GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

Vamos discutir o problema de se comparar duas variâncias de populações normais. O intuito de fazermos esta comparação, reflete diretamente na estatística de teste que será usada no teste de comparação de médias.

O dono de uma fábrica, possui duas máquinas empacotando um determinado produto \(K\). O dono da fábrica coletou a informação do peso de 25 pacotes produzidos pela máquina A e 20 pacotes produzidos pela máquina B. O produtor quer saber se as máquinas estão produzindo da mesma forma, ou seja, se as médias dos pesos dos pacotes produzidos pelas máquinas são iguais. Só que para respondermos esta pergunta, precismos inicialmente compararmos a se a variância do peso dos pacotes produzidos pelas máquinas são diferentes.

Suponha que queremos verificar se as variâncias dos pesos dos pacotes nas duas populações (máquina A e máquina B) são diferentes Deste modo, estamos interessado em verificar

\[H_0: \frac{\sigma^2_A}{\sigma^2_B} = 1 \qquad \times \qquad H_1: \frac{\sigma^2_A}{\sigma^2_B} \neq 1.\]

O teste acima possui um pré-requisito. O teste assume que as variâncias que serão comparadas são parâmetros de variáveis aleatórias com distribuição normal independentes. A independência é fácil de ser assumida, uma vez que as máquinas produzem pacotes de café separadamente. Com relação a normalidade, devemos verificar se a variável peso do pacote produzido pela Máquina A possui distribuição normal e também devemos verificar se a variável peso do pacote produzido pela máquina B possui distribuição normal.

#Carregando pacote
library(tidyverse)

#Importando os dados
base = read_table2("Maquinas.txt")

#Carregando pacote
library(ggpubr)

#Criando um tibble somente com as informações da máquina A
pesoA = base %>% 
   filter(Maquina == "A")

#Criando um tibble somente com as informações da máquina B
pesoB = base %>% 
   filter(Maquina == "B")

#Criando um qq-plot com o ggpubr para a população 1
qq1 = ggqqplot(pesoA$Peso)

#Criando um qq-plot com o ggpubr para a população 2
qq2 = ggqqplot(pesoB$Peso)

#Carregando pacote
library(gridExtra)

#Plotando os qqplots
grid.arrange(qq1, qq2, ncol = 2)

#Teste de normalidade para a população 1
shapiro.test(x = pesoA$Peso)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  pesoA$Peso
W = 0.97366, p-value = 0.7383

#Teste de normalidade para a população 2
shapiro.test(x = pesoB$Peso)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  pesoB$Peso
W = 0.95447, p-value = 0.4401

Para verificar, inicialmente plotamos um qq-plot do peso do pacote em cada máquina, com suas respectivas bandas de confiança. Se analisarmos os dois gráficos, eles parecem indicar que a suposição de normalidade da variável peso do pacote em ambas as populações é razoável. Para confirmar esta hipótese, realizamos o teste de Shapiro-Wilk em cada população e com base em um nível de significância (\(\alpha\)) de 5%, como o p-valor = 0.7383 (Máquina A) e o p-valor = 0.4401 (Máquina B) é maior do que \(\alpha\), não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não existe evidências para desconfiarmos que a amostra não seja proveniente de uma distribuição normal.

Deste modo, podemos partir para o testar a afirmação sobre igualdade das variâncias.

Para executarmos o teste de comparação de variâncias, usaremos a função VarTest do pacote DescTools.

A seguir, vamos apresentar os principais argumentos da função VarTest:

  - x - o vetor com a amostra da população 1;

  - y - o vetor com a amostra da população 1;

  - sigma.squared - o valor do parâmetro que definem as hipóteses (default = 1);

  - alternative - argumento que define se o teste é bilateral ou unilateral a esquerda e a direita (default = bilateral - two.sided).

#Carregando o pacote
library(DescTools)

#Avaliando as variâncias nas duas populações
var(pesoA$Peso)

[1] 9.647933

var(pesoB$Peso)

[1] 12.74568

#Realizando o teste de comparação das variâncias
VarTest(x = pesoA$Peso, 
        y = pesoB$Peso, 
        alternative = "two.sided", 
        ratio = 1, 
        conf.level = 0.95)

    F test to compare two variances

data:  x and y
F = 0.75696, num df = 24, denom df = 19, p-value = 0.5137
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.3086696 1.7751803
sample estimates:
ratio of variances 
         0.7569569 

A saída do teste contém várias informações: o valor da estatística do teste F, o número de graus de liberdade do numerador e do denominador da estatística de teste num df e denom df e o p-valor associado as hipóteses especificadas. Ele deixa explícito qual a hipótese alternativa “true ratio of variances is not equal to 1” que significa “a razão das variâncias é diferente de 1” o que equivale a dizer que as variâncias são diferentes. Fornece também uma estimativa pontual e intervalar para a razão das variâncias.

Note que, a estimativa da razão das variâncias parece inferior a 1 (0,75), indicando que os pesos dos pacotes produzidos pela Máquina B possuem uma variância maior do que aquelas produzidos pela máquina A. Porém, com base em um nível de significância de 5%, não rejeitamos \(H_0\) (p-valor = 0.5137 > 0,05 = \(\alpha\)), ou seja, não encontramos evidências nos dados para acreditar que a variância dos pesos dos pacotes das duas máquinas são diferentes.