IMPORTANTE:

Esta no es ninguna publicación formal, solo son apuntes y problemas que desarrollo en clases. No se esta tomando como propia la fuente de los problemas ni tampoco se confirma que el desarrollo de los problemas esten completamente correctos.

Tambien comenta si hay algo que consideres que no concuerda, estare muy agredecido.

Asesoría 1 (Problemas con distribuciones continuas)

Problema 1

Suponga que la variable Y se distribuye como una normal como parámetros \(\mu =20\) y \(\sigma ^{2}=10^{2}\), la variable X se distribuye con una chicuadrado con parámetro m=10, la variable W se distribuye como una t de Student con parámetros m=5, y la varible V como una F con parámetros m=5 y n=10.

  1. Para cada una de las variables (Y,X,W y V) halle la probabilidad de que las variables sean menores a 13.5.

\[Y \sim norm(\mu =20,\sigma ^{2}=10^{2})\]

\[X \sim chi(m=10)\]

\[W \sim t(m=5)\]

\[V \sim F(m=5, n=10)\]

\[P(Y<13.5)= 0.2578461\]

\[P(Y > 13.5)=1-P(Y\leq13.5)= 0.7421539\]

\[P(\chi_{(10)}^{2}<13.5)=0.8029566\]

\[P(t_{(5)}<13.5)=0.99998\]

\[P(F_{5.10}<13.5)=0.9996462\]

#Para hallar la probabilidad normal
#P(Y<13.5)

pnorm(13.5,mean=20,sd=10)
## [1] 0.2578461
# P(Y mayor que 13.5) 
1-pnorm(13.5,mean=20,sd=10) #Con el complemento
## [1] 0.7421539
pnorm(13.5,mean=20,sd=10,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.7421539
#Para hallar la probabilidad de chi
pchisq(13.5,df=10)
## [1] 0.8029566
#Para hallar la probabilidad de t de student
pt(13.5,df=5)
## [1] 0.99998
#Para hallar la probabilidad de Fisher
pf(13.5,df1=5,df2=10)
## [1] 0.9996462
  1. Para cada una de las variables halle el percentil 72.
# P(Y< K)=0.72
qnorm(0.72,mean=20,sd=10)
## [1] 25.82842
qchisq(0.72,df=10)
## [1] 12.07604
qt(0.72,df=5)
## [1] 0.6239826
qf(0.72,df1=5,df2=10)
## [1] 1.476872
pnorm(26.7449,mean=20,sd=10)
## [1] 0.7500001
  1. Para cada una de las variables simule 100 observaciones con los mismos parámetros del enunciado. Para cada simulación utilice set.seed (500)
set.seed(100)
x=rnorm(n=100,mean=20,sd=10)

#Para graficar solo funciona con "x"
curve(dnorm(x,mean=20,sd=10),from=-20,to=60,
      main="Distribución Normal",
      ylab="Densidad",
      lwd=2,
      col="red")

set.seed(100)
x=rchisq(n=100,df=10)

#Gráfico de Chi
curve(dchisq(x,df=10),from=0,to=60,
      main="Distribución de Chi Cuadrado (df=10)",
      ylab="Densidad",
      lwd=2,
      col="red")

set.seed(100)
x=rt(n=100,df=5)

#Gráfico T Student
curve(dt(x,df=5),from=-5,to=5,
      main="Distribución T Student (df=5)",
      ylab="Densidad",
      lwd=2,
      col="red")

set.seed(100)
x=rf(n=100,df1=5,df2=10)

#Gráfico F Student
curve(df(x, df1=5,df2=10),from=0,to=5,
      main="Distribución F",
      ylab="Densidad",
      lwd=2,
      col="red")

Problema 2

  1. En dos grupos de segundo año de carrera de una facultad se ha medido el cociente de inteligencia de los alumnos. En el grupo A la media fue 100 y la desviación estándar de 10, y en el grupo B fueron 105 y 12 respectivamente. Ambos grupos tienen igual número de alumnos, y escogido un alumno al azar se comprueba que su coeficiente de inteligencia es superior a 120. Suponiendo normalidad, ¿Cuál es la probabilidad de que el citado alumno provenga del grupo B?
### DATOS ###

#1. Grupo A:
## media = 100
## desviación estandar = 10

#2. Grupo B:
## media = 105
## desviación estandar = 12

#3. cantidad de alumnos:
## Grupo A = Grupo B

#4. 
## Se escoge un alumno al azar el cual tiene un coef mayor a 120. (Condición)
## Se asume normalidad.

### PREGUNTA ###

# ¿Cuál es la probabilidad de que el citado alumno provenga del grupo B? 
# P(B | Es_mayor_120)

### DESARROLLO ###

# P(Es_mayor_120) en A
p_a = pnorm(120, mean=100,sd=10, lower.tail = F)
p_a
## [1] 0.02275013
# P(Es_mayor_120) en B
p_b = pnorm(120, mean=105,sd=12, lower.tail = F)
p_b
## [1] 0.1056498
#P(A)
pa = 0.5

#P(B)
pb = 0.5

a = p_a*pa # P(Es_mayor_120 | A)*P(A)
a
## [1] 0.01137507
b = (1-p_a)*pa # P(No_Es_mayor_120 | A)*P(A)
b
## [1] 0.4886249
c = p_b*pb # P(Es_mayor_120 | B)*P(B)
c
## [1] 0.05282489
d = (1-p_b)*pb # P(No_Es_mayor_120 | B)*P(B)
d
## [1] 0.4471751
#Corroborando la probabilidad total
a+b+c+d
## [1] 1
#Finalmente
# Hallando lo solicitado 
# P(B | Es_mayor_120) = P(B)*P(Es_mayor_120)|P(Es_mayor_120) 

rpta = (c)/(a+c)
rpta
## [1] 0.8228182

Problema 3

Los registros de pérdidas de peso por evaporación de cierto producto empacado muestran una pérdida media de 6.45 gramos con una desviación estándar de 1.3. Asumiendo una distribución normal.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que si se extraen dos paquetes al azar de un lote ambos paquetes muestren una pérdida de más de 8 gramos?
# P(X>8)
1-pnorm(8,mean=6.45,sd=1.3)
## [1] 0.1165703
0.1165703*0.1165703
## [1] 0.01358863
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que si se extraen dos paquetes al azar de un lote 1 solo paquete muestre una pérdida de más de 8 gramos?
0.1165703*(1-0.1165703)+(1-0.1165703)*(0.1165703)
## [1] 0.2059633
  1. Si se selecciona una muestra aleatoria de 5 paquetes, ¿cuál es la probabilidad que, por lo menos uno de ellos muestre pérdida de más de 8 gramos?
# n=5, pi=0.1165703 (Usar "size" en vez de "n")

1-pbinom(0,size=5,prob=0.1165703)
## [1] 0.4619037
1-dbinom(0,size=5,prob=0.1165703) #Es lo mismo que arriba
## [1] 0.4619037
# Otra manera de hallarlo

dbinom(4,size=5,prob=0.1165703)
## [1] 0.0008156309

Problema 4 (No terminado)

  1. En cierta población el 10% de las personas padece de glaucoma. Para personas que padecen de glaucoma, la medida de la presión ocular X tiene distribución normal con media 25 y varianza 1. Para personas que no tiene glaucoma, la presión ocular X sigue una distribución normal con media 20 varianza 1. Si de esta población se selecciona al azar una persona y se mide su presión ocular X.
# Datos

#El 10% de la plobacion padece glaucoma

# Medida de presion ocular X para quien padece de glaucoma
## media = 25
## varianza = 1
## sd = 1

# Medida de presion ocular X para quien no padece de glaucoma
## media = 20
## varianza = 1
## sd = 1
  1. Determine la probabilidad de que la persona tenga glaucoma dado que X=x
# P(X=x)
  1. ¿Con qué valores de x la probabilidad condicional hallada en a) es mayor que 0.5?
#xd

Problema 5

Una empresa comercializadora de ropa ocasional, tiene dos tiendas (A y B). Suponga, que las ventas diarias (en cientos de soles) en la tienda A tienen una distribución normal con media de 25 y una desviación estándar de 4. Del mismo modo suponga que las ventas diarias (en cientos de soles) en la tienda B tienen una distribución chi-cuadrado con parámetro 24.

#DATOS

#tienda A
## distribucion normal
## media = 25
## sd = 4

# tienda B
## distribucion Chi cuadrado
## m = 24
  1. Si se elige al azar un día para la tienda B, halle la probabilidad de que su venta diaria sea mayor de 3200 soles.
# X: venta diaria
# P(X > 3200) = 1 - P(X < 3200)

ta=1 - pchisq(32,df=24)
ta
## [1] 0.1269927
  1. Si se elige al azar un día para la tienda A y un día para la tienda B, halle la probabilidad de que solo en una de las tiendas la venta diaria difiera de la media de su distribución en no más de 360 soles.
# P(-3.6 < x-m < 3.6)
tb = pnorm(25+3.6,mean=25,sd=4) - pnorm(25-3.6,mean=25,sd=4)
tb
## [1] 0.6318797
#media de una distribucion chi-cuadrado es m
ta = pchisq(24+3.6,df=24) - pchisq(24-3.6,df=24)
ta
## [1] 0.3965448
rpta=ta*(1- tb)+tb*(1-ta)
rpta
## [1] 0.5272873

Problema 6

Si la distribución de los períodos de duración de los postes telefónicos de madera es tal que el 9.51% tienen período de duración que exceden los 15 años y que el 62.55% tienen períodos de duración que exceden los 9 años. Además, se sabe que los períodos de duración tienen distribución normal.

  1. Determinar la media y la desviación estándar de los periodos de duración de los postes telefónicos.
#Utilizando normal estandar

#P(X<9) = 0.0951
#P(Z<(9-m)/v) = 0.0951
#(9-m)/v = -1.31

#P(X<15) = 0.6255
#P(Z<(15-m)/v) = 0.6255
#(15-m)/v = 0.32

#(15-m) = 0.32v
#(9-m) = -1.31v

#6 = 1.63v -> v = 3.680982
#15 - 0.32*3.680982 = m -> m = 13.82209
  1. El 50% de los postes telefónicos de madera duran entre x1 y x2 años. Hallar los valores de x1 y x2, si ellos son simétricos respecto a la media.
x1 = qnorm(0.25,mean=13.82209,sd=3.680982)
x1
## [1] 11.33931
x2 = qnorm(0.75,mean=13.82209,sd=3.680982)
x2
## [1] 16.30487

Problema 7 (No terminado)

Suponga que X, Y, W son variables aleatorias independientes tales que: \(X \sim N[0,4], Y \sim N[0,1] \ y \ V \sim N[0,1]\). Halle el valor de k tal que:

\[ P[\frac{X}{{\sqrt{Y^{2}+V^{2}}}} \leq k] = 0.95\]

Problema 8

Si para ensamblar un artefacto tipo A, los operarios demoran un tiempo que tiene distribución normal y además se conoce que el 10.03% de ensambles demoran a lo más 10.88 minutos, y que el 40.90% de los ensambles tardan por lo menos 24.92 minutos. Mientras que, para ensamblar un artefacto tipo B, el tiempo tiene una distribución t de Student con parámetro 8.

  1. ¿En cuál de los dos tipos de artefacto el tiempo de ensamblaje es menos homogéneo?, realice los cálculos necesarios.
# DATOS

# Artefacto A distribucion normal
# P(X<10.88)=0.1003
qnorm(0.1003)
## [1] -1.279844
#(10.88-m)/v = -1.279844
#10.88-m= -1.279844v

# P(X<24.92)=0.2492
1-0.4090
## [1] 0.591
qnorm(0.591)
## [1] 0.2301181
#(24.92-m)/v =0.2301181
#24.92-m= 0.2301181v

#24.92-m= 0.2301181v
#10.88-m= -1.279844v
#14.04 = 1.509962v
#14.04/1.509962 = v
#v = 9.298247
#m = 22.78031

# Artefacto B distribucion t de Student
# m = 8
varB = 8/(8-6)
sdB = sqrt(varB)

#sdB es menor que v. Es decir el artefacto B tiene menor desviacion estandar que el artefacto A. Entonces el artefacto A es mas heterogeneo o tambien dicho menos homogeneo.
  1. Si se elige un artefacto del tipo A y un artefacto del tipo B, hallar la probabilidad de que en ninguna de los artefactos el tiempo de ensamblaje sea menor a 9 minutos.
#artefacto A
#P(X<9) #tiempo de ensamble sea menor a 9 min
pnorm(9,mean=22.78031,sd=9.298247)
## [1] 0.06916574
#para que no sea menor a 9
a= 1-0.06916574

#artefacto B
#P(X<9) #tiempo de ensamble sea menor a 9 min
pt(9,df=8)
## [1] 0.9999907
#para que no sea menor a 9
b=1-0.9999907

#Probabilidad para que ninguno de los dos sea menor a 9
rpta=a*b
rpta
## [1] 8.656759e-06

Problema 9

Si Y tiene distribución t de Student con 15 grados de libertad, halle el valor de la constante K tal que: 𝑃(𝑌 < 𝐾) + 𝑃(𝑌 > 1.753) = 0.95

#DATOS

# m =  15
# 𝑃(𝑌 < 𝐾) + 𝑃(𝑌 > 1.753) = 0.95
#𝑃(𝑌 > 1.753) = 1 - P(𝑌 < 1.753)

1- pt(1.753,df=15)
## [1] 0.05000445
# P(𝑌 < 𝐾) = 0.95 - 0.05000445 = 0.8999955

0.95 - 0.05000445
## [1] 0.8999955
#primer metodo hecho con tablas

# teta        T(0.8999955,15)
# 0.8         0.879
# 0.8999955   K
# 0.9         1.372

Kg = ((0.8999955-0.8)*(1.372-0.879)/(0.1))+0.879
Kg
## [1] 1.371978
#segundo metodo hecho con formulas

# 𝑃(𝑌 < 𝐾) = 0.95 - 𝑃(𝑌 > 1.753) 
r=0.95-(1-(pt(1.753, 15)))
ka=qt(r,15)
ka
## [1] 1.340578

Problema 10

Si \(Y \sim \chi_{(12)}^{2} \ y \ W \sim \chi_{(20)}^{2}, hallar:\)

  1. \(P[2W<28.02]\)
#P[W<14.01]

pchisq(14.01,df=20)
## [1] 0.1700114
  1. El valor de k tal que \(P[k < Y < 26] = 0.9\)
qchisq(0.9,df=12)
## [1] 18.54935

Problema 11

Suponga que X, V y Q son variables aleatorias independientes tales que: \(X \sim N(0,1), V \sim \chi_{(10)}^{2}\)

  1. Determine el valor del Percentil 90 de la distribución de V.

  2. Halle el valor de K tal que:

\[ P[\frac{\sum_{i=1}^{10}X_{i}^{2}}{V+Q} \leq k] = 0.95 \]

Asesoria 1 (Problemas de variable aleatoria y distribución discreta)

Problema 1