GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

Vamos discutir o problema de se testar uma afirmação sobre a variância de uma população normal.

Suponha que desejamos testar se a variância da altura é superior a 0,01 m\(^2\). Como verificar essa afirmação?

Nas aulas passadas, discutimos as regras de decisões que nos permitem checar afirmações sobre os parâmetros, conhecidas como testes de hipóteses.

No problema levantado queremos testar as seguintes hipóteses

\(H_0\): a variância da idade é igual a 0,01 m\(^2\) metros (\(\sigma^2 = 0,01\)),

\(H_1\): a variância da idade é superior a 0,01 m\(^2\) metros (\(\sigma^2 > 0,01\)).

Para executarmos o teste acima, usaremos a função VarTest do pacote DescTools.

A seguir, vamos apresentar os principais argumentos da função VarTest:

  - x - o vetor com a amostra;

  - sigma.squared - o valor do parâmetro que definem as hipóteses (default = 1);

  - alternative - argumento que define se o teste é bilateral ou unilateral a esquerda e a direita (default = bilateral - two.sided).

Note que o teste que estamos usando, assume que a variância é o parâmetro de uma variável aleatória com distribuição normal. Neste caso, devemos verificar se a variável altura possui distribuição normal.

#Carregando pacote
library(tidyverse)

#Importando os dados
base = read_rds("Medidas.rds")

#Carregando pacote
library(ggpubr)

#Criando um qq-plot com o ggpubr
ggqqplot(base$altura)

#Teste de normalidade
shapiro.test(x = base$altura)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  base$altura
W = 0.97916, p-value = 0.868

Para verificar, inicialmente plotamos um qq-plot, com sua banda de confiança, e o mesmo parece indicar que a suposição de normalidade da variável altura é razoável. Para confirmar esta hipótese, realizamos o teste de Shapiro-Wilk e com base em um nível de significância (\(\alpha\)) de 5%, como o p-valor = 0,868 é maior do que \(\alpha\), não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não existe evidências para desconfiarmos que a amostra não seja proveniente de uma distribuição normal.

Deste modo, podemos partir para o testar a afirmação sobre a variância.

#Carregando o pacote DescTools
library(DescTools)

#Realizando o teste
VarTest(base$altura, 
        alternative = "greater",
        sigma.squared = 0.01)

    One Sample Chi-Square test on variance

data:  base$altura
X-squared = 34.746, df = 24, p-value = 0.07225
alternative hypothesis: true variance is greater than 0.01
95 percent confidence interval:
 0.009541775         Inf
sample estimates:
variance of x 
   0.01447767 

A saída do teste contém várias informações: o valor da estatística do teste \(X\)-squared, o número de graus de liberdade da estatística de teste \(df\) e o p-valor associado as hipóteses especificadas. Ele deixa explícito qual a hipótese alternativa “true variance is greater than 0.01” que significa “a verdadeira variância é maior que 0.01”. Fornece também um intervalo de confiança unilateral (que não traz muita informação nesse momento, a menos que estivéssemos realizando um teste de hipóteses bilateral, pois seria o IC para o parâmetro) e o valor de uma estimativa pontual.

Note que, mesmo com uma estimativa pontual superior a 0,01 (aproximadamente 0,015), com base em um nível de significância de 5%, não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não encontramos evidências para acreditar que a variância da altura seja superior a 0,01 m\(^2\).

E se o nível de confiança fosse de 10%, qual seria a sua conclusão? Em que implica o aumento do nível de significância?

Suponha que um pesquisador esteja interessado em investigar se a variância do peso é diferente a 20 Kg\(^2\). Realize a análise mais completa possível para investigar essa afirmação.

#Avaliando o comportamento dos valores da variável peso
ggplot(data = base, aes(y = peso)) +
  geom_boxplot() +
  theme_minimal() +
  labs(y = "Peso (em Kg)")

#Verificando normalidade dos dados
ggqqplot(base$peso)

#Testando normalidade
shapiro.test(base$peso)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  base$peso
W = 0.97305, p-value = 0.7228

#Obtendo uma estimativa pontual e uma intervalar
VarCI(x = base$peso,
      method = "classic",
      conf.level = 0.95)

     var   lwr.ci   upr.ci 
23.58333 14.37859 45.64093 

#Realizando o teste
VarTest(base$peso, 
        alternative = "two.sided",
        sigma.squared = 20)

    One Sample Chi-Square test on variance

data:  base$peso
X-squared = 28.3, df = 24, p-value = 0.4952
alternative hypothesis: true variance is not equal to 20
95 percent confidence interval:
 14.37859 45.64093
sample estimates:
variance of x 
     23.58333 

Comentários de cada passo da análise:

• Analisando o boxplot, percebemos um comportamento simétrico da variável, com valores oscilando entre 60 Kg e 82 Kg. A mediana dos valores é inferior a 70 Kg.

• O QQ-plot, junto com a banda de confiança, indica que os quantis amostrais não se distanciam muitos dos quantis de uma distribuição normal, indicando que parece razoável assumir normalidade dos dados.

• Com base em um nível de significância de 1%, não rejeitamos \(H_0\), indicando normalidade dos dados, conforme indicava o QQ-plot.

• A estimativa pontual nos mostra que a variância do peso é de 23,58 Kg\(^2\) e a região de 14,38 Kg\(^2\) a 45,64 Kg\(^2\) possui alta probabilidade de conter o verdadeiro valor da variância do peso. A função utilizada VarCI pertence ao pacote DescTools, seus principais argumentos são o vetor da amostra (x), o método (use o classic), e o nível de confiança (conf.level). Comparem com a estimativa intervalar fornecida quando realizamos o teste de hipóteses.

• Com base em um nível de significância de 1%, não rejeitamos \(H_0\), indicando que não possuímos evidências suficiente para acreditar que a variância da altura seja diferente de 20 Kg\(^2\).

Atividade 1: Teste se a variância do comprimento da cintura é inferior a 6 cm\(^2\). Use um nível de significância de 1%.

Atividade 2: Teste se a variância da idade é superior a 300 anos\(^2\). Use um nível de significância de 5%.

Atividade 3: Crie uma função que calcula o p-valor para o teste de hipóteses da variância de uma distribuição normal. Quais os argumentos a sua função precisa. Retorne uma estimativa pontual, uma intervalar e o p-valor.