Diseños Factoriales Generales

Anteriormente se estudiaron los diseños en bloques, donde sólo se tiene un factor de tratamiento, y el resto son factores de bloques que tienen una importancia secundaria en la investigación experimental. El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés sobre todos los factores. Por ejemplo, uno de los objetivos particulares más importantes que frecuentemente tiene un diseño factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la que el desempeño del proceso sea mejor (Pulido & Vara Salazar, 2012).

Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, etc), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc). Para estudiar la manera en la que influye cada factor sobre la variable de respuesta, es necesario al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Con el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles de los factores a investigar(Pulido & Vara Salazar, 2012).

Para comprender de mejor manera los diseños factoriales, es necesario observar los siguientes conceptos básicos:

Arreglo factorial. Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinación de niveles de los factores.
Diseño factorial. Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas.
Factor Cualitativo. Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal. ejemplos: máquinas, lotes, marcas, etc.
Factor Cuantitativo. Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, como por ejemplo: temperatura, velocidad, presión, etc.
Efecto de un Factor. Es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel en el factor.
Efecto principal. Es igual a la respuesta promedio observada en el nivel alto de un factor, menos la respuesta promedio en el nivel bajo.
Efecto de interacción. Dos factores interactúan de manera significativa sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que está el otro.
Réplica. Es cada corrida de todos los tratamientos del arreglo factorial.
Cuadrados medios. Las sumas de cuadrados divididos entre sus correspondientes grados de libertad.

Ventajas de los diseños factoriales

Según (Pulido & Vara Salazar, 2012), las ventajas de los diseños factoriales son las siguientes:

Permiten estudiar el efecto individual y de interacción de los diferentes factores.
Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se requiera una exploración más completa.
Se pueden correr fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando interesa descartar de manera económica los que no son importantes.

Diseño Factorial General con Dos Factores

Consideremos ahora el diseño experimental con dos factores, A y B, los cuales, como se mencionó anteriormente, por lo menos deben de tener 2 niveles cada uno \((a,b)>2\). Con ellos se puede construir el arreglo factorial \(a{\times}b\), el cual consiste en \(a{\times}b\) tratamientos, mismos que, generalmente están replicados \(n\) veces, lo cual genera el arreglo factorial \(a{\times}b{\times}n\).

Modelo Estadístico

El modelo estadístico para este diseño experimental considera la interacción entre los factores involucrados en el análsis, la ecuación para este modelo se muestra a continuación:

\[y_{ijk}=\mu+\tau_i+\beta_j+\tau\beta_{ij}+\varepsilon_{ijk}\] Donde \(\mu\) es la media general del experimento, \(\tau_i\) es el efecto debido al \(i\)-ésimo nivel del factor A, \(\beta_j\) es el efecto del \(j\)-ésimo nivel del factor B, \(\tau\beta_{ij}\) representa el efecto de interacción de la combinación \(ij\), y \(\varepsilon_{ijk}\) es el error aleatorio que , se supone, sigue una distribución normal con \(\mu=0\) y \(\sigma^2=Constante\), además de que son independientes entre sí.

Para establecer la influencia de los factores analizados en la variable de respuesta será necesario probar las siguientes hipótesis de trabajo:

Para los efectos del factor A:

\[H_0:\tau_i=\tau_j=0\] \[H_1:\tau_i\neq\tau_j\neq0\] Para los efectos del factor B:
\[H_0:\beta_i=\beta_j=0\] \[H_1:\beta_i\neq\beta_j\neq0\] Para los efectos de la interacción de A y B:
\[H_0:\tau\beta_{ii}=\tau\beta_{jj}=0\] \[H_1:\tau\beta_{ii}\neq\tau\beta_{jj}\neq0\] Para probar las hipótesis anteriores será necesario realizar un Análisis de Varianza, cuya Tabla ANOVA se construye de la siguiente manera:

Tabla ANOVA para el diseño factorial \(a{\times}b\) (Pulido & Vara Salazar, 2012).
Fuente de Variabilidad	Suma de Cuadrados	Grados de Libertad	Cuadrado Medio	\(F_0\)	Valor-p
Efecto A	\(SC_A\)	\(a-1\)	\(CM_A\)	\(CM_A\)/\(CM_E\)	\(P(F>{F_0}^{A})\)
Efecto B	\(SC_B\)	\(b-1\)	\(CM_B\)	\(CM_B\)/\(CM_E\)	\(P(F>{F_0}^{B})\)
Efecto AB	\(SC_AB\)	\((a-a)(b-1)\)	\(CM_AB\)	\(CM_AB\)/\(CM_E\)	\(P(F>{F_0}^{AB})\)
Error	\(SC_E\)	\(ab(n-1)\)	\(CM_E\)
Total	\(SC_T\)	\(abn-1\)

En lo general, se procederá de la misma forma en que se trabajan los diseños anteriormente vistos, con la diferencia de que habrá que probar un efecto más, el efecto de interacción. Por lo que, al igual que en los diseños en bloques, si se encuentran diferencias significativas entre los niveles de los factores analizados, habrá que realizar las correspondientes pruebas de rango múltiple, que para el caso particular se utilizará la Prueba de Duncan, para lo cual sugiero revisen el siguiente enlace con las consideraciones de la misma:

Ver enlace

De la misma manera en que hemos venido trabajando en lo diseños experimentales anteriores, será necesario ejecutar las pruebas de adecuación, estas están revisadas previamente y ya no se abundará ellas. A manera de recordatorio, las citada pruebas son:

Prueba de Normalidad de Residuos
Prueba de independencia
Prueba de homocedasticidad

Diseño factorial \(2^2\)

Un caso particular de los diseños factoriales generales con dos factores son los diseños factoriales \(2^k\), que son útiles principalemnte cuando el número de factores a estudiar está entre dos y cinco \((2{\leq}k{\leq}5)\), rango en el cual su tamaño se encuentra entre 4 y 32 tratamientos; esta cantidad es manejable en muchas situaciones experimentales. Si el número de factores es mayor que cinco se recomienda utilizar un factorial fraccionado \({2^{k-p}}\). En general, los factoriales en dos niveles, sean completos o fraccionados, constituyen el conjunto de diseños de mayor impacto en las aplicaciones, debido a su eficacia y versatilidad (Pulido & Vara Salazar, 2012).

Ejemplo

En un artículo de AT&T Technical Journal (vol. 65, pp. 39-50) se describe la aplicación de diseños factoriales de dos niveles en la fabricación de circuitos integrados. Un paso básico del procesamiento es hacer crecer una capa epitaxial sobre obleas de silicio pulidas. Las obleas se montan en un susceptor, se colocan en el interior de una campana de cristal y se introducen vapores químicos. El susceptor se hace girar y se aplica calor hasta que la capa epitaxial tiene el espesor suficiente. Se corrió un experimento utilizando dos factores: rapidez de flujo de arsénico (A) y tiempo de deposición (B). Se corrieron cuatro réplicas y se midió el la capa epitaxial (en \(\mu\)m). Los datos se muestran a continuación (Montgomery, 2004):

A	B	I	II	III	IV	Factor	Bajo (-)	Alto (+)
-	-	14.037	16.165	13.972	13.907	A	55%	59%
+	-	13.880	13.860	14.032	13.914
-	+	14.821	14.757	14.843	14.878	B	Corto	Largo
+	+	14.888	14.921	14.415	14.932		10 min	15 min

: Tabla de datos para el ejemplo.

Dado lo anterior, resuelva de manera clara y ordenada los siguientes incisos:

Estime los efectos de los factores
Ejecute un análisis de varianza ¿Qué factores son importantes?
Escriba una ecuación de regresión que podría usarse para predecir el espesor de la capa epitaxial en la región de la velocidad de flujo del arsénico y el tiempo de deposición utilizado en este experimento.
Analice los residuales. ¿Se observa algún residual que debiera causar preocupación?
Comentar la forma en que se podría resolver el punto atípico potencial encontrado en el inciso d.

Desarrollo del Ejercicio

a) Estime los efectos de los factores

Como primer paso debemos importar los datos desde el archivo que los contiene, ubicado en la carpeta de trabajo, que para este caso se llama dataset.txt.

library(printr)

## Registered S3 method overwritten by 'printr':
##   method                from     
##   knit_print.data.frame rmarkdown

datos=read.table("dataset.txt",header = TRUE)
str(datos)

## 'data.frame':    16 obs. of  3 variables:
##  $ capa    : num  14 13.9 14.8 14.9 16.6 ...
##  $ Arsenico: int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ Tiempo  : int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...

attach(datos)

Para efectos de resolver adecuadamente el ejercicio, reescribimos la tabla, de manera que sea interpretada como un conjunto de variables, quedando de la siguiente manera:

head(datos, n= 16L)

Tabla de datos reescrita
capa	Arsenico	Tiempo
14.037	-1	-1
13.880	1	-1
14.821	-1	1
14.888	1	1
16.615	-1	-1
13.860	1	-1
14.757	-1	1
14.921	1	1
13.972	-1	-1
14.032	1	-1
14.843	-1	1
14.415	1	1
13.907	-1	-1
13.914	1	-1
14.878	-1	1
14.932	1	1

Para calcular los efectos de los factores, debemos considerar que en la ejecución de un diseño factorial completo de la familia \(2^2\) es necesario considerar el factor de interacción; el modelo matemático que relaciona los efectos de los factores en la variable de salida se escribe de la siguiente manera: \[{y_{ij}}={\mu}+{\tau_i}+{\beta_j}+{\varepsilon_{ij}}\]

Según Montgomery, en un diseño factorial con dos niveles, el efecto primedio de un factor puede definirse como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de ese factor promediado para para los niveles del otro factor(Montgomery, 2004).
Dicho lo anterior, para el caso del factor A, el efecto promedio, utilizando la notación de Yates, se define como:
\[A={\frac{1}{2n}}[ab+a-b-(1)]\] Para el caso del factor B, se define de la siguiente manera: \[B={\frac{1}{2n}}[ab+b-a-(1)]\] En el caso del efecto de interacción AB, se define como la diferencia promedio entre el efecto de A con el nivel alto de B y el efecto de A con el nivel bajo de B, por lo tanto: \[AB={\frac{1}{2n}}[ab+(1)-a-b]\] Para determinar los efectos, utilizamos el siguiente código:

modelo=lm(capa~(Arsenico+Tiempo+Arsenico*Tiempo))
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = capa ~ (Arsenico + Tiempo + Arsenico * Tiempo))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.72575 -0.14431 -0.00563  0.10188  1.98225 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      14.5420     0.1686  86.229   <2e-16 ***
## Arsenico         -0.1868     0.1686  -1.107    0.290    
## Tiempo            0.2649     0.1686   1.571    0.142    
## Arsenico:Tiempo   0.1689     0.1686   1.001    0.336    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.6746 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2813, Adjusted R-squared:  0.1016 
## F-statistic: 1.565 on 3 and 12 DF,  p-value: 0.249

library(FrF2)
experimento=FrF2(nruns = 4, nfactors = 2, factor.names = list(Arsenico=c(-1,1),Tiempo=c(-1,1)),replications = 4,randomize = FALSE)
experimento_respuesta=add.response(design=experimento,response = capa)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_respuesta, main= "Gráfica de Efectos Individuales")

grafica_interacciones=IAPlot(experimento_respuesta, main= "Gráfica de Interacciones")

head(grafica_efectos_principales)

	Arsenico	Tiempo
-	14.72875	14.27712
+	14.35525	14.80687

head(grafica_interacciones)

	Arsenico:Tiempo
-:-	14.63275
+:-	13.92150
-:+	14.82475
+:+	14.78900

Incisos B y C

En el caso de las gráficas de efectos individuales, o de efectos principales, es de observarse que una rapidez de flujo de arsénico al 55% de su capacidad genera un grosor de la capa epitaxial de 14.72875 \({\mu}m\) en promedio, mientras que un flujo de dicha sustancia al 59% de su capacidad genera un grosor de la capa de 14.35525 \({\mu}m\) en promedio, para el caso del tiempo, un lapso corto de tiempo (10 min) de exposición a los vapores químicos produce en promedio un grosor de la capa epitaxial de 14.27712 \({\mu}m\), mientras que un tiempo de exposición largo (15 min), produce un grosor promedio de la capa de 14.80687 \({\mu}m\). Podría concluirse entonces que un tiempo de exposición a los vapores químicos largo produce un mayor grosor de la capa, inclusive mayor que un flujo al 59% de capacidad del flujo de arsénico, por lo que el tiempo se considera el factor principal.
Sin embargo, es necesario observar tambíén las gráficas de interacciones, mismas que reportan una interacción importante entre los factores. Cuando el flujo de arsénico se encuentra a un 55% de su capacidad de flujo y el tiempo de exposición es corto, se produce un grosor promedio de 14.63275 \({\mu}m\), mientras que si se mantiene el flujo de arsénico en este nivel de operación pero se opera el sistema para un tiempo largo de exposición se genera un grosor promedio de la capa de 14.82475 \({\mu}m\), estos hechos dan evidencia de una interacción entre el flujo de arsénico y el tiempo de exposición. En el caso del flujo de arsénico en un nivel de funcionamiento de 59%, si se mantiene el sistema operando para un tiempo corto de exposición se obtiene un grosor promedio de 13.92150 \({\mu}m\), mientras que si se mantiene operando el sistema con un flujo de arsénico al 59% de su capacidad y un tiempo largo de exposición, se obtiene un grosor promedio de la capa de 14.78900 \({\mu}m\). Para establecer de manera definitiva cuales son los niveles de operación del sistema, es conveniente verificar la significancia tanto de los factores de manera individual como de las interacciones, para tal caso se ejecuta el Análisis de Varianza (ANOVA) correspondiente, mediante la siguiente secuencia de comandos:

anova=aov(modelo)
summary(anova)

##                 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Arsenico         1  0.558  0.5580   1.226  0.290
## Tiempo           1  1.123  1.1225   2.467  0.142
## Arsenico:Tiempo  1  0.456  0.4563   1.003  0.336
## Residuals       12  5.461  0.4551

Como es de observarse, el \(Valor_p\) para el efecto producido por el flujo de arsénico no es significativo, dado que, considerando un nivel de significancia de \({\alpha}=0.05\), \(Valor_p>{\alpha}\), por lo que se de acepta la hipótesis nula y se concluye que no existen diferencias significativas entre los grosores promedio producido por los niveles del factor de tratamiento considerados para el flujo de arsénico.
Para el caso del factor tiempo de exposición, se concluye que no existen diferencias significativas entre los niveles probados para este factor, dado que \(Valor_p>{\alpha}\), por lo que se acepta la hipótesis nula para los niveles del factor en comento.
Para el caso de las interacciones, se concluye que no existen diferencias significativas entre las diferentes interacciones generadas, dado que \(Valor_p>{\alpha}\), lo que lleva ala conclusión de que, si bien existen interacciones evidentes, éstas no son los suficientemente fuertes para provocar cambios importantes en el grosor de la capa epitaxial resultante.

Para el caso del modelo estadístico, el resultado obtenido reporta que los coeficientes de regresión dados los datos presentados quedarían representados de la siguiente manera:

\[{Grosor_{ij}=14.5420-0.1868{Porcentaje_i}+0.2649{Tiempo_j}+0.1689{Porcentaje{Tiempo}_{ij}+{\varepsilon}_{ij}}}\]

Una vez realizado el Análisis de Varianza, es importante verificar las pruebas de adecuación del modelo, para lo cual se efectuarán las siguientes pruebas:

Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro Wilks
Prueba de Barttlet para Igualdad de Varianzas

Inciso d

Pruebas de Adecuación

Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk

Para el caso específico de la normalidad, procederemos a utilizar la Prueba de Bondad de Ajuste a la Distribución Normal de Shapiro-Wilks, aunque cabe mencionar que puede utilizarse cualquier otra, como Kolmogorov-Smirnov o Anderson-Darlind, la prueba de Shapiro-Wilks está diseñada específicamente para la Distribución Normal(Montgomery, 2004).
Para realizar esta prueba debemos plantear las siguientes hipótesis de trabajo:

\[ H_0: {x \in N(\mu=0,\sigma^2=Constante)} \] \[ H_1: {x \not\in N(\mu=0,\sigma^2=Constante)} \] La hipótesis nula de la Prueba de Shapiro-Wilks se rechaza cuando \(Valor_p<0.05\), siempre es recomendable realizar una gráfica de probabilidad normal para confirmar la prueba de hipótesis, para lo cual utilizaremos la siguiente secuencia de comandos:

normalidad=shapiro.test(resid(modelo))
print(normalidad)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo)
## W = 0.69647, p-value = 0.0001543

#Gráfica de Probabiliad Normal
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))

Los resultados obtenidos para la prueba de Shapiro-Wilk dan evidencia de la falta de normalidad en los residuos, situación que se confirma mediante la Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo, esto lleva a la conclusión de que, para este caso particular, existen datos atípicos para el modelo propuesto, mismos que provocan que dicho modelo no sea el adecuado para explicar el grosor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición al baño químico al que se somenten las obleas de silicio pulido.

Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett

La Prueba de Homocedasticidad, o de Varianzas Iguales, se realiza mediante la Prueba de Bartlett, misma que para el caso particular, como sólo es significativo el factor de tratamiento, solo se considerará éste para la ejecución de la prueba(Pulido & Vara Salazar, 2012).
La Prueba de Bartlett tiene las siguientes hipótesis:

\[ H_0:\sigma^2_i=\sigma^2_j=Constante \] \[ H_1:\sigma^2_i\neq\sigma^2_j\neq Constante \] La Prueba de Bartlett se realiza con la siguiente línea de comandos, misma que se efectúa por separado para cada factor

homocedasticidad_flujo=bartlett.test(capa~Arsenico, data=datos)
print(homocedasticidad_flujo)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  capa by Arsenico
## Bartlett's K-squared = 2.0048, df = 1, p-value = 0.1568

homocedasticidad_tiempo=bartlett.test(capa~Tiempo, data=datos)
print(homocedasticidad_tiempo)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  capa by Tiempo
## Bartlett's K-squared = 13.934, df = 1, p-value = 0.0001893

Para que se pueda aceptar la igualdad de varianzas, es necesario que los residuales sean homocedásticos para todos los factores, y en el caso de el factor Tiempo de exposición, se rechaza la hipótesis de igualdad de varianzas.
Dado lo anterior, se concluye que el modelo no es adecuado para explicar los cambios en el grosor de la capa epitaxial en función del flujo de arsénico y el tiempo de exposición al baño químico para las obleas de silicio pulido.

Inciso e

Para el caso de los datos atípico existen varias alternativas, mismas que se reportan en el siguiente enlace: