Optimization

Home Work - Week 1

Email           :
RPubs          : https://rpubs.com/invokerarts/
Github         : https://github.com/invokerarts
Majors         : Business Statistics
Address      : ARA Center, Matana University Tower Jl. CBD Barat Kav, RT.1, Curug Sangereng,
                      Kelapa Dua, Tangerang, Banten 15810.


1 Carilah definisi Optimasi, Optimisasi, atau Optimalisasi? Mana yang benar?

  • Optimasi adalah upaya atau cara untuk memperoleh hasil yang terbaik.
  • Optimisasi adalah proses, cara, tindakan untuk membuat suatu system atau rancangan seefektif atau sefungsional mungkin.
  • Optimalisasi adalah pengoptimalan.

\[_{sumber: Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)}\]

Menurut saya, Optimasi, Optimisasi maupun Optimalisasi ke-3nya benar karena merupakan penerjemahan dari Bahasa Inggris namun yang akan digunakan sepanjang mata kuliah ini adalah optimasi.

2 Jelaskan apa yang dimaksud dengan optimasi terbatas dan optimasi tanpa kendala, berikan contohnya!

  • Optimasi terbatas adalah proses maksimisasi dan minimisasi fungsi tujuan dengan berbagai kendala yang mengurangi kebebasan tindakan penyelesaian dan biasanya menghalangi pencapaian optimasi.

Contoh : Sebuah bangun datar segi empat memiliki keliling sebesar 20 m, temukan dimensi(lebar dan panjang) untuk memaksimalkan luas segi empat tersebut. Solusi : Rumus luas untuk sebuah segi empat adalah \[A = xy\] dimana:
A = luas (Area)
x = panjang
y = lebar

Rumus keliling untuk sebuah segi empat adalah \[P = 2x+2y\] dimana:
P = luas (Perimeter)
x = panjang
y = lebar

\[Memaksimalkan : f(x,y)=xy\] \[Diketahui : 2x+2y=20\] Kalian mungkin akrab dengan metode sederhana, menggunakan kalkulus variabel tunggal, untuk memecahkan masalah ini. Karena kita memiliki persamaan \(2x+2y=20\), maka kita dapat menyelesaikan persamaan dengan membuat persamaan y terlebih dahulu atau \(y=10-x\), yang kemudian kita substutusukan ke f sehingga didapatkan

\[f(x,y)=xy=x(10-x)=10x-x^2\]

Diatas adalah fungsi dari x saja, jadi kita hanya perlu memaksimalkan fungsi f(x)=10x−x2 pada interval [0,10]. Karena

\[f'(x)=10-2x⇒x=5\]

dan

\[f''(5)=-2<0\] maka Uji Turunan Kedua menyatakan bahwa \(x=5\) adalah maksimum lokal untuk f , dan karenanya \(x=5\) harus maksimum global pada interval [0,10] (Karena \(f=0\) pada titik akhir pada interval). Jadi karena \(y=10-x=5\), maka area maksimal yang didapatkan adalah ketika \(x=5\) dan \(y=5\) dengan \(A=xy=25\) dan \(P=2(5)+2(5)=20\)

  • Optimasi tanpa kendala adalah proses maksimisasi dan minimisasi fungsi tujuan yang bergantung pada variable bilangan riil tanpa batasan pada nilainya.

\(min_x F(x)\) or \(max_x F(x)\) Gunakan \(x_k\) untuk menotasikan solusinya \[F(x_k+p)=F(x_k)+pF'(x_k)+\frac{p^2}{2}F''(x_k)+...\]

\[F(x_k+p)\approx F(x_k)+pF'(x_k)+\frac{p^2}{2}F''(x_k)+...\]

\[F(x^*)=\min_{x} F(x)\approx \min_{p} F(x_k+p)\]

\[F(x^*)\approx \min_{p} [F(x_k)+pF'(x_k)+\frac{p^2}{2}F''(x_k)]\]

dengan

\[\frac{\partial F(x)}{\partial p}=F'(x_k)+pF''(x_k)=0\]

kita dapatkan bahwa

\[p=-\frac{F'(x_k)}{F''(x_k)}\]

Metode Newton menggunakan formula

\[x_{k+1}=x_k+p=x_k-\frac{F'(x_k)}{F''(x_k)}\]

Contoh: carilah nilai maksimum dari persamaan

\[f(x)=2\sin{x}-\frac{x^2}{10}\]

dengan tebakan awal \(x_0=2.5\) Solusi : \[f'(x)=2\cos{x}-\frac{2x}{10}=2\cos{x}-\frac{x}{5}\]

\[f"(x)=-2\sin{x}-\frac{1}{5}\]

\[x_{i-1}=x_i-\frac{2\cos{x_i}-\frac{x_i}{5}}{-2\sin{x_i}-\frac{1}{5}}\] \(x_0=2.5, x_1=0.995, x_2=1.469\)

Dengan catatan : * Sama seperti metode Newton Raphson untuk menyelesaikan \(F'(x)=0\). * Konvergensi kuadrat,\(|x_{k+1}-x^*|\leq \beta|x_k-x^*|^2\) * Mungkin Divergen * Memerlukan turunan pertama dan ke-dua * Solusinya dapat menjadi lokal minimum maupun maksimum

3 Cari Metode atau algoritma yang sering digunakan pada Optimasi, berdasarkan:

3.1 Optimasi Satu Dimensi

  • Dichotomous search method
  • Fibonacci search method
  • Golden-section search method
  • Quadratic interpolation method
  • Cubic interpolation method
  • The Davies, Swann, and Campey method

3.2 Optimasi Multidimensi

  • The Downhill Simplex Method of Nelder and Mead
  • Conjugate Gradient Optimizers
  • Quasi-Newton Methods

3.3 Model Optimasi Sederhana

Model Optimasi Sederhana merupakan main-topic dari beberapa sub-topic diantaranya pemrograman linier,kuadrat, dan non-linier sehingga model optimasi sederhana memiliki metode seperti 3 pertanyaan dibawah

3.4 Pemrograman Linier

  • Simplex Method
  • Interior Point Methods

3.5 Pemrograman Kuadrat

  • Equality-Constrained Quadratic Programs
  • Inequality-Constrained Quadratic Programs
    • Active Set Methods
    • Path-Following Methods
  • Linear Least-Squares Problem

3.6 Pemrograman Nonlinier

  • Augmented Lagrangian Methods
  • Sequential Quadratic Programming
  • Feasible Sequential Quadratic Programming
  • Reduced-Gradient Methods

4 Berikan penjelasan melalui contoh sederhana mengenai penerapan Optimasi Sains Data dalam kehidupan sehari-hari!

  • Pencarian rute tercepat dengan aplikasi peta. Mencari rute dengan proses optimasi sehingga mendapatkan jalur tercepat menggunakan data yang ada pada real time. Aplikasi google maps dapat menyarankan rute yang lebih jauh dengan alasan rute yang dekat sedang mengalami kemacetan mengikuti data real time. Disinilah penerapan optimasi dilakukan untuk merekomendasikan pengguna.