DISEÑOS FACTORIALES \(2^{3}\)

La bebida de Chocolate

En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento \(2^{3}\) con 2 réplicas. A continuación se aprecián los resultados obtenidos:

resultados de la tabla

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

b)Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.

c) Interprete a detalle los efectos significativos.

d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?

e) Verifique residuos,¿ qué considera destacado?

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RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.

Lo primero que se debe realizar es mandar a instruir las librerías que se van a utlizar para poder realizar nuestro diseño factorial, tenemos la librería “readx” que llama los datos de excel, y la librería “FrF2” que hará nuestro analísis estadístico.

library(readxl)
library(FrF2)
datos=read_excel(path =  "dataset.xlsx")
View(datos)
datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)
## 'data.frame':    16 obs. of  4 variables:
##  $ Viscosidad  : num  13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...
##  $ ingredienteA: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ ingredienteB: int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ ingredienteC: int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
attach(datos)

Para efectos de resolver adecuadamente el ejercicio, reescribimos la tabla, de manera que sea interpretada como un conjunto de variables, quedando de la siguiente manera:

Ingrediente A Ingradiente B Ingrediente C Viscosidad
-1 -1 -1 13.3,13.9
+1 -1 -1 14.7,14.4
-1 +1 -1 14.6,14.9
+1 +1 -1 14.3,14.1
-1 -1 +1 16.9,17.2
+1 -1 +1 15.5,15.1
-1 +1 +1 17.4,17.1
+1 +1 +1 18.9,19.2

FACTORES

Factor A

  • H0:A=0 El ingrediente A no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:A≠0 El ingrediente A afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor B

  • H0:B=0 El ingrediente B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:B≠0 El ingrediente B afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor C

  • H0:C=0 El ingrediente C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:C≠0 El ingrediente C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor AB

  • H0:AB=0 El ingrediente A y B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:AB≠0 El ingrediente A y B afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor AC

  • H0:AC=0 El ingrediente A y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:AC≠0 El ingrediente A y C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor BC

  • H0:BC=0 El ingrediente B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:BC≠0 El ingrediente B y C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor ABC

  • H0:ABC=0 El ingrediente A, B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

  • H1:ABC≠0 El ingrediente A, B y C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.*

El modelo matemático

El modelo estadístico para este diseño es: modelo matematico

Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:

f_a=factor(`ingredienteA`)
f_b=factor(`ingredienteB`)
f_c=factor(`ingredienteC`)
f_viscosidad=factor(Viscosidad)
modelo=lm(Viscosidad~(f_a+f_b+f_c+f_a*f_b+f_a*f_c+f_b*f_c+f_a*f_b*f_c))
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = Viscosidad ~ (f_a + f_b + f_c + f_a * f_b + f_a * 
##     f_c + f_b * f_c + f_a * f_b * f_c))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -0.30  -0.15   0.00   0.15   0.30 
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     13.6000     0.1777  76.551 9.45e-13 ***
## f_a1             0.9500     0.2512   3.781  0.00538 ** 
## f_b1             1.1500     0.2512   4.577  0.00181 ** 
## f_c1             3.4500     0.2512  13.732 7.63e-07 ***
## f_a1:f_b1       -1.5000     0.3553  -4.222  0.00291 ** 
## f_a1:f_c1       -2.7000     0.3553  -7.599 6.31e-05 ***
## f_b1:f_c1       -0.9500     0.3553  -2.674  0.02820 *  
## f_a1:f_b1:f_c1   5.0500     0.5025  10.050 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9898, Adjusted R-squared:  0.9809 
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF,  p-value: 2.493e-07

En esta parte podemos observar el r cuadrado ajustado donde podemos obtener la variabilidad de las respuestas es de 98.09% por los factores involucrados en el análisis, en este caso el ingrediente A, B y C, y el 1.99% esta explicados por otros factores no considerados.

b)Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales

c) Interprete a detalle los efectos significativos.

Utilizaremos los siguientes comandos para obtener nuestra tabla Anova y hacer nuestra prueba de hipótesis y comprobar si hay un efecto significativo tanto en los factores como en la interacción

anova=aov(modelo)
summary(anova)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_a          1   0.05    0.05   0.802 0.396647    
## f_b          1   5.64    5.64  89.356 1.29e-05 ***
## f_c          1  33.35   33.35 528.327 1.36e-08 ***
## f_a:f_b      1   1.05    1.05  16.644 0.003536 ** 
## f_a:f_c      1   0.03    0.03   0.485 0.505830    
## f_b:f_c      1   2.48    2.48  39.297 0.000241 ***
## f_a:f_b:f_c  1   6.38    6.38 101.000 8.18e-06 ***
## Residuals    8   0.50    0.06                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Conclusiones

Factor A

  • H0:A=0 El ingrediente A no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

Factor B

  • H1:B≠0 El ingrediente B afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor C

  • H1:C≠0 El ingrediente C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor AB

  • H1:AB≠0 El ingrediente A y B afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor AC

  • H0:AC=0 El ingrediente A y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate .

Factor BC

  • H1:BC≠0 El ingrediente B y C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.

Factor ABC

  • H1:ABC≠0 El ingrediente A, B y C afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.*
Los efectos significativos son los ingredientes B, C, AB, BC y ABC eso quiere decir que estos ingredientes si afectan a la viscosidad de la bebida.

d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?

Aplicando un ANOVA mejorado:

f_a2=factor(`ingredienteA`)
f_b2=factor(`ingredienteB`)
f_c2=factor(`ingredienteC`)

modelo2=lm(Viscosidad~(f_b2+f_c2+f_a2*f_b2+f_b2*f_c2+f_a2*f_b2*f_c2))
anova2=aov(modelo2)
summary(anova2)
##                Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_b2            1   5.64    5.64  89.356 1.29e-05 ***
## f_c2            1  33.35   33.35 528.327 1.36e-08 ***
## f_a2            1   0.05    0.05   0.802 0.396647    
## f_b2:f_a2       1   1.05    1.05  16.644 0.003536 ** 
## f_b2:f_c2       1   2.48    2.48  39.297 0.000241 ***
## f_c2:f_a2       1   0.03    0.03   0.485 0.505830    
## f_b2:f_c2:f_a2  1   6.38    6.38 101.000 8.18e-06 ***
## Residuals       8   0.50    0.06                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

CONCLUSIÓN: Considerando un ANOVA MEJORADO vemos que los efectos antes mencionados siguen siendo significativos, por lo tanto no hay un tratamiento para minimizar dichos efectos.

e) Verifique residuos,¿ qué considera destacado?

#———Analisis Grafico————#

library(FrF2)
## Loading required package: DoE.base
## Loading required package: grid
## Loading required package: conf.design
## Registered S3 method overwritten by 'DoE.base':
##   method           from       
##   factorize.factor conf.design
## 
## Attaching package: 'DoE.base'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     aov, lm
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     plot.design
## The following object is masked from 'package:base':
## 
##     lengths
experimento=FrF2(nruns=8,nfactors=3, factor.names= list(f_a=c(-1, 1),f_b=c(-1, 1),f_c=c(-1, 1)),replications=2,randomize=FALSE)
## creating full factorial with 8 runs ...
experimento_resp=add.response(desig=experimento, response=Viscosidad)
MEPlot(experimento_resp)

IAPlot(experimento_resp)

- En la gráfica de efectos individuales podemos observar que el ingrediente que influye menormente en la viscosidad de la bebida del checolote es el Ingrediente A,caso contrario con el Ingrediente C que se dispara significativamente la línea y esto nos dice que la viscosidad de la bebida de chocolate aumenta más.
- En la gráfica de efectos interactivos podemos observar que Ingrediente A respecto con los ingredientes B y C los efectos se mantiente contantes, EL ingrediente B con respecto a los ingredientes A y C los efectos se elevan un poco, y el ingrediente c con respecto a los ingredientes A y B se puede notar un efecto significativo en ambas partes.

#———-Analisis residuales———-#

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.87343, p-value = 0.0307
Viscosidad=bartlett.test(resid(modelo),f_a,f_b,f_c,data=experimento_resp)
print(Viscosidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo) and f_a
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204

Prueba de normalidad Shapiro-Wilks

  • Observamos que nuestro valor p es de 0.0307 que es menor al nivel de significancia 0.05, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula, esto quiere decir que los residuos no provienen de una población con distribución normal

Prueba de normalidad Shapiro-Wilks

  • Observamos que nuestro valor p es de 0.5204 que es menor al nivel de significancia 0.05, por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula, esto quiere decir, que las muestras presentan varianzas iguales.