GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

Considere uma amostra aleatória simples \(X_1, \ldots, X_n\) obtida de uma população normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2 = 25\) conhecida.

Suponha que desejamos testar as seguintes hipóteses sobre \(\mu\), \[H_0: \mu = 500 \qquad \times \qquad H_1: \mu > 500.\]

O teste acima possui uma região crítica definida por\[ RC = \{\bar{x}: \bar{x} > k\}.\]

Se desejamos calcular o Erro tipo II (chamado de \(\beta\)) associado ao teste acima, devemos calcular

\[ \def\Xbar{\overline{X}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{align} \beta &= P(\mbox{Erro Tipo II}) \\ &= P(\mbox{Não Rejeitar } H_0 \mbox{ | } H_0 \mbox{ é falsa}) \\ &= P(\Xbar < k \mbox{ | } H_0 \mbox{ é falsa}) \end{align} \]

Para resolver a probabilidade acima é necessário conhecer \(k\), mas este só será conhecido se fixarmos um valor para \(\alpha\) = P(Erro Tipo I), por exemplo, vamos definí-lo como 0,05:

\[ \def\Xbar{\overline{X}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{align} \alpha &= P(\mbox{Erro Tipo I}) \\ &= P(\mbox{Rejeitar } H_0 \mbox{ | } H_0 \mbox{ é verdadeira}) \\ &= P(\Xbar \in \mbox{ RC | } H_0 \mbox{ é verdadeira}) \\ &= P\left(\Xbar > k \mbox{ | } \Xbar \sim N \left(500,\frac{25}{24} \right)\right) = 0,05 \end{align} \]

Deste modo é possível definir o valor de \(k\), basta encontrarmos o quantil da distribuição de \(\bar{X}\) que deixa uma área acima dele de \(0,05\).

Definido o valor de \(k\), podemos calcular \(\beta\)?

Note que só é possível calcularmos \(\beta\) se conhecermos a distribuição de probabilidade de \(\bar{X}\). A mesma só será conhecida se definirmos um valor para \(\mu\), então \(\beta\) é uma função de \(\mu\), logo, podemos escrever

\[ \def\Xbar{\overline{X}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{align} \beta(\mu) &= P(\mbox{Erro Tipo II}) \\ &= P(\mbox{Não Rejeitar } H_0 \mbox{ | } H_0 \mbox{ é falso}) \\ &= P(\mbox{Não Rejeitar } H_0 \mbox{ | } \mu) \\ &= P(\Xbar \not\in \mbox{ RC | } \mu) \\ &= P\left(\Xbar < k \mbox{ | } \Xbar \sim N \left(\mu,\frac{25}{24} \right)\right) \end{align} \] Com base nas equações desenvolvidas acima, podemos criar uma função que receberá como argumentos: tamanho da amostra, nível de significância, valor da média a ser testado, valor da variância populacional e \(\mu\) - o valor da média na qual será calculado o valor do erro tipo II.

#Criando uma função que calcula o erro tipo II para um teste de hipóteses
#unilateral a direita da média de uma população normal com variância conhecida
erroII.media = function(n,alfa,mu,mu0,sigma2){
  k = qnorm(1-alfa,mu0,sqrt(sigma2/n))
  beta = pnorm(k, mu, sqrt(sigma2/n))
  return(beta)
}

Suponha que foi observada uma amostra de 24 valores, qual será o erro tipo II do teste se \(\mu =\) 504?

#Calculando o erro tipo II para mu = 504
erroII.media(n = 24,
             alfa = 0.05, 
             mu = 504, 
             mu0 = 500,
             sigma2 = 25)

[1] 0.01147308

Notamos que a probabilidade de afirmarmos que a média é 500 quando na verdade ela é 504 é de aproximadamente 1,14%.

Como podemos obter esta probabilidade para diversos valores de \(\mu\), vamos plotar a função criada para valores de \(\mu\) de 495 a 510?

#Carregando pacote
library(tidyverse)

#Plotando a função do erro tipo II
ggplot(data = tibble(val = c(495,510)), aes(x = val)) +
  stat_function(fun = erroII.media,
                args = list(n = 24,
                            alfa = 0.05,
                            mu0 = 500,
                            sigma2 = 25)) +
  xlab(expression(mu)) +
  ylab(expression(beta(mu)))

Percebemos que quanto maior for o valor de \(\mu\), menor é a probabilidade do teste dizer que a média é 500. Mais do que isso, percebemos que esta probabilidade cai rapidamente para zero, um comportamento desejado das funções de erro tipo II.

#Plotando a função do erro tipo II
ggplot(data = tibble(val = c(495,510)), aes(x = val)) +
  stat_function(aes(colour = "24"),
                fun = erroII.media,
                args = list(n = 24,
                            alfa = 0.05,
                            mu0 = 500,
                            sigma2 = 25)) +
  stat_function(aes(colour = "50"),
                fun = erroII.media,
                args = list(n = 50,
                            alfa = 0.05,
                            mu0 = 500,
                            sigma2 = 25)) +
  xlab(expression(mu)) +
  ylab(expression(beta(mu))) +
  scale_colour_manual("n", values = c("Black", "Red"))