Os primeiros 20 múltiplos de 7 são: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140
Para os três primeiros itens, utiliza-se da seguinte expressão para obter a probabilidade a seguir da variável \(X\) com distribuição Normal\((\mu = 35, \sigma = 3)\):
\[P(X < x) = P \left( Z < \frac{x - \mu}{\sigma} \right)\]
Dessa forma, obtém-se que, para uma aproximação de 2 casas decimais:
O gráfico da função de densidade de X está exposto na figura 1 a seguir, na qual a linha cinza vertical representa a média da distribuição.
Figura 1: função de densidade da variável com distribução normal X
Para os itens a seguir, foram utilizados os dados disponíveis no R chamados mtcars.
A tabela a seguir expõe as observações de carros ordenadas de forma decrescente pela variável wt. Por uma questão de simplicidade de exposição, apenas o modelo e a variável de interesse são expostos.
A tabela a seguir indica a quantidade de carros observados dentro de cada categoria de cilindros (cyl), as quais podem assumir valores de 4, 6 ou 8 cilindros.
| Cilindros | n |
|---|---|
| 4 | 11 |
| 6 | 7 |
| 8 | 14 |
Por fim, a tabela seguinte complementa informações de cavalo de força (hp) sobre os carros agregados por quantidade de cilindros. O cálculo da variância é realizado para variância populacional1.
| Cilindros | n | Média hp | Variância hp |
|---|---|---|---|
| 4 | 11 | 82.64 | 398.41 |
| 6 | 7 | 122.29 | 504.49 |
| 8 | 14 | 209.21 | 2413.03 |
Considerando os dados a respeito de árvores de pequi fornecidos, as medidas para cada indivíduo foram agregadas em suas médias, desconsiderando possíveis dados faltantes nas medidas.
Utilizando a semente geradora set.seed(2007), os 5 indivíduos constantes na tabela seguinte compõem uma amostra, cujas medidas são todas médias das medidas originais. As médias foram aproximadas para duas casas decimais.
| Individuo | Comprimento (mm) | Diâmetro maior (mm) | D menor (mm) | Massa (g) | Espessura da casca (mm) |
|---|---|---|---|---|---|
| H17 | 55.84 | 55.27 | 48.38 | 82.69 | 10.75 |
| H29 | 61.85 | 58.98 | 52.08 | 98.86 | 12.73 |
| E40 | 52.73 | 58.71 | 49.09 | 89.25 | 10.69 |
| F32 | 42.68 | 54.98 | 47.41 | 65.95 | 7.55 |
| G32 | 49.19 | 66.69 | 51.12 | 104.23 | 10.09 |
De modo a facilitar o cálculo, isso foi feito utilizando a função var() e aplicando (multiplicando por) o inverso da correção de viés para a variância amostral, qual seja \(\frac{n-1}{n}\)↩︎