GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

Vamos discutir o problema de se comparar duas proporções. Existem muitos cenários no qual desejamos comparar se as proporções de duas populações são iguais. Por exemplo, a proporção de homens favoráveis ao projeto de Lei Z é igual a proporção de mulheres favoráveis ao projeto de lei Z? Ou ainda, a proporção de clientes satisfeitos da operadora A é igual a proporção de clientes satisfeitos da operadora B?

Para respondermos os questionamentos acima precisamos fazer um teste de hipóteses comparando duas proporções.

Para exemplificarmos como realizar o teste no R, suponha agora que o dono de uma fábrica que produz o produto \(K\), deseja saber se a proporção de itens defeituosos nas duas máquinas que estão operando na fábrica são iguais. Como proceder?

Antes de especificarmos hipóteses e testá-las podemos entender um pouco mais do problema realizando uma análise exploratória de dados.

#Carregando pacotes
library(tidyverse)
library(expss)

#Importando os dados
base = read_table2("Maquinas.txt")

#Visualizando os dados
base

# A tibble: 45 × 3
   Maquina  Peso Defeito
   <chr>   <dbl>   <dbl>
 1 A       107.        0
 2 B       144.        0
 3 A        97.8       1
 4 B       137.        0
 5 A       101.        0
 6 A        94.5       0
 7 B       134.        1
 8 A        99.9       0
 9 A        94.4       0
10 B       141.        1
# … with 35 more rows

#Tratando as variáveis
base$Maquina = factor(base$Maquina)
base$Defeito_cat = factor(base$Defeito, labels = c("Não","Sim"))

#Tabela de contingência frequência absoluta
base |> 
   calc_cro_cases(Defeito_cat,Maquina)

#Tabela de contingência percentual por coluna
base |> 
  calc_cro_cpct(Defeito_cat,Maquina)

#Criando um gráfico apropriado
base |> 
  ggplot(aes(x = Maquina, fill = Defeito_cat)) + 
  geom_bar(position = "fill") +
  labs(x = "Máquina", y = "Porcentagem",fill = "Defeituoso")  + 
   scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
   theme_minimal()

Se analisamos as tabelas e os gráficos produzidos, percebemos que as proporções de itens defeituosos nas duas máquinas parecem semelhantes, mas para fazermos tal afirmação precisamos realizar um teste de hipóteses.

Considere a proporção de itens defeituoso na máquina A (\(p_A\)) e a proporção de itens defeituoso na máquina B (\(p_B\)). Podemos especificar as seguintes hipóteses

Hipótese: \[H_0: p_A = p_B \qquad \times \qquad H_1: p_A \neq p_B,\] ou equivalentemente, \[H_0: p_A - p_B = 0 \qquad \times \qquad H_1: p_A - p_B \neq 0.\]

Para executarmos o teste acima, usaremos a função prop.test do pacote stats.

A seguir, vamos apresentar os principais argumentos da função prop.test:

  - x - o vetor com o número de sucessos observados na amostra de cada população;

  - n - o vetor com o tamanho da amostra retirado de cada população;

  - alternative - argumento que define se o teste é bilateral ou unilateral a esquerda e a direita (default = bilateral - two.sided),

  - correct - argumento que define se será aplicada a correção de continuidade na estatística de teste (default = TRUE).

#Obtendo as quantidades necessárias para alimentar a função prop.test
resultados = base |> 
   group_by(Maquina) |> 
   summarise(N = n(), 
             favoraveis = sum(Defeito),
             proporcao = favoraveis/N)

#Visualizando o objeto criado
resultados

# A tibble: 2 × 4
  Maquina     N favoraveis proporcao
  <fct>   <int>      <dbl>     <dbl>
1 A          25          7      0.28
2 B          20          6      0.3 

#Realizando o teste de igualdade de proporções
prop.test(x = c(resultados$favoraveis[1], resultados$favoraveis[2]),
          n = c(resultados$N[1],resultados$N[2]),
          alternative = "two.sided", 
          conf.level = 0.95, 
          correct = FALSE)

    2-sample test for equality of proportions without continuity
    correction

data:  c(resultados$favoraveis[1], resultados$favoraveis[2]) out of c(resultados$N[1], resultados$N[2])
X-squared = 0.021635, df = 1, p-value = 0.8831
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 -0.2870446  0.2470446
sample estimates:
prop 1 prop 2 
  0.28   0.30 

A saída do teste contém várias informações: o valor da estatística do teste \(X\)-squared, o número de graus de liberdade da estatística de teste \(df\) e o p-valor associado as hipóteses especificadas. Ele deixa explícito qual a hipótese alternativa “two.sided” que significa “as duas proporções são diferentes”. Fornece também um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções e o valor da estimativa pontual da porporção em cada população.

Com base em um nível de significância de 5%, confirmamos aquele sentimento que adquirimos ao realizarmos a análise exploratória, pois p-valor = 0,8831 > 0,05 = \(\alpha\), logo não rejeitamos \(H_0\), indicando que as proporções de itens defeituosos produzidos pelas duas máquinas são iguais.

Atividade 1: Verifique se a proporção de pacotes com mais de 100g produzidos por ambas as máquinas são iguais. Use um nível de significância de 5%.