7.9 The type II error and the power of a test.

Problema tomado de: Wayne W. Daniel y Chad L. Cross, Biostatistics: A Foundation for Analysis in the Health Sciences, 10° edition, Wiley.

EXAMPLE 7.9.1

Suppose we have a variable whose values yield a population standard deviation of 3.6. From the population we select a simple random sample of size \(n = 100\). We select a value of a \(\alpha\) :05 for the following hypotheses:

\[H_0: \mu = 17.5, H_A: \mu \not= 17.5\]

TABLE 7.9.1 Values of \(\beta\) and \(1-\beta\) for Selected Alternative Values of \(\mu_1\).

Possible Values of \(\mu\) Under \(H_A\) When \(H_0\) is false	\(\beta\)	\(1-\beta\)
16.0	0.0143	0.9857
16.5	0.2090	0.7910
17.0	0.7190	0.2810
18.0	0.7190	0.2810
18.5	0.2090	0.7910
19.0	0.0143	0.9857

Reproducción de gráfica:

En la tabla anterior se nos proporcionan algunos puntos de la gráfica. Podemos gráficar directamente estos puntos. Para esto, simplemente cargamos los datos y graficamos:

library(latex2exp)
mu = c(16.0, 16.5, 17.0, 18.0, 18.5, 19.0)
uno.menos.beta = c(0.9857, 0.7910, 0.2810, 0.2810, 0.7910, 0.9857)

plot(mu, uno.menos.beta, type = 'b', main = 'Power curve', 
     xlab = TeX('Alternative values of $\\mu$'), ylim = c(0,1), col = 'blue',
     ylab = TeX('1- $\\beta$'))

legend("top", c("Datos proporcioandos"), fill=c("blue"))

grid()

Pero para graficarla también podemos recurrir a su forma analítica y no a estos datos proporcionados, sabiendo que \(1-\beta\) corresponde con el área bajo la curva de las colas externas de una distribución normal estandar para ciertas cotas \(z_U\) y \(z_L\). Sabemos del problema que \(\sigma = 3.6\), \(n=100\) y además se selccionó un \(\alpha = 0.05\). Por lo tanto:

# Creamos arreglo de puntos en intervalo de interés.
data = c(seq(15, 19, length.out=100))

# Datos del problema
mu = 16.5
std = 3.6
n = 100

# Valores ya calculados de cotas de H_0
mu_u = 18.21
mu_l = 16.79

# Función para calcular 1 - beta

probability.beta <- function(x){
  # Cotas
  zu <- (mu_u-x)/(std/sqrt(n))
  zl <- (mu_l-x)/(std/sqrt(n))

  # Valor de colas
  R <- 1 - pnorm(zu) + pnorm(zl)
  return(R)
}
 # Obtenemos todos los valores
y_data = probability.beta(data)

library(latex2exp)
mu = c(16.0, 16.5, 17.0, 18.0, 18.5, 19.0)
uno.menos.beta = c(0.9857, 0.7910, 0.2810, 0.2810, 0.7910, 0.9857)

plot(mu, uno.menos.beta, type = 'b', main = 'Power curve', 
     xlab = TeX('Alternative values of $\\mu$'), ylim = c(0,1), col = 'blue',
     ylab = TeX('1- $\\beta$'))
lines(data, y_data, col = 'red', type = 'l')

legend("top", c("Datos proporcioandos", "Forma analítica"), fill=c("blue", "red"))
grid()

Podemos notar que el valor mínimo se encuentra en \(\mu = 17.5\) con un valor de:

probability.beta(17.5)

[1] 0.04858424