Diseño Factorial 2^3

En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento 23 con dos réplicas. A continuación se aprecian los resultados obtenidos:
Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Viscosidad
–1 –1 –1 13.3, 13.9
1 -1 -1 14.7, 14.4
-1 1 -1 14.6, 14.9
1 1 -1 14.3, 14.1
-1 -1 1 16.9, 17.2
1 -1 1 15.5, 15.1
-1 1 1 17.4, 17.1
1 1 1 18.9, 19.2

  1. Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

  2. Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.

  3. Interprete a detalle los efectos significativos.

  4. ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?

  5. Verifique residuos, ¿qué considera destacado?

Desarrollo del ejercicio

  1. Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

MODELO ESTADÍSTICO 𝑌 = 𝑢 + (𝛼)𝑖 + (𝛽)𝑖 + (𝛾)𝑘 + (𝛼𝛽)𝑖𝑗 + (𝛼𝛾)𝑖𝑘 + (𝛽𝛾)𝑗𝑘 + (𝛼𝛽𝛾)𝑖𝑗𝑘 + 𝐸𝑖𝑗𝑘

HIPÓTESIS

FACTOR A

H0 A =0 El ingrediente A no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: A ≠0 El ingrediente A si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

FACTOR B

H0 B =0 El ingrediente B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: B ≠0 El ingrediente B si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

FACTOR C

H0 C =0 El ingrediente C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: C ≠0 El ingrediente C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate

FACTOR DE ITERACION AB

H0:AB =0 Los ingredientes A y B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: AB ≠0 El ingrediente A y B si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

FACTOR DE ITERACION AC

H0: AC =0 Los ingredientes A y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: AC ≠0 El ingrediente A y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

FACTOR DE ITERACION BC

H0: BC =0 Los ingredientes B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

H1: BC ≠0 El ingrediente B y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

FACTOR DE ITERACION ABC

H0: ABC =0 Los ingredientes A, B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: ABC ≠0 El ingrediente A, B y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Debemos importar los datos desde el archivo que los contiene, ubicado en la carpeta de trabajo, para este caso se llama dataset.txt. 
library(printr)
## Registered S3 method overwritten by 'printr':
##   method                from     
##   knit_print.data.frame rmarkdown
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  4 variables:
##  $ ingrediente_A: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ ingrediente_B: int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ ingrediente_C: int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
##  $ viscosidad   : num  13.1 14.7 14.6 14.3 16.9 ...
attach(datos)
Para efectos de resolver adecuadamente el ejercicio, reescribimos la tabla, de manera que sea interpretada como un conjunto de variables, quedando de la siguiente manera: 
head(datos, n= 16L)
ingrediente_A ingrediente_B ingrediente_C viscosidad
-1 -1 -1 13.13
1 -1 -1 14.70
-1 1 -1 14.60
1 1 -1 14.30
-1 -1 1 16.90
1 -1 1 15.50
-1 1 1 17.40
1 1 1 18.90
-1 -1 -1 13.90
1 -1 -1 14.40
-1 1 -1 14.90
1 1 -1 14.10
-1 -1 1 17.20
1 -1 1 15.10
-1 1 1 17.10
1 1 1 19.20

Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:

f_ingredienteA=factor(ingrediente_A)
f_ingredienteB=factor(ingrediente_B)
f_ingredienteC=factor(ingrediente_C)
modelo=lm(viscosidad~(f_ingredienteA+f_ingredienteB+f_ingredienteC+f_ingredienteA*f_ingredienteB+f_ingredienteA*f_ingredienteC+f_ingredienteB*f_ingredienteC+f_ingredienteA*f_ingredienteB*f_ingredienteC))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = viscosidad ~ (f_ingredienteA + f_ingredienteB + 
##     f_ingredienteC + f_ingredienteA * f_ingredienteB + f_ingredienteA * 
##     f_ingredienteC + f_ingredienteB * f_ingredienteC + f_ingredienteA * 
##     f_ingredienteB * f_ingredienteC))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -0.385 -0.150  0.000  0.150  0.385 
## 
## Coefficients:
##                                                 Estimate Std. Error t value
## (Intercept)                                      13.5150     0.1971  68.576
## f_ingredienteA1                                   1.0350     0.2787   3.713
## f_ingredienteB1                                   1.2350     0.2787   4.431
## f_ingredienteC1                                   3.5350     0.2787  12.683
## f_ingredienteA1:f_ingredienteB1                  -1.5850     0.3942  -4.021
## f_ingredienteA1:f_ingredienteC1                  -2.7850     0.3942  -7.066
## f_ingredienteB1:f_ingredienteC1                  -1.0350     0.3942  -2.626
## f_ingredienteA1:f_ingredienteB1:f_ingredienteC1   5.1350     0.5574   9.212
##                                                 Pr(>|t|)    
## (Intercept)                                     2.28e-12 ***
## f_ingredienteA1                                 0.005927 ** 
## f_ingredienteB1                                 0.002194 ** 
## f_ingredienteC1                                 1.40e-06 ***
## f_ingredienteA1:f_ingredienteB1                 0.003835 ** 
## f_ingredienteA1:f_ingredienteC1                 0.000106 ***
## f_ingredienteB1:f_ingredienteC1                 0.030374 *  
## f_ingredienteA1:f_ingredienteB1:f_ingredienteC1 1.56e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2787 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9877, Adjusted R-squared:  0.9769 
## F-statistic: 91.42 on 7 and 8 DF,  p-value: 5.318e-07

Todos los efectos son significativos,ya que todos los valores son menores a 0.05, esto quiere decir que todos los efectos e interacciones afectan a la viscosidad de la bebida de chocolate.

  1. Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales. y c) Interprete a detalle los efectos significativos.

Como es bien sabido, cuando se obtiene un valor p <0.05 se rechaza la H0. En este caso el factor A tiene un valor de 2.28e-12, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

El factor B tiene un valor de 0.005927, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

El factor C tiene un valor de 0.002194, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

El factor AB tiene un valor de 0.003835, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

El factor AC tiene un valor de 0.000106, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

El factor BC tiene un valor de 0.030374, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

El factor ABC tiene un valor de 1.56e-05, rechazando la hipótesis nula diciendo que afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Con esto podemos concluir que todos los factores, incluyendo las interacciones afectan a la viscosidad de la bebida de chocolate.

  1. ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?

Dado a que todos los factores son significativos no hay un tratamiento para minimizar dichos efectos.

  1. Verifique residuos, ¿qué considera destacado? 
prueba_normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(prueba_normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.90536, p-value = 0.09796

H0: La variable presenta una distribución normal

H1: La variable presenta una distribución no normal

Como el p valor (0.09796) es mayor a alfa (0.05), se rechaza la hipótesis nula (H0), por lo tanto, el modelo presenta un comportamiento no normal o paramétrico.

Bibliografía

Montgomery, D. C. (2004). Diseño y análisis de experimentos (2nd ed.). Limusa Wiley.