Función Uniforme Continua

Here is a Crab

Considere una variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a Nueva York. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos. Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta. Admita que cuenta con datos suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cual-quier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo que va de 120 a 140 minutos. Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad uniforme. La función de densidad de probabilidad que define la distribución uniforme de la variable aleatoria tiempo de vuelo, es

\[ f(x) = \left\lbrace\begin{array}{c} \frac{1}{20} ~~para~~120\leq x \leq 140 \\ 0~~en~otro~caso \end{array}\right\rbrace \]

min = 120
max = 140
hmin = 1/(max-min)
hmax = hmin
plot(c(min-10,max+10),c(hmin,hmax),type="n",xlab = "Tiempo de vuelo",ylab = "Probabilidad")
rect(min, 0, max, hmax, col='pink', border='blue')
rect(min, 0, max, hmax, col='blue',density=5, angle=15)

dunif(110,min = 120, max=140)
dunif(120,min = 120, max=140)
dunif(130,min = 120, max=140)
dunif(140,min = 120, max=140)
dunif(150,min = 120, max=140)

En general, la función de densidad de probabilidad uniforme de una variable aleatoria x se define mediantela fórmula siguiente: \[ f(x) = \left\lbrace\begin{array}{c} \frac{1}{(b-a)} ~~para~~a\leq x \leq b \\ 0~~en~otro~caso \end{array}\right\rbrace \]

Como se hizo notar en la introducción, en el caso de una variable aleatoria continua, sólo se considera la probabilidad en términos de la posibilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado intervalo. En el ejemplo del tiempo de vuelo, una pregunta acepta-ble acerca de una probabilidad es: ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? Es decir, ¿cuál es \(P(120 \leq x \leq 130)\)? Como el tiempo de vuelo debe estar entre 120 y 140 minutos y como se ha dicho que la probabilidad es uniforme en este intervalo, es factible decir que \(P(120 \leq x \leq 130) = 0.50\). En la sección siguiente se mues-tra que esta probabilidad se calcula como el área bajo la gráfica de f(x) desde 120 hasta 130. Considere el Área bajo la gráfica de f(x) en el intervalo que va de 120 a 130. Esta Área es rectangular y el Área de un rectángulo es simplemente el ancho multiplicado por la altura. Si el ancho del intervalo es igual a 130 - 120 = 10 y la altura es igual al valor de la función de densidad de probabilidad \(f(x)= \frac{1}{20}\), se tiene, área = ancho x alto = 10(1/20) = 0.50.

min = 120
max = 140
hmin = 1/(max-min)
hmax = hmin
plot(c(min-10,max+10),c(hmin,hmax),type="n",xlab = "Tiempo de vuelo",ylab = "Probabilidad")
rect(min, 0, max, hmax, col='pink', border='blue')
rect(min, 0, max-10, hmax, col='pink', border='blue')
rect(min, 0, max-10, hmax, col='blue',density=5, angle=15)

punif(110,min = 120, max=140)
punif(120,min = 120, max=140)
punif(130,min = 120, max=140)
punif(140,min = 120, max=140)
punif(150,min = 120, max=140)

¿Qué observación se puede hacer acerca del área bajo la curva de f(x) y la probabilidad? ¡Son idénticas! En efecto, esta observación es correcta y válida para todas las variables aleatorias con-tinuas. Una vez que se ha dado la función de densidad de probabilidad f(x), la probabilidad de que x tome un valor entre algún valor menor x1 y otro valor mayor x2 se encuentra calculando el área bajo la gráfica de f(x) y sobre el intervalo de va de x1 a x2. Dada la distribución uniforme del tiempo de vuelo y usando la interpretación de área como probabilidad es posible contestar cualquier pregunta acerca de la probabilidad de los tiempos de vuelo. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? El ancho del intervalo es 136 - 128 = 8. Como la altura uniforme de f(x) = 1/20, se ve que \(P(128 \leq x \leq 136) = 8(1/20) = 0.40\).

Observe que \(P(120 \leq x \leq 140) = 20(1/20) = 1\); es decir, el área total bajo la gráfica de f(x) es igual a 1. Esta propiedad es válida para todas las distribuciones de probabilidad continua y es el análogo de la condición de que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1 en el caso de una función de probabilidad discreta. Dos diferencias importantes sobresalen entre el tratamiento de una variable aleatoria continua y el tratamiento de una variable aleatoria discreta.
1. Ya no se habla de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un determinado valor. Se habla de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de un intervalo dado.

runif(10,min = 120, max=140)

2. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor dentro de un determinado intervalo que va de x1 a x2 se define como el área bajo la gráfica de la función de densidad de probabilidad entre x1 y x2. Como un solo punto es un intervalo cuyo ancho es cero, esto implica que la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un va-lor exacto, cualquiera, es cero. Esto también significa que en cualquier intervalo la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor es la misma, ya sea que se incluyan o no los extremos del intervalo.
   El cálculo del valor esperado y de la varianza de una variable aleatoria continua es análogo al de una variable aleatoria discreta. Sin embargo, como en este caso interviene el cálculo integral la deducción de estas fórmulas queda para cursos más avanzados. En el caso de la distribución de probabilidad continua uniforme presentada en esta sección, las fórmulas para el valor esperado y para la varianza son

\[ E(x)=\frac{(a+b)}{2} \] \[Var(x) = \frac{(b-a)^2}{12} \]

La desviación estándar de los tiempos de vuelo se encuentra sacando la raíz cuadrada de la va-rianza. Por tanto, σ = 5.77 minutos.

Aplicaciones

1. La driving distance de los 100 mejores golfistas del Tour PGA está entre 284.7 y 310.6 yardas (Golfweek, 29 de marzo de 2003). Suponga que las driving distance de estos golfistas se encuen-tran uniformemente distribuidas en este intervalo.

1. Dé una expresión matemática de la función de densidad de probabilidad correspondiente a estas driving distance
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la driving distance de uno de estos golfistas sea menor que 290 yardas?
3. ¿De que la driving distance de uno de estos golfistas sea por lo menos de 300 yardas?
4. ¿De que la driving distance de uno de estos golfistas esté entre 290 y 305 yardas?
5. ¿Cuántos de estos jugadores lanzan la pelota por lo menos a 290 yardas?