 | 6 | 2 | 1 |
| 14 | 2 | 3 | 1 |
| 20 | 2 | 4 | 1 |
| 26 | 2 | 5 | 1 |
| Dado 1 | Dado 2 | Dado 3 | |
|---|---|---|---|
| 32 | 2 | 6 | 1 |
| 37 | 1 | 1 | 2 |
| 38 | 2 | 1 | 2 |
| 39 | 3 | 1 | 2 |
| 40 | 4 | 1 | 2 |
| 41 | 5 | 1 | 2 |
| 42 | 6 | 1 | 2 |
| 43 | 1 | 2 | 2 |
| 49 | 1 | 3 | 2 |
| 55 | 1 | 4 | 2 |
| Dado 1 | Dado 2 | Dado 3 | |
|---|---|---|---|
| 61 | 1 | 5 | 2 |
| 67 | 1 | 6 | 2 |
| 74 | 2 | 1 | 3 |
| 79 | 1 | 2 | 3 |
| 110 | 2 | 1 | 4 |
| 115 | 1 | 2 | 4 |
| 146 | 2 | 1 | 5 |
| 151 | 1 | 2 | 5 |
| 182 | 2 | 1 | 6 |
| 187 | 1 | 2 | 6 |
Por lo tanto, la probabilidad pedida es \[P(B)=\frac{30}{216}=0.139\]
Al lanzar 3 veces un dado, la probabilidad de que salga el 1 y el 2 es aproximadamente 0.139.
5 Probabilidad: lanzamiento de monedas
5.0.1 Ejemplo:dos caras
Una moneda no falsa se lanza 3 veces. Hallaremos la probabilidad de que salgan por lo menos 2 caras.
Solución
Vemos que: el espacio muestral tiene \(w= \#\Omega =16\) elementos, la muestra es de tamaño \(n=4\) y el evento \(C\) tiene \(c=\#C=11\) elementos (ver tabla de abajo, en donde H=cara, T=Sello).
| Moneda 1 | Moneda 2 | Moneda 3 | Moneda 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | H | H | H | H |
| 2 | T | H | H | H |
| 3 | H | T | H | H |
| 4 | T | T | H | H |
| 5 | H | H | T | H |
| 6 | T | H | T | H |
| 7 | H | T | T | H |
| 9 | H | H | H | T |
| 10 | T | H | H | T |
| 11 | H | T | H | T |
| 13 | H | H | T | T |
Entonces, la probabilidad de que salgan por lo menos 2 caras es: \[P(C)=\frac{11}{16}=0.6875\]
Al lanzar 4 veces una moneda no falsa, la probabilidad de que salgan por lo menos 2 caras es aproximadamente 0.6875.
5.1 Ejemplo: tres caras
Una moneda no falsa se lanza 4 veces. Hallaremos la probabilidad de que salgan por lo menos 3 caras.
Solución
Vemos que: el espacio muestral tiene \(w= \#\Omega =16\) elementos, la muestra es de tamaño \(n=4\) y el evento \(D\) tiene \(d=\#D=5\) elementos.
| Moneda 1 | Moneda 2 | Moneda 3 | Moneda 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | H | H | H | H |
| 2 | T | H | H | H |
| 3 | H | T | H | H |
| 5 | H | H | T | H |
| 9 | H | H | H | T |
Entonces, la probabilidad de que salgan por lo menos 3 caras (H) es: \[P(D)=\frac{5}{16}=0.3125\]
Al lanzar 4 veces una moneda no falsa, la probabilidad de que salgan por lo menos 2 caras es aproximadamente 0.3125.
6 Ejemplo encuesta: enunciado
Los resultados obtenidos al realizar una encuesta sobre la variable Sexo (a 100 estudiantes universitarios), muestran que hay 49 mujeres y 51 hombres.
| Sexo | Frecuencias |
|---|---|
| Femenino | 49 |
| Masculino | 51 |
Supongamos que se seleccionan cuatro estudiantes al azar.
a) Diga qué tipo de variable es "Sexo". Explique.
b) Determine la proporción y el porcentaje de mujeres y de hombres en la muestra.
c) Construya el diagrama de barras correspondiente.
d) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres?
e) Si seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que las dos primeras personas
seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres.
f) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres?
g) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar tres hombres?
h) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y tres hombres?
i) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres?
j) ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccionemos hombres?
k) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos un hombre?
l) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos dos hombres?
m) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo dos hombres?
n) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al menos tres hombres?
o) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo dos mujeres?
p) Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los tres
primeros estudiantes seleccionados sean mujeres y el último, un hombre?
q) Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos
primeros estudiantes seleccionados sean mujeres, el tercero un hombre y el último, una mujer?
r) Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro estudiantes
seleccionados sean mujeres?
s) Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres?7 Ejemplo encuesta: solución
7.0.1 Solución parte (a)
La variable Sexo es cualitativa categórica y tiene dos niveles: Femenino y Masculino.
7.0.2 Solución parte (b)
Las proporciones de mujeres y hombres en la muestra son 0.49 y 0.51, respectivamente. En porcentajes, serían 49% y 51%, respectivamente.
7.0.3 Solución parte (c)
El diagrama de barras:
7.0.4 Solución parte (d)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres. Utilizaremos combinaciones (no importa el orden) y aplicaremos probabilidad clásica.
La probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres es \[P(A)= \frac{(1176)(1275)}{3921225}= 0.3824\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{(1176)(1275)}{3921225}= 0.3824$$ 7.0.5 Solución parte (e)
Ahora se seleccionan de uno en uno. Nos piden hallar la probabilidad de que las dos primeras personas seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres. Como interesa el orden, utilizaremos permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\).
La probabilidad de que las dos primeras personas seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres, es \[P(A)= \frac{(2352)(2550)}{94109400}=0.0637\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{(2352)(2550)}{94109400}=0.0637$$ 7.0.6 Solución parte (f)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres. Utilizaremos combinaciones y aplicaremos probabilidad clásica.
La probabilidad de seleccionar cuatro mujeres es \[P(A)= \frac{211876}{3921225}=0.054\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{211876}{3921225}=0.054$$ 7.0.7 Solución parte (g)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar tres hombres. Utilizaremos combinaciones y aplicaremos probabilidad clásica.
La probabilidad de seleccionar tres hombres es \[P(A)= \frac{(20825)(49)}{3921225}=0.2602\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{(20825)(49)}{3921225}=0.2602$$7.0.8 Solución parte (h)
La probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y tres hombres es 0, ya que los eventos “seleccionar cuatro mujeres” y “seleccionar tres hombres” son disyuntos (intersecciones vacías).
7.0.9 Solución parte (i)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres. Por el inciso (h), la probabilidad de la intersección de los eventos “seleccionar cuatro mujeres” y “seleccionar tres hombres” es cero. Por esta razón, se aplicará el teorema de adición para dos eventos: \[P(A\cup B)= P(A) + P(B)\]
De los resultados encontrados en los incisos (f) y (g), la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres es: \[P(A) = 0.0540 + 0.2602 = 0.3142\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A) = 0.0540 + 0.2602 = 0.3142$$ 7.0.10 Solución parte (j)
Nos piden hallar la probabilidad de que no seleccionemos hombres. Entonces, si no se seleccionan hombres, entonces, hemos seleccionado cuatro mujeres. Por lo tanto, por la parte (f), la probabilidad de que no seleccionemos hombres es 0.0540.
7.0.11 Solución parte (k)
Nos piden hallar la probabilidad de que seleccionemos un hombre. Utilizaremos combinaciones y aplicaremos probabilidad clásica.
La probabilidad de seleccionar un hombre es \[P(A)= \frac{(51)(18424)}{3921225}=0.2396\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{(51)(18424)}{3921225}=0.2396$$ 7.0.12 Solución parte (l)
Nos piden hallar la probabilidad de que seleccionemos dos hombres. Entonces, al seleccionar dos hombres, también estaremos seleccionando dos mujeres. Por lo tanto, por la parte (d), la probabilidad de que seleccionemos dos hombres es 0.3824.
7.0.13 Solución parte (m)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar máximo dos hombres. Para ello, solo debemos sumar las probabilidades de seleccionar 0, 1 y 2 hombres. Entonces, por las partes (j), (k) y (l), tenemos que \[P(A) = 0.0540 + 0.2396 + 0.3824 = 0.6760\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A) = 0.0540 + 0.2396 + 0.3824 = 0.6760$$7.0.14 Solución parte (n)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar al menos tres hombres. Observe que el evento “seleccionar al menos tres hombres” es el complemento del evento “seleccionar máximo dos hombres”. Por lo tanto, por la parte (m), la probabilidad pedida es: \[P(\overline {A})= 1- P(A) = 1 - 0.6760 = 0.3239\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(\overline {A})= 1- P(A) = 1 - 0.6760 = 0.3239$$7.0.15 Solución parte (o)
Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar máximo dos mujeres. El evento “seleccionar máximo dos mujeres” es el complemento del evento “seleccionar al menos tres mujeres”. Y la probabilidad de este evento (“seleccionar al menos tres mujeres”) es igual a la suma de las probabilidades halladas en las partes (f) y (k). Por lo tanto, utilizando la propiedad del complemento (inciso (d) de las propiedades), la probabilidad pedida es: 0.7064.
7.0.16 Solución parte (p)
Ahora, se seleccionan de uno en uno y nos piden hallar la probabilidad de que los tres primeros estudiantes seleccionados sean mujeres y el último, un hombre. En este caso, utilizaremos permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\):
La probabilidad de que los tres primeros estudiantes seleccionados sean mujeres y el último, un hombre, es \[P(A)= \frac{(110544)(51)}{94109400}=0.0599\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{(110544)(51)}{94109400}=0.0599$$7.0.17 Solución parte (q)
Nuevamente, se seleccionan de uno en uno y nos piden hallar la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres, el tercero un hombre y el último, una mujer. Basicamente, en este inciso, se pide la misma probabilidad formulada en (p). Por lo tanto, la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres, el tercero un hombre y el último, una mujer es 0.0599.
7.0.18 Solución parte (r)
Otra vez, se seleccionan de uno en uno y nos piden hallar la probabilidad de que los cuatro estudiantes seleccionados sean mujeres. Utilizaremos permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\):
La probabilidad de que los tres primeros estudiantes seleccionados sean mujeres y el último un hombre es \[P(A)= \frac{5085024}{94109400}=0.0540\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A)= \frac{5085024}{94109400}=0.0540$$ 7.0.19 Solución parte (s)
Nuevamente, se seleccionan de uno en uno y nos piden hallar la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres. Como en la dos primeras selecciones aparecen las mujeres, entonces, para en las dos últimas dos posiciones pueden ocurrir alguno de los eventos siguientes:
- “Seleccionar dos hombres”: que es la situación en (e).
- “Seleccionar primero una mujer y luego un hombre”: que es la situación en (p).
- “Seleccionar primero un hombre y luego una mujer”: que es la situación en (q).
- “Seleccionar dos mujeres”: que es la situación en (r).
Por esta razón, la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres es la suma de aquéllas halladas en esos incisos. Es decir, \[P(A) \; =\; 0.0637 + 0.0599 + 0.0599 + 0.0540 \; =\; 0.2376\]
El código para escribir la expresión anterior es:
$$P(A) \; =\; 0.0637 + 0.0599 + 0.0599 + 0.0540 \; =\; 0.2376$$ 8 Ejemplos (asociación de los temas con la realidad)
Ejemplo 1 (Baloto)
Baloto es un juego novedoso de tipo loto en línea, de suerte y azar, donde el jugador, por 5.700 pesos, apuesta por un acumulado multimillonario eligiendo, de uno en uno, 5 números del 1 al 43 (sin repetición) y una súper balota con números del 1 al 16 a través de una terminal de venta.
El objetivo es determinar el número de posibilidades que tenemos en sacar las 6 balotas con las condiciones descritas anteriormente.
Solución.
Se deben escoger 6 números. Entonces:
Para el primer número, hay 43 opciones de elegir un número.
Para el segundo número, hay 42 opciones de escogencia, porque no pueden repetirse.
Para el tercer número, hay 41 opciones.
Para el cuarto, hay 40 opciones.
Para el quinto, hay 39 opciones.
Para el sexto 16 opciones.
Para conocer el número total de opciones se aplica el teorema fundamental del conteo: se multiplican las opciones por cada número. Es decir:
\[43 \cdot 42\cdot 41\cdot 40\cdot 39\cdot 16 \;=\; 1.848´188.160\]
Este resultado corresponde al número de casos posibles, el cual es muy grande, ya que debe seleccionar uno de esa cantidad. La probabilidad de ganarse el baloto es
\[P(\mbox{ganar el baloto}) = \frac{1}{1.848´188.160} = 5.410705\; \times\; 10^{-10} = 0.0005410705\]
Es una probabilidad muy pequeña, lo que muestra que es difícil ganarse el baloto, pero…. la esperanza es lo último que se pierde.
9 Ejercicios
Realizar los ejercicios que se indican abajo. Interprete los resultados hallados.
9.0.1 Ejercicios del 1 al 5
Dos dados no falsos se lanzan. Halle la probabilidad de que:
La suma de los números sea un 7.
La suma sea por lo menos un 11.
La suma sea a lo más un 2.
Se obtenga un doble.
No se obtenga un doble.
Cinco monedas no falsas se lanzan.
Halle el espacio muestral y su tamaño. Calcule la probabilidades de los eventos que se indican a continuación.
B: sale 1 cara.
C: salen 2 caras.
D: salen 2 sellos.
E: salen 4 caras.
F: salen 0 sellos.
Un estante tiene 6 libros de matemáticas y 4 de física. Halle la probabilidad de que 3 libros determinados de matemáticas estén juntos, si todos los libros de matemáticas son diferentes y los libros de física también.
Un director de personal tiene ocho candidatos para cubrir 4 puestos. De éstos, 5 son hombres y 3 mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos tiene las mismas probabilidades de ser elegido, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada?
Una caja de doce lapiceros tiene dos defectuosos. Se extraen 10 lapiceros sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 salgan defectuosos?
9.0.2 Ejercicios del 6 al 8
Una caja contiene 8 fichas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 fichas sin reemplazo y sin orden, determinar la probabilidad de que:
Las 3 fichas sean blancas.
2 sean rojas y 1 blanca.
Al menos 1 sea blanca.
Se extraiga una de cada color.
La probabilidad de que Alfonso viaje a Alemania es 0.6, y la probabilidad de que viaje a España es 0.3, y la probabilidad de que viaje a alguno de las dos pa´ıses es 0.8. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
Alfonso viaja a ambos países.
Alfonso viaja a Alemania pero no a España.
Alfonso viaja a Espa˜na pero no a Alemania.
Alfonso no viaja a ninguno de los dos países.
Una biblioteca tiene cinco ejemplares (digamos, matemática, física, química, biología y estadística), de los cuales hay dos ejemplares (digamos, matemática y física) que son de primera edición, y el resto, de segunda edición. Serán seleccionados al azar dos ejemplares para ser puestos en reserva durante 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
Ambos ejemplares seleccionados sean primeras ediciones?
Ambos ejemplares seleccionados sean segundas ediciones?
Al menos uno de los ejemplares seleccionados sea de primera edici´on?
Los ejemplares seleccionados sean de diferentes ediciones?
9.0.3 Ejercicio 9
En el menú del día, un restaurante vegetariano ofrece una ensalada especial que contiene tres tipos de verduras distintas que son las preferidas por ciertos habitantes de una ciudad: Espárrago (A), brócoli (B) y coliflor (C). A continuación aparece el porcentaje de clientes del restaurante que pide determinada(s) verdura(s):
\[ 70\% \; A, \qquad 80\% \; B, \qquad 75\% \; C, \qquad 85\% \; A \;\mbox{o} \;B, \] \[ 90\% \; A \;\mbox{o} \;C, \qquad 95\% \;B\; \mbox{o}\; C, \qquad 98\% \;A,\; B\; \mbox{o} \;C \]
en donde, por ejemplo, el evento A o C significa que por lo menos una de las opciones A o C fue solicitada. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
El siguiente cliente pide, por lo menos, una de las tres opciones.
El siguiente cliente no pide ninguna de las tres opciones.
El siguiente comprador s´olo pide la opción A y ninguna de las otras dos opciones.
El siguiente cliente pide exactamente una de las tres opciones.
9.0.4 Ejercicio 10
Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educación en cierta región del país. Para \(i = 1, 2, 3\), sea \(A_i\) el evento que representa al evento “el proyecto \(i\) fue aceptado”. Supongamos que
\[\begin{eqnarray*} && P(A_1)=0.30, \quad P(A_2)=0.22, \quad P(A_3)=0.35, \quad P(A_1\cap A_2)= 0.08,\\ &&P(A_1\cap A_3)=0.09, \quad P(A_2\cap A_3)=0.06, \quad P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)=0.02 \end{eqnarray*}\]
Exprese verbalmente cada uno de los siguientes eventos y determine la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos:
\(A_1\cup A_2\).
\(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}\).
\(A_1 \cup A_2 \cup A_3\).
\(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}\).
\(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3\).
\((\overline{A_1} \cap \overline{A_2}) \cup A_3\).
9.0.5 Ejercicios del 11 al 12
Los resultados obtenidos al realizar una encuesta sobre la variable Financiación (a 62 estudiantes universitarios), muestran que hay 12 estudiantes becados por la universidad, 47 estudiantes que financiaron sus estudios a crédito y 3, que financiaron sus estudios de otra forma. Supongamos que se seleccionan cuatro estudiantes al azar.
- Diga qué tipo de variable es “Financiación”. Explique.
- Determine la proporción y el porcentaje de becados y de no becados.
- Construya el diagrama de barras correspondiente.
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos becados y dos, no becados?
- Si seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionadas estén becados y los dos últimos, no becados.
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro estudiantes becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar tres estudiantes no
becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro estudiantes becados y tres no becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro estudiantes becados o tres no becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccionemos estudiantes no becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos un estudiante no
becado?
- ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos dos estudiantes no becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo dos estudiantes no becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al menos tres estudiantes no becados?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo dos estudiantes becados?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los tres primeros estudiantes seleccionados sean becados y el último, no becado?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados estén becados, el tercero, uno no becado y el último, uno becado?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro estudiantes seleccionados estén becados?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados estén becados?
- Diga qué tipo de variable es “Financiación”. Explique.
Los resultados obtenidos al realizar una encuesta sobre la variable Sexo (a 40 estudiantes universitarios), muestran que hay 24 mujeres y 16 hombres. Supongamos que se seleccionan cinco estudiantes al azar.
- Diga qué tipo de variable es “Sexo”. Explique.
- Determine la proporción y el porcentaje de mujeres y de hombres en la muestra.
- Construya el diagrama de barras correspondiente.
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cinco mujeres?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar tres hombres?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y un hombre?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o un hombre?
- ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos tres mujeres?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo tres hombres?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al menos cuatro hombres?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo una mujer?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los tres primeros estudiantes seleccionados sean mujeres y los dos últimos, hombres?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres, el tercero un hombre y los dos últimos, mujeres?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los cinco estudiantes seleccionados sean mujeres?
- Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros estudiantes seleccionados sean mujeres?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos mujeres y tres hombres?
- Si seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras personas seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres.
- ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccionemos hombres?
- ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos una mujer?
- Diga qué tipo de variable es “Sexo”. Explique.
9.0.6 Ejercicio 13
¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justifique cada respuesta.
La suma de las probabilidades de eventos colectivamente exhaustivos es 1.
Si un evento y su complemento son igualmente probables, la probabilidad de ese evento es 0,5.
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces también lo son sus complementos.
La probabilidad de la unión de dos eventos no es menor que la probabilidad de la intersección.
La probabilidad de la unión de dos eventos no es mayor que la suma de la probabilidad de cada uno de los eventos.
La probabilidad de la intersección de dos eventos es menor que la probabilidad de cualquiera de los dos eventos.
Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes.
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces son colectivamente exhaustivos.
Si dos sucesos son colectivamente exhaustivos, entonces son mutuamente excluyentes.
La probabilidad de la intersección de dos eventos no es mayor que el producto de sus probabilidades individuales.
9.0.7 Ejercicio 13
¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justifique cada respuesta.
Suponga que un dado no falso se lanza. Defina los eventos A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3, 4}. Entonces, se tiene que la probabilidad de la intersección de A y B es 1/6.
La probabilidad de un evento y la probabilidad de su complemento siempre suman 0 ó 1.
Una caja de 12 lapiceros tiene 2 defectuosos. Se extraen 3 lapiceros sin reemplazo. La probabilidad de que 2 salgan defectuosos es (10 nCk 1)(2 nCk 2).
Si \(P(A) = 0.3\), \(P(A\cup B) = 0.7\), y \(P(A\cap B) = 0.2\), entonces, \(P(B) = 0.1\).
Si \(P(A) = 0.4\), \(P(B) = 0.5\), y \(P(A \cup B) = 0.7\), entonces se tiene que \(P(A \cap B) = 0.1\).
Suponga \(A\) and \(B\) son mutuamente excluyentes con \(P(A) = 0.1\) y \(P(B) = 0.6\). Entonces \(P(A \cap B) = \emptyset\).
Un estante tiene 6 libros de matemáticas y 4 de física (todos los libros son diferentes). La probabilidad de que 2 libros determinados de matemáticas estén juntos es 9! 2!/10!.
Suponga \(A\) and \(B\) son mutuamente excluyentes con \(P(A) >0\) y \(P(B) >0\). Entonces \(P(A \cap B) > 0\).
Tres dados no falsos se lanzan. La probabilidad de que la suma de los números de las caras sea 3 es 3/216.
En una urna hay 3 fichas verdes y 6 rojas. Entonces, la probabilidad de sacar, sin reposición (sin reemplazo), 2 fichas verdes es 1/12.
10 Otros ejercicios
Tener en cuenta la Bibliografía No. 1 que se referencia abajo y realizar los ejercicios que aparecen en:
La Sección 2.1 (página 110): Experimentos, espacios muestrales y eventos.
La Sección 2.2 (página 133): Modelos de urna y técnicas de conteo.
La Sección 2.3 (página 148): Introducción a la probabilidad.
La Sección de Ejercicios Complementarios (página 175).
Al hacer click aquí, usted encontrará una serie de artículos publicados en diferentes áreas de aplicación. Seleccione algunos de ellos y aplique la teoría explicada en este documento.
Bibliografía
LLinás, H., Rojas, C. (2005); Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.
Consultar mis Notas de clase: Cap. 2 (Descriptiva).
Consultar el documento RPubs :: Enlace y materiales de ayuda.
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