Experimento multinomial

• Número fijo \(n\) de repeticiones.

• El resultado de cada ensayo se puede clasificar en una de las \(k\) categorías.

• La probabilidad \(\pi_i\) de que el resultado caerá en la categoría \(i\) permanece constante para cada prueba. Además, \(\pi_1+\pi_2+\ldots+\pi_k = 1\).

• Cada ensayo del experimento es independiente de los otros ensayos.

Sistema de hipótesis

\[ H_0:\pi_1 = \pi_1^0,\ldots,\pi_k = \pi_k^0 \]

frente a

\[ H_1:\text{al menos un $\pi_i$ no es igual al valor especificado} \]

Estadístico de prueba y distribución probabilística de referencia

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\frac{(f_i-e_i)^2}{e_i}\sim\chi^2_{k-1} \]

donde las \(f_i\) y las \(e_i = n\pi_i^0\) son las frecuencias (absolutas) observadas y esperadas, respectivamente.

Sistema de hipótesis

• \(H_0:\) Las variables son independientes.

frente a

• \(H_1:\) Las variables son dependientes.

Estadístico de prueba y distribución probabilística de referencia

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{f}\sum_{j=1}^{c}\frac{(f_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\sim\chi^2_{(f-1)(c-1)} \] donde las \(f_{ij}\) y las \(e_{ij} = n_{i\cdot}\,n_{\cdot j}/n\) son las frecuencias (absolutas) observadas y esperadas, respectivamente.