2.1 Optimasi Terbatas (Constrained Optimization)

Optimasi terbatas adalah proses maksimisasi atau minimisasi fungsi tujuan dengan berbagai kendala. Dimana kendala-kendala tersebut mengurangi kebebasan untuk penyelesaian dan menghalangi pencapaian optimasi. Optimasi ini dapat dipecahkan dengan Substitusi atau dengan Metode Pengali Lagrange.
Pada Subtitusi, masalah optimasi terbatas dapat dimulai dengan memecahkan persamaan kendala untuk satu dari variabel keputusan dan kemudian mensubtitusikan nilai variabel tersebut ke dalam fungsi tujuan yang dicari perusahaan untuk dimaksimumkan atau diminimumkan. Cara ini sesungguhnya mengubah masalah optimisasi terbatas jadi optimisasi tanpa kendala. Pada Metode Pengali Lagrange, metode ini dipergunakan bila metode substitusi dapat menyulitkan masalah optimasi terbatas.

Contoh:

• Keputusan pilihan konsumen dimana rumah tangga memerlukan konsumsi berbagai barang, tetapi konsumen tidak bisa membeli semuanya lebih dari penghasilannya. Hal itu membuat konsumen harus mengambil keputusan tentang apa yang akan mereka beli.
• Perusahaan membuat keputusan produksi untuk memaksimalkan keuntungan mereka dengan kendala bahwa mereka memiliki kapasitas produksi yang terbatas.
• Rumah tangga membuat keputusan mengenai seberapa banyak waktu untuk bekerja dan bermain dengan batasan bahwa hanya ada beberapa jam dalam sehari.
• Perusahaan berusaha meminimalkan biaya dengan batasan bahwa mereka harus memenuhi pesanan.

Contoh Soal:

Suatu perusahaan memproduksi produknya dengan menggunakan dua pabriknya dan bekerja dengan fungsi \(TC = 3X^2 + 6Y^2 – XY\). Diketahui:
X = Output pabrik pertama
Y = Output Pabrik Kedua
Kendala: Produk total harus sebesar 20 unit (\(X+Y=20\)).
Ditanya: Berapa kombinasi X dan Y agar biaya produksinya minimum? dan berapa biaya produksi tersebut?
Jawab:
\[ TC = 3(20 – Y)^2 + 6Y^2 – (20 – Y)Y \] \[TC = 3(400 – 40 Y + Y^2) + 6Y^2 – 20Y + Y^2\] \[TC = 1200 – 120Y + 3Y^2 + 6Y^2 – 20Y + Y^2\] \[TC = 1200 – 140Y + 10Y^2 \] Turunan pertama (total biaya marjinal) \[ -140 + 20Y = 0 \] \[20Y = 140\] \[Y = 7\]

Subtitusikan Y ke dalam persamaan ‘kendala’ \[ X + 7 = 20 \]
\[ X = 13 \]

Lalu, substitusikan lah X dan Y yang paling optimal supaya biaya minimum ini ke dalam persamaan TC yang paling awal. \[TC = 3(13)^2 + 6(7)^2 – (13)(7)\] \[TC = 507 + 294 – 91\] \[TC = 710\]

2.2 Optimasi Tanpa Kendala (Unconstrained Optimization)

Optimasi tanpa kendala adalah proses maksimisasi atau minimisasi fungsi tujuan yang bergantung pada variabel bilangan riil tanpa batasan pada nilainya. Dalam perhitungannya, masalah optimasi tanpa kendala adalah masalah dimana kita hanya perlu memperhatikan fungsi tujuan yang kita coba optimalkan dimana tak satupun dari variabel dalam fungsi tujuan dibatasi.

Contoh: Misal sebuah perusahaan Catering berusaha meminimalkan pengeluaran untuk keperluan membungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton. Dengan itu keempat sudutnya akan dipotong segi empat samasisi sehingga volumenya menjadi maksimum.

3.1 Optimasi Satu Dimensi

• Golden Section Search Method
• Fibonacci Search Method
• Newton–Raphson Method
• Secant Method
• Remarks on Line Search Method
• Brent Optimizer and Brent Optimizer Derivatives

3.2 Optimasi Multidimensi

• The Downhill Simplex Method of Nelder and Mead (The Nedler-Mead Algorithm)
• Conjugate Gradient Optimizers (The conjugate gradient method)
• Quasi-Newton Methods
• Line Searches Algorihms

3.3 Model Optimasi Sederhana

Model Optimasi Sederhana adalah main topic dari beberapa Subtopic seperti Pemograman Linier, Pemograman Kuadrat, Pemograman Non-linier dimana itu berarti metode ataupun algoritmanya sama seperti ketiga pemograman dibawah ini.

3.4 Pemrograman Linier

• Simplex Method
• Interior Point Methods

3.5 Pemrograman Kuadrat

• Equality-Constrained Quadratic Programs
• Inequality-Constrained Quadratic Programs
  • Active Set Methods
  • Path-Following Methods
• Linear Least-Squares Problem

3.6 Pemrograman Nonlinier

• Augmented Lagrangian Methods
• Reduced Gradient Methods
• Sequential Quadratic Programming
• Feasible Sequential Quadratic Programming