Rendimiento
Curso de teoría de riesgo
Luis Alejandro Ferro Alfonso
En finanzas, las dos variables más importantes para la toma de decisiones de inversión son el rendimiento y el riesgo. En cuanto una inversión se considera más riesgosa, será necesario que tenga mayor rendimiento.
Existen inversiones que se consideran libres de riesgo, es decir, siempre se tendrá un rendimiento, pero están generan un menor rendimiento que aquellas que tienen algún riesgo.
Rendimiento esperado
El rendimiento esperado de un inversionista puede considerarse formado por dos partes: un rendimiento libre y una prima por riesgo, que puede expresarse de la siguiente forma:
\[E(r)=r_f+R(r_s)\]
donde, \(E(r)\) es el rendimiento esperado por el inversionista, \(r_f\) es el rendimento libre de riesgo y \(E(r_s)\) es el premio esperado por el riesgo.
Rendimiento
El rendimiento de de un activo financiero se define como el cambio de valor que se tiene en un periodo con respecto a otro, generalmente el periodo anterior.
\[r_i=\frac{\text{Valor final}-\text{Valor inicial}}{\text{Valor inicial}}\]
o de otra forma, el rendimiento de un activo financiero \(i\) se puede definir como:
\[r_i=\frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}\]
donde, \(P_t\) es el precio del activo en el tiempo \(t\).
Ahora bien, si se considera que el activo financiero es una acción que paga un dividiendo \(D_t\) es el periodo \(t\), el rendimiento puede definirse como:
\[r_i=\frac{P_t-P_{t-1}+D_t}{P_{t-1}}\]
Ejemplo
Para este ejercicio necesitaremos el paquete tidyquant para traer la serie de precios de la acción de Apple entre los años 2018 y 2019.
El paquete que nos ayudará con esa tarea es “TTR”. Este paquete contiene 42 estudios técnicos, cada uno con sus correspondientes parámetros y componentes para el análisis. Lo interesante de este paquete es que cada función colocará “NA” cuando el indicador aún no pueda ser calculado, de esta manera solo es necesario unir columnas, no se necesita realizar ningún ajuste de fechas para crear el dataset.
library(tidyquant)
library(TTR)
library(ggplot2)
AAPL <- tq_get("AAPL", get="stock.prices", from= "2018-01-01", to= "2018-12-313")
AAPL <- data.frame(AAPL)
a<-mean(AAPL$close)
sma20 <- SMA(AAPL[c('close')], n=10)
fecha20<- as.Date(AAPL$date)
precio<-AAPL$close
data<-data.frame(fecha20,precio,sma20)
ggplot(data = data,
aes(fecha20,y = precio)) +
geom_line(color='darkblue')+
ggtitle('Precio de una acción') +
xlab('Fecha') +
ylab('Precio cierre') 
ahora calculemos el rendimiento del precio de cierre de dicha acción
fecha<-fecha20
n<-length(precio)
rendimiento<-c()
for (i in 1:n) {
rendimiento[i]<-(precio[i+1]-precio[i])/(precio[i])
}
dataprecio<-data.frame(fecha,rendimiento)
ggplot(data = dataprecio,
aes(fecha,y = rendimiento)) +
geom_line(color='darkblue')+
ggtitle('Rendimiento de una acción') +
xlab('Fecha') +
ylab('Rendimiento del precio de cierre') 
Notesé que con el rendimiento nos ayuda a visulizar de como se puede llegar a realizar una inversión, lo cual ofrece una mayor seguridad en el momento de hacer una inversión.
Log-Rendimiento
El longo-rendimiento se define como
\[r_i=\ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\]
Ventajas:
Si interpretación es equivalente al rendimiento compuesto continuamente.
Las series de los rendimientos son estacionarias, es decir, su media y su varianza son constantes a los largo del tiempo.
Ejemplo
Retomemos el ejemplo anterior de las acciones de Apple entre los años 2018 y 2019.
ggplot(data = data,
aes(fecha20,y = precio)) +
geom_line(color='darkblue')+
ggtitle('Precio de una acción') +
xlab('Fecha') +
ylab('Precio cierre')
Vamos a calcular el Log-Rendimiento de la acción, para ello realizaremos algo similar que hicimos con el rendimiento
fecha1<-fecha20
n<-length(precio)
logrendimiento<-c()
for (i in 1:n) {
logrendimiento[i]<-log(precio[i]/precio[i-1])
}
dataprecio<-data.frame(fecha1,logrendimiento)
ggplot(data = dataprecio,
aes(fecha1,y = logrendimiento)) +
geom_line(color='darkred')+
ggtitle('Log-Rendimiento de una acción') +
xlab('Fecha') +
ylab('Log-Rendimiento del precio de cierre') 
Hagamos un paraleloen los cálculos realizados por el rendimiento y el longorendimiento y diga unas conclusiones que pueden sacar de ellas
ggplot(data = dataprecio,
aes(fecha,y = rendimiento)) +
geom_line(color='darkblue')+
geom_line(data = dataprecio,
aes(fecha1,y = logrendimiento), color='red')+
ggtitle('Rendimiento de una acción') +
xlab('Fecha') +
ylab('Rendimiento-Log-Rendimiento') 
Media de los rendimiento
Una media formada por la división de la suma de sucesivos rendimientos porcentuales anuales de una inversión por el número de años de ésta. Esta forma de calcular un rendimiento anual medio puede resultar muy engañosa, en particular cuando los rendimientos anuales son volátiles. Por ejemplo, si los rendimientos anuales sobre una inversión para los cuatro años últimos fueron +20%, -20%, +16% y +40%, la media aritmética de rendimiento anual sería 14%. Una medida más fiable es la media geométrica de rendimiento anual.
Para ello definimos la media de los rendimientos se puede estimar a partir de los datos históricos
\[\mu=\frac{\sum_{i=1}^{n}r_i}{n}\]
Ejemplo
Sigamos con nuestras acciones de Apple, para el rendimento y el log-rendimiento calculemos la media de cada uno de ellos
#Media rendimiento
nrend<-length(rendimiento)
medrend<-sum(na.omit(rendimiento))/nrend
medrend## [1] -0.0002273158#Media log-rendimiento
nlogrend<-length(logrendimiento)
medlogrend<-sum(na.omit(logrendimiento))/nlogrend
medlogrend## [1] -0.0003907027Tengamos en cuenta que el valor de la media nos determina un valor a final de la observación, pero si yo deseo que pasa día a día que ocurre con la media, debemos usar herramientas de series de tiempo.
Series de Tiempo
Por serie de tiempo nos referimos a datos estadísticos que se recopilan, observan o registran en intervalos de tiempo regulares (diario, semanal, semestral, anual, entre otros).
El término serie de tiempo se aplica por ejemplo a datos registrados en forma periódica que muestran, por ejemplo, las ventas anuales totales de almacenes, el valor trimestral total de contratos de construcción otorgados, el valor trimestral del PIB.
- Componentes de la serie de tiempo Supondremos que en una serie existen cuatro tipos básicos de variación, los cuales sobrepuestos o actuando en concierto, contribuyen a los cambios observados en un período de tiempo y dan a la serie su aspecto errático. Estas cuatro componentes son: Tendencia secular, variación estacional, variación cíclica y variación irregular.
Supondremos, además, que existe una relación multiplicativa entre estas cuatro componentes; es decir, cualquier valor de una serie es el producto de factores que se pueden atribuir a las cuatro componentes.
- Tendencia secular: La tendencia secular o tendencia a largo plazo de una serie es por lo común el resultado de factores a largo plazo. En términos intuitivos, la tendencia de una serie de tiempo caracteriza el patrón gradual y consistente de las variaciones de la propia serie, que se consideran consecuencias de fuerzas persistentes que afectan el crecimiento o la reducción de la misma, tales como: cambios en la población, en las características demográficas de la misma, cambios en los ingresos, en la salud, en el nivel de educación y tecnología. Las tendencias a largo plazo se ajustan a diversos esquemas. Algunas se mueven continuamente hacía arriba, otras declinan, y otras más permanecen igual en un cierto período o intervalo de tiempo.
- Variación estacional: El componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Esta variación corresponde a los movimientos de la serie que recurren año tras año en los mismos meses (o en los mismos trimestres) del año poco más o menos con la misma intensidad. Por ejemplo: Un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoño e invierno y tiene ventas máximas en los de primavera y verano, mientras que los fabricantes de equipo para la nieve y ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas.
- Variación cíclica: Con frecuencia las series de tiempo presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia que duran más de un año, esta variación se mantiene después de que se han eliminado las variaciones o tendencias estacional e irregular. Un ejemplo de este tipo de variación son los ciclos comerciales cuyos períodos recurrentes dependen de la prosperidad, recesión, depresión y recuperación, las cuales no dependen de factores como el clima o las costumbres sociales.
- Variación Irregular: Esta se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afectan a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible, es decir, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo. Existen dos tipos de variación irregular:
Las variaciones que son provocadas por acontecimientos especiales, fácilmente identificables, como las elecciones, inundaciones, huelgas, terremotos.
Variaciones aleatorias o por casualidad, cuyas causas no se pueden señalar en forma exacta, pero que tienden a equilibrarse a la larga.
PRIMER PASO AL ANALIZAR CUALQUIER SERIE DE TIEMPO
El primer paso en el análisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. Esto nos permite detectar las componentes esenciales de la serie.
El gráfico de la serie permitirá:
- Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición.
Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.
Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la siguiente situación:
Los dos puntos enmarcados en un círculo parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.
- Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo
Actividad
- Calcular el rendimiento y el log-rendimiento de las siguientes acciones:
- ECOPETROL
- GRUBOLIVAR
- BCOLOMBIA
- ISA
- ETB
todas en el los últimos 3 años a la fecha.
para ello buscar en la página de la BVC.
https://www.bvc.com.co/pps/tibco/portalbvc/Home/Mercados/enlinea/acciones
Realizar a cada una de las acciones anteriores un análisis a las series de tiempo que genera al precio de cierre de cada acción y al rendimiento.
Realizar el mismo proceso de los dos primeros puntos a la Tasa Representativa del Mercado (TRM - Peso por dólar) con las mismas fechas tomadas en el punto 1.