GET00130 - Métodos Computacionais para Estatística II

Considere uma amostra aleatória simples $X_1, \ldots, X_n$ obtida de uma população normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ conhecida.

Como \(\bar{X}\) é uma combinação linear de variáveis aleatórias normais, então \[\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).\]

Sendo assim, ao padronizarmos a distribuição de \(\bar{X}\) temos que \[Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).\]

Então, podemos escrever que \[\begin{equation} \tag{1} P[z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{1-\alpha/2}] = 1- \alpha, \end{equation}\] em que \(z_{\alpha/2}\) e \(z_{1-\alpha/2}\) são quantis da distribuição N(0,1) cuja área entre eles é de \(1-\alpha\). Além disso, a área abaixo de \(z_{\alpha/2}\) é \(\alpha/2\) e a área abaixo de \(z_{1-\alpha/2}\) é \(1-\alpha/2\), como está representado na figura abaixo.

Como \(Z = (\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\) tem distribuição normal padrão, podemos reescrever a Equação (1) da seguinte forma \[P \left[z_{\alpha/2} \leq \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{1 - \alpha/2} \right] = 1- \alpha,\] com algumas operações algébricas \[P \left[\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] = 1- \alpha.\]

Devemos notar que na equação acima, as extremidades é que são aleatórias, daí temos que \[IC(\mu,1-\alpha) = \left( \bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\bar{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right).\]

Note que a distribuição N(0,1), onde os quantis \(z_{\alpha/2}\) e \(z_{1-\alpha/2}\) é simétrica, logo esses valores sempre serão iguais em módulo. Isto é, se \(\alpha = 0,05\), logo \(z_{1-0,05/2} = z_{0,975} = 1,96\) e o \(z_{0,05/2} = z_{0,025} = -1,96\), e neste caso a forma do intervalo de confiança seria \[IC(\mu;0,95) = \left( \bar{X}-1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\bar{X}+1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right).\]

Como interpretar o IC obtido acima?

Como o que é aleatório é o intervalo, interpretamos o mesmo da seguinte forma: se fossem construídos 100 intervalos com amostras de mesmo tamanho, em torno de \(100(1-\alpha)\) intervalos conteriam o verdadeiro valor da média, isto é, existe \(100(1-\alpha)\%\) de chance do intervalo conter a verdadeira média.

A Figura acima, retirada do Morettin e Bussab (2006), exemplifica o que foi dito. Nela temos 20 intervalos de confiança para \(\mu\), todos de tamanho \(n\), com \(90\%\) de confiança. Deste modo, esperamos que em torno de \(90\%\) dos intervalos contenham o valor de \(\mu = 5\), isto é, que 18 intervalos contenham este valor.

Observação: NÃO existe a interpretação (um tanto comum de se ouvir) que a prababilidade da média estar no intervalo de confiança é de \(1-\alpha\). E por que não faz sentido isso? Veja que o intervalo construído ou contém ou não contém a média, porque o parâmetro de interesse é uma constante desconhecida, ou seja, ou o intervalo conterá esse valor ou não.

Vamos criar uma função no R que recebe um vetor numérico e retorna o IC para a média de uma distribuição normal com variância populacional conhecida.

#Criando uma função que calcula o IC para a média de uma população normal com variância conhecida
IC.media = function(x,conf,sigma){
  n = length(x)
  x.barra = mean(x, na.rm = TRUE)
  alfa = 1 - conf
  z = qnorm(p = 1 - alfa/2,
            mean = 0,
            sd = 1)
  LI = round(x.barra - z*sigma/sqrt(n),
             digits = 2)
  LS = round(x.barra + z*sigma/sqrt(n),
             digits = 2)
  cat("IC(média,",conf*100,"%):[",LI,";",LS,"]", sep="")
}

#Carregando o pacote tidyverse
library(tidyverse)

#Criando um tibble com o peso (em Kg) e o sexo dos indivíduos.
base = tibble(peso = c(68.5,80,73.4,100.2,97,60.5,82,95.7,58,74.6),
              sexo = c("F","M","F","M","M","F","M","M","F","F"))

#Calculando o intervalo de confiança para o peso médio supondo a variância 
#é de 225 kg ao quadrado
IC.media(x = base$peso,
         conf = 0.95,
         sigma = 15)

IC(média,95%):[69.69;88.29]

Atividade 1: Leia o arquivo base saude.txt e salve em um objeto chamado saude. Sabe-se que o código 9 foi utilizado para indicar valores faltantes.

Atividade 2: Calcule o IC par a média da variável Idade, assumindo que a variável em questão possui distribuição normal com variância 16.

Atividade 3: Melhore a função que calcula o IC para a média, isto é, faça com que ela retorne além da estimativa intervalar para idade, também retorne uma estimativa pontual e todas as estimativas fornecidas possuam 2 casas decimais.