Solución ejercicios de probabilidad

Ejercicio 1

Si lanzas una moneda justa (no cargada) 7 veces al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 sellos?

Solución

• Cuántos grupos o combinaciones posibles existen de tamaño 2 de un conjunto de tamaño 7.

numerador <- choose(n = 7, k = 2)
numerador

## [1] 21

• Calculamos el total de resultados posibles al lanzar la moneda 7 veces:

denominador <- 2 ^ 7
denominador

## [1] 128

• Calculamos la probabilidad:

numerador / denominador

## [1] 0.1640625

Ejercicio 2

En un salón de clase con 7 estudiantes hay 5 niños y 2 niñas. Si el maestro escoge al azar un grupo de 4 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad que el grupo tenga solo 2 niños?

Solución

• Total de grupos o combinaciones de tamaño 4 de un conjunto de 7:

denominador <- choose(n = 7, k = 4)
denominador

## [1] 35

• Total de grupos en donde podrían estar 2 niños:

numerador <- choose(n = 5, k = 4)
numerador

## [1] 5

• Calculamos la probabilidad:

numerador / denominador

## [1] 0.1428571

Ejercicio 3

En una granja que se dedica a la producción bovina de exposición (toros) hay 6 toros de la raza A y 9 toros de la raza B. Para un evento de exposición se deben escoger de forma aleatoria 5 toros, ¿cuál es la probabilidad que el grupo de toros seleccionado esté conformado por 3 toros de la raza A y 2 toros de la raza B?

Solución

• Calculamos el total de subconjuntos de tamaño 5 a partir de un conjunto de tamaño 15:

denominador <- choose(n = 15, k = 5)
denominador

## [1] 3003

• Calculamos el total de subconjuntos de tamaño 3 a partir de un conjunto de tamaño 6 (raza A):

toros_a <- choose(n = 6, k = 3)
toros_a

## [1] 20

• Calculamos el total de subconjuntos de tamaño 2 a partir de un conjunto de tamaño 9 (raza B):

toros_b <- choose(n = 9, k = 2)
toros_b

## [1] 36

• Calculamos la probabilidad:

(toros_a * toros_b) / denominador

## [1] 0.2397602

Ejercicio 4

Se realizó una encuesta sobre medios de transporte y se encontró que el 70% de los encuestados usan transporte público, el 40% usa transporte particular y el 30% usa ambos tipos de transporte.

• Dibujar el diagrama de Venn que represente el resultado de la encuesta.

Diagrama de Venn

• Podemos definir dos conjuntos:
  • Conjunto A: transporte público
  • Conjunto B: transporte particular

Solución probabilidad

Si se escoge al azar un encuestado, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona use algún tipo de transporte?

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ = 0.7 + 0.4 - 0.3 \\ = 0.8\]

Ejercicio 5

De la producción de plántulas con determinadas especificaciones, surge que el 5% de ellas no posee el largo requerido, el 7% no tiene el diámetro requerido y el 2% presenta ambas inconsistencias. Si se elige una plántula al azar resolver:

Diagrama de Venn

• Evento A: plántulas que no poseen el largo requerido
• Evento B: plántulas que no poseen el diámetro requerido

Solución probabilidad 1

La probabilidad de tener al menos uno de los dos defectos.

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ = 0.05 + 0.07 - 0.02 \\ = 0.10\]

Solución probabilidad 2

La probabilidad de tener sólo el defecto del largo

\[P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) \\ = 0.05 - 0.02 \\ = 0.03\]

Solución probabilidad 3

La probabilidad de tener sólo uno de los dos defectos.

\[P(B-A) = P(B) - P(A \cap B) \\ = 0.07 - 0.02 \\ = 0.05\]

Para calcular la probabilidad de tener sólo uno de los dos defectos debemos sumar las probabilidades de las diferencias:

\[P(A-B) + P(B-A) = 0.03 + 0.05 = 0.08\]

Solución probabilidad 4

La probabilidad de no tener defectos.

\[P(A \cup B)^c = 1 - P(A \cup B) \\ = 1 - 0.10 \\ = 0.90\]

Ejercicio 6

La siguiente imagen muestra los resultados de 940 obleas de un proceso de fabricación de semiconductores. Se elige al azar una oblea de la tabla, sea A el evento en que la oblea tiene altos niveles de contaminación y el evento B en el que la oblea está en el centro de instrumentación, calcular las siguientes probabilidades:

Diagrama de Venn

\(P(A)\)

(112 + 246) / 940

## [1] 0.3808511

\(P(B)\)

(246 + 68) / 940

## [1] 0.3340426

\(P(A \cap B)\)

246 / 940

## [1] 0.2617021

\(P(A \cup B)\)

(112 + 246 + 68) / 940

## [1] 0.4531915

\(P(A-B)\)

112 / 940

## [1] 0.1191489