Secuencia de Fibonacci

Resultado de secuencia de reproducción con reglas

Con el ejercicio de los roedores descubrimos que podemos usar una función recursiva para obtener los elementos de la secuencia de la reproducción de los roedores. La función básica utilizada es: \[F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \tag{1}\]

Aplicación de la función recursiva

Los procedimientos siguientes se tomaron de una página web (Sánchez-Fuentes, 2019). Permiten calcular los \(m\) términos de la secuencia y el \(n\) término en la secuencia, utlizando la función recursiva (1).

Creación de la función secu

Mediante esta función podemos obtener un término \(n\) de la secuencia.

secu <- function(n) {
  if (n == 1) {
    return(0)
  }
  else if(n == 2) {
    return(1)
  }
  else if(n > 2) {
    return(secu(n - 1) + secu(n - 2))
  }
}
# n término de la secuencia
secu(10)

## [1] 34

Cálculo de los m términos de la secuencia

# Función para generar la serie con m términos
s_fib <- function(m) {
    serie <- vector("numeric", length = m)
    for (i in 1:m) {
        serie[i] <- secu(i)
    }
    return(serie)
}

# Se aplica la función s_fib para generar 30 elementos de la serie #

s_fib(30)

##  [1]      0      1      1      2      3      5      8     13     21     34
## [11]     55     89    144    233    377    610    987   1597   2584   4181
## [21]   6765  10946  17711  28657  46368  75025 121393 196418 317811 514229

Razón entre valores consecutivos de la secuencia

Vamos a calcular la razón entre un término de la secuencia \(F_n\) y el término anterior, \(F_{n-1}\)

# secuencia de 21 términos
sec_raz <- s_fib(21)
razon <- sec_raz[3:21]/sec_raz[2:20]
esc_x <- c(3:21)

# gráfica de la razon Fn/Fn-1
plot( razon ~ esc_x, xlab="", ylab="Fn / Fn-1")
lines( razon ~ esc_x)

Cálculo directo de la razón \(F_n/F_{n-1}\)

# Función para obtener la razón #

r_oro <- function(n) {
  if (n <= 4) {
      return('Utiliza un número mayor a 4')
  }
    else (return(secu(n)/secu(n-1)))
}

# hay que utilizar un número mayor que 4
r_oro(21)

## [1] 1.618034

# gráfica con la línea que indica la razón áurea
plot( razon ~ esc_x, xlab="", ylab="Fn / Fn-1")
lines( razon ~ esc_x)
abline(a=r_oro(21), b=0, col="gold")

Definición matemática de la razón \(F_n/F_{n-1}\) en la secuencia de Fibonacci

A esta razón la han denominado la razón áurea o golden ratio. Matemáticamente se define como el límite de la razón \(F_n/F_{n-1}\): \[\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\]

Ejemplos en la Naturaleza de la secuencia de Fibonacci

Crecimiento en espiral de gastrópodos y otros sistemas de crecimiento en espiral

Pétalos en flores e inflorescencias

Mitos sobre la razón áurea

La razón áurea se ha utilizado para crear numerosos mitos sobre su presencia en cuadros, construcciones, anatomía, et c.; pero aparentemente su presencia en la naturaleza obedece a que representa un modelo óptimo de desarrollo y crecimiento en algunos organismos.

Referencias

Sánchez-Fuentes, Mauricio. 2019. Secuencia de Fibonacci [WWW Document], n.d. URL https://www.rpubs.com/MauricioSF/558913 (accessed 8.16.21).

Fibonacci Numbers [WWW Document], n.d. URL https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/272925_87f5ae7a908b479eb198db0a6d609f7a.html (accessed 8.16.21).