Diseño de experimentos
Omar Jhondely Méndez Juárez
29/7/2021
DISEÑOS FACTORIALES \(2^{4}\)
Motores de turbina de aviones
Se utiliza una aleación de níquel y titanio para fabrica componentes de los motores de turbina de aviones. La formación de fisuras es un problema potencialmente serio de las piezas terminadas, ya ye pueden provocar fallas irreversibles. Se realiza una prueba potencialemente serio de las piezas terminadas, ya que pueden provocar fallas irreversibles. Se realiza una prueba de las piezas para determinar el efeto de cuatro factores sobre las fisuras. Los cuatro factores son la temperatura de vaciado(A), el contenido de titanio(B), el método de tratamiento térmico (C) y la cantidad de refinador de grano usada(D). Se hace 2 replicas de un diseño \(2^{4}\) y se mide la longitud de las fisuras (en mm x \(10^{-2}\)) inducidas en un ejemplar de pruba de muestra sometido a una prueba estándar. Los datos se muestran en la siguiente tabla:
resultados de la tabla
a) Estimar los efectos de los factores.¿Qué factores parecen ser grandes?
b)Conducir a un análisis de varianza.
c)Escribir un modelo de regresión que pueda usarse para predecir la longitud de las fisuras como una función de los efectos principales y las interacíones significativas que se han identificado en el incisio b.
d) Analisis residuales de este experimento.
e) ¿Hay algún indicio de que alguno de los factores afecte la variabilidad de la formación de fisuras?
f) ¿Qué recomendaciones se harían respecto de las operaciones del proceso?Utilizar gráficas de las interacciones y de los efectos principales como ayuda para sacar conclusiones.
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RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
a)
Lo primero que se debe realizar es mandar a instruir las librerías que se van a utilizar para poder realizar nuestro diseño factorial, tenemos la librería “readx” que llama los datos de excel, y la librería “FrF2” que hará nuestro analísis estadístico.
library(readxl)
library(FrF2)## Loading required package: DoE.base## Loading required package: grid## Loading required package: conf.design## Registered S3 method overwritten by 'DoE.base':
## method from
## factorize.factor conf.design##
## Attaching package: 'DoE.base'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## aov, lm## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## plot.design## The following object is masked from 'package:base':
##
## lengthsdatos=read_excel(path = "dataset.xlsx")
View(datos)
attach(datos)
str(datos)## tibble [32 x 5] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ fisuras: num [1:32] 7.04 14.71 11.63 17.27 10.4 ...
## $ A : num [1:32] -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
## $ B : num [1:32] -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
## $ C : num [1:32] -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
## $ D : num [1:32] -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 ...Para obtener los efectos se debe resolver adecuadamente el ejercicio,para eso reescribimos la tabla, de manera que sea interpretada como un conjunto de variables, quedando de la siguiente manera:
| fisuras | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 7.037 | -1 | -1 | -1 | -1 |
| 14.707 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| 11.635 | -1 | 1 | -1 | -1 |
| 17.273 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| 10.403 | -1 | -1 | 1 | -1 |
| 4.368 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| 9.36 | -1 | 1 | 1 | -1 |
| 13.44 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 8.561 | -1 | -1 | -1 | 1 |
| 16.867 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| 13.876 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 19.824 | 1 | 1 | -1 | 1 |
| 11.846 | -1 | -1 | 1 | 1 |
| 6.125 | 1 | -1 | 1 | 1 |
| 11.19 | -1 | 1 | 1 | 1 |
| 15.653 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 6.376 | -1 | -1 | -1 | -1 |
| 15.219 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| 12.089 | -1 | 1 | -1 | -1 |
| 17.815 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| 10.151 | -1 | -1 | 1 | -1 |
| 4.098 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| 9.253 | -1 | 1 | 1 | -1 |
| 12.923 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 8.951 | -1 | -1 | -1 | 1 |
| 17.052 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| 13.658 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 19.639 | 1 | 1 | -1 | 1 |
| 12.337 | -1 | -1 | 1 | 1 |
| 5.904 | 1 | -1 | 1 | 1 |
| 10.935 | -1 | 1 | 1 | 1 |
| 15.053 | 1 | 1 | 1 | 1 |
FACTORES
Prueba de hipotesis
Factor A
H0:A=0 El elemento A no afecta en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:A≠0 El elemento A afecta en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor B
H0:B=0 El elemento B no afecta en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:B≠0 El elemento B afecta en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor C
H0:C=0 El elemento C no afecta en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:C≠0 El elemento C afecta en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor D
H0:D=0 El elemento D no afecta en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:D≠0 El elemento D afecta en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor AB
H0:AB=0 Los elemento A y B no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:AB≠0 Los elemento A y B afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor AC
H0:AC=0 Los elemento A y C no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:AC≠0 Los elemento A y c afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor BC
H0:BC=0 Los elemento B y C no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:BC≠0 Los elemento B y C afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor AD
H0:AD=0 Los elemento A y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:AD≠0 Los elemento A y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor BD
H0:BD=0 Los elemento B y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:BD≠0 Los elemento B y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor CD
H0:CD=0 Los elemento C y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:CD≠0 Los elemento C y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ABC
H0:BD=0 Los elemento A,B y C no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:BD≠0 Los elemento A,B y C afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ABD
H0:ABD=0 Los elemento A,B y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:ABD≠0 Los elemento A,B y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ACD
H0:ACD=0 Los elemento A,C y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:ACD≠0 Los elemento A,C y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor BCD
H0:BCD=0 Los elemento B,C y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:BCD≠0 Los elemento B,C y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ABCD
H0:ABCD=0 Los elemento A,B,C y D no afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
H1:ABCD≠0 Los elemento A,B,C y D afectan en las fisuras en la turbina de los aviones .
El modelo matemático
Otra manera de abordar el problema del alto número de combinaciones que se producen cuando k aumenta y los factores son de naturaleza numérica consiste en considerar, además de los niveles mínimo (-1) y máximo (+1), el valor medio de su escala (0) y replicar en este punto central, lo que nos permitirá estimar el error y realizar los contrastes.
En el modelo factorial \(2^{4}\), las unidades experimentales se obtienen tomando las 16 posibles combinaciones de los cuatro factores y haciendo una única observación en cada caso. Además, haremos \(n_c\) réplicas, entre tres o seis, en el punto central, con todos sus factores a su nivel medio. Así se podrán estudiar los factores principales y todas sus interacciones.
Formalmente, el modelo se reduce a la ecuación
modelado matemático
- Como antes, las fluctuaciones aleatorias \(u_{ijml}\) son todas ellas independientes y normales, de media nula y desviación típica σ desconocida, \(u_{ijml}\)\(∼N(0,σ).\)
Como antes también, los coeficientes \(β_1\), \(β_2\), \(β_3\) y \(β_4\) del modelo miden el incremento de la respuesta cuando el factor correspondiente cambia en una unidad, aunque es práctica común estimar los efectos A, B, C y D, que miden la variación de la respuesta cuando los factores o sus interacciones pasan del nivel inferior al superior, siendo entonces \(A=2β_1\), \(B=2β_2\), \(C=2β_3\), \(D=2β_4\), \(AB=2β_{12}\), \(AC=2β_{13}\), etc., cuyos estimadores se obtendrán una vez ajustado el modelo anterior por el método de los mínimos cuadrados.
Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:
f_a=factor(A)
f_b=factor(B)
f_c=factor(C)
f_d=factor(D)
modelo=lm(fisuras~(f_a+f_b+f_c+f_d+f_a*f_b+f_a*f_c+f_b*f_c+f_a*f_d+f_b*f_d+f_c*f_d+f_a*f_b*f_c+f_a*f_b*f_d+f_a*f_c*f_d+f_b*f_c+f_d+f_a*f_b*f_c*f_d))
summary(modelo)##
## Call:
## lm.default(formula = fisuras ~ (f_a + f_b + f_c + f_d + f_a *
## f_b + f_a * f_c + f_b * f_c + f_a * f_d + f_b * f_d + f_c *
## f_d + f_a * f_b * f_c + f_a * f_b * f_d + f_a * f_c * f_d +
## f_b * f_c + f_d + f_a * f_b * f_c * f_d))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.3305 -0.1500 0.0000 0.1500 0.3305
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.7065 0.2014 33.292 3.32e-16 ***
## f_a1 8.2565 0.2849 28.982 2.95e-15 ***
## f_b1 5.1555 0.2849 18.097 4.45e-12 ***
## f_c1 3.5705 0.2849 12.533 1.09e-09 ***
## f_d1 2.0495 0.2849 7.194 2.14e-06 ***
## f_a1:f_b1 -2.5745 0.4029 -6.390 8.95e-06 ***
## f_a1:f_c1 -14.3005 0.4029 -35.495 < 2e-16 ***
## f_b1:f_c1 -6.1260 0.4029 -15.205 6.23e-11 ***
## f_a1:f_d1 -0.0530 0.4029 -0.132 0.897
## f_b1:f_d1 -0.1445 0.4029 -0.359 0.725
## f_c1:f_d1 -0.2350 0.4029 -0.583 0.568
## f_a1:f_b1:f_c1 12.4935 0.5698 21.927 2.31e-13 ***
## f_a1:f_b1:f_d1 0.3355 0.5698 0.589 0.564
## f_a1:f_c1:f_d1 0.0200 0.5698 0.035 0.972
## f_b1:f_c1:f_d1 0.0860 0.5698 0.151 0.882
## f_a1:f_b1:f_c1:f_d1 0.1130 0.8058 0.140 0.890
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2849 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9977, Adjusted R-squared: 0.9956
## F-statistic: 469 on 15 and 16 DF, p-value: < 2.2e-16e)
En esta parte podemos observar el r cuadrado ajustado, donde podemos afirmar que, la variabilidad de las respuestas es de 99.56% por los factores involucrados en el análisis, en este caso los elementos A, B, C Y S, y tan solo el 0.44% esta explicados por otros factores no considerados.
esto quiere decir que,no hay algún indicio de que alguno de los factores afecte la variabilidad de la formación de fisuras.
b) y c)
Utilizaremos los siguientes comandos para obtener nuestra tabla Anova y comprobar nuestras pruebas de hipótesis y analizarr si hay un efecto significativo tanto en los factores como en las interacciónes sobre la respuesta.
anova=aov(modelo)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## f_a 1 72.91 72.91 898.339 1.74e-15 ***
## f_b 1 126.46 126.46 1558.172 < 2e-16 ***
## f_c 1 103.46 103.46 1274.822 < 2e-16 ***
## f_d 1 30.66 30.66 377.802 1.49e-12 ***
## f_a:f_b 1 29.93 29.93 368.739 1.79e-12 ***
## f_a:f_c 1 128.50 128.50 1583.256 < 2e-16 ***
## f_b:f_c 1 0.07 0.07 0.908 0.355
## f_a:f_d 1 0.05 0.05 0.577 0.459
## f_b:f_d 1 0.02 0.02 0.220 0.645
## f_c:f_d 1 0.05 0.05 0.583 0.456
## f_a:f_b:f_c 1 78.75 78.75 970.325 9.49e-16 ***
## f_a:f_b:f_d 1 0.08 0.08 0.947 0.345
## f_a:f_c:f_d 1 0.00 0.00 0.036 0.852
## f_b:f_c:f_d 1 0.01 0.01 0.125 0.728
## f_a:f_b:f_c:f_d 1 0.00 0.00 0.020 0.890
## Residuals 16 1.30 0.08
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Conclusiones
Factor A
- H1:A≠0 El elemento A afecta significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor B
- H1:B≠0 El elemento B afecta significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor C
- H1:C≠0 El elemento C afecta significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor D
- H1:D≠0 El elemento D afecta significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones.
Factor AB
- H1:AB≠0 Los elemento A y B afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor AC
- H1:AC≠0 Los elemento A y c afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor BC
- H0:BC=0 Los elemento B y C no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor AD
- H0:AD=0 Los elemento A y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor BD
- H0:BD=0 Los elemento B y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor CD
- H0:CD=0 Los elemento C y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ABC
- H1:BD≠0 Los elemento A,B y C afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ABD
- H0:ABD=0 Los elemento A,B y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ACD
- H0:ACD=0 Los elemento A,C y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor BCD
- H0:BCD=0 Los elemento B,C y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Factor ABCD
- H0:ABCD=0 Los elemento A,B,C y D no afectan significativamente en las fisuras en la turbina de los aviones .
Los efectos significativos son los elementos A, B, C, D AB, AC y ABC, esto quiere decir que estos elementos si afectan significativamente en las fisuras de la turbina de los aviones y esto causaría daño irrebersibles en los motores.
d)
normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: resid(modelo)
## W = 0.93025, p-value = 0.0398Viscosidad=bartlett.test(resid(modelo),f_a,f_b,f_c,data=experimento_resp)
print(Viscosidad)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: resid(modelo) and f_a
## Bartlett's K-squared = 0.048289, df = 1, p-value = 0.8261Prueba de normalidad Shapiro-Wilks
- Observamos que nuestro valor p es de 0.0398 que es menor al nivel de significancia 0.05, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula, esto quiere decir que los residuos no provienen de una población con distribución normal
Prueba de normalidad Shapiro-Wilks
- Observamos que nuestro valor p es de 0.8261 que es mucho mayor al nivel de significancia 0.05, por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula, esto quiere decir, que las muestras presentan varianzas iguales.
f)
library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 16,nfactors = 4,factor.names = list(f_a=c(-1,1),f_b=c(-1,1),f_c=c(-1,1),f_d=c(-1,1)),replications = 2,randomize = FALSE)## creating full factorial with 16 runs ...experimento_resp=add.response(design = experimento,response = fisuras)
MEPlot(experimento_resp)
IAPlot(experimento_resp)