Expansión de la CASEN sobre el CENSO (Región 09)

P17 ¿Trabajó por un pago o especie?: Correlación: 0.8717

VE-CC-AJ

DataIntelligence

date: 20-07-2021

1 Resumen

Expandiremos los ingresos promedios (multiplicación del ingreso promedio y los habitantes) obtenidos de la CASEN 2017 sobre la categoría de respuesta: “Trabajó por un pago o especie” del campo P17 del CENSO de viviendas -del 2017-, que fue la categoría de respuesta que más alto correlacionó con los ingresos expandidos, ambos a nivel comunal.

Haremos el análisis sobre la región 09.

Ensayaremos diferentes modelos dentro del análisis de regresión cuya variable independiente será: “frecuencia de población que posee la variable Censal respecto a la zona” y la dependiente: “ingreso expandido por zona por proporción zonal a nivel comunal (multipob)”

Lo anterior para elegir el que posea el mayor coeficiente de determinación y así contruir una tabla de valores predichos.

2 Generación de ingresos expandidos a nivel Urbano

En adelante sólo llamaremos al rds ya construído llamado “Ingresos_expandidos_urbano_17.rds”


2.1 Variable CENSO

Necesitamos calcular las frecuencias a nivel censal de las respuestas correspondientes a la categoría: “Trabajó por un pago o especie” del campo P17 del Censo de personas. Recordemos que ésta fué la más alta correlación en relación a los ingresos expandidos (ver punto 2 Correlaciones aquí).

2.1.1 Lectura y filtrado de la tabla censal de personas

Leemos la tabla Censo 2017 de personas que ya tiene integrada la clave zonal:

tabla_con_clave <- 
readRDS("../../../ds_correlaciones_censo_casen/corre_ing_exp-censo_casen/censos_con_clave/censo_personas_con_clave_17")
r3_100 <- tabla_con_clave[c(1:100),]
kbl(r3_100) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover")) %>%
  kable_paper() %>%
  scroll_box(width = "100%", height = "300px")
REGION PROVINCIA COMUNA DC AREA ZC_LOC ID_ZONA_LOC NVIV NHOGAR PERSONAN P07 P08 P09 P10 P10COMUNA P10PAIS P11 P11COMUNA P11PAIS P12 P12COMUNA P12PAIS P12A_LLEGADA P12A_TRAMO P13 P14 P15 P15A P16 P16A P16A_OTRO P17 P18 P19 P20 P21M P21A P10PAIS_GRUPO P11PAIS_GRUPO P12PAIS_GRUPO ESCOLARIDAD P16A_GRUPO REGION_15R PROVINCIA_15R COMUNA_15R P10COMUNA_15R P11COMUNA_15R P12COMUNA_15R clave
15 152 15202 1 2 6 13225 1 1 1 1 1 73 1 98 998 3 15101 998 1 98 998 9998 98 2 4 6 2 1 2 98 7 98 98 98 98 9998 998 998 998 4 2 15 152 15202 98 15101 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 3 1 1 1 1 78 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 7 98 98 98 98 9998 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 3 1 2 2 2 78 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 7 98 1 1 3 1965 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 3 1 3 5 2 52 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 2 5 2 1 2 98 7 98 2 1 4 1995 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 3 1 4 11 1 44 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 3 5 2 1 2 98 1 Z 98 98 98 9998 998 998 998 3 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 9 1 1 1 1 39 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 8 5 1 1 2 98 8 98 98 98 98 9998 998 998 998 8 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 9 1 2 2 2 35 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 6 5 2 1 2 98 1 Z 2 2 11 2004 998 998 998 6 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 9 1 3 5 1 13 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 7 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 7 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 9 1 4 5 1 12 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 6 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 6 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 10 1 1 1 2 65 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 4 5 2 1 2 98 6 98 3 3 9 1992 998 998 998 4 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 13 1 1 1 1 50 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 5 5 2 1 2 98 1 Z 98 98 98 9998 998 998 998 5 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 13 1 2 4 2 43 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 6 5 2 1 2 98 6 98 2 2 3 2002 998 998 998 6 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 13 1 3 5 1 15 3 15201 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 1 7 2 1 2 98 8 98 98 98 98 9998 998 998 998 9 2 15 152 15202 15201 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 16 1 1 1 1 75 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 7 98 98 98 98 9998 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 16 1 2 16 2 58 4 98 68 6 98 998 5 98 998 9999 1 3 98 98 98 1 2 98 7 98 4 4 99 9999 68 68 68 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 16 1 3 2 2 70 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 7 98 5 4 99 9999 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 1 1 2 43 2 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 8 5 1 1 2 98 1 I 3 3 9 2008 998 998 998 8 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 2 4 1 55 2 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 6 5 2 1 2 98 6 98 98 98 98 9998 998 998 998 6 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 3 5 2 13 2 98 998 2 98 998 2 15101 998 9998 98 1 7 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 7 2 15 152 15202 98 98 15101 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 4 5 1 8 2 98 998 2 98 998 2 15101 998 9998 98 1 2 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 98 15101 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 5 15 2 29 2 98 998 4 98 998 3 98 998 2015 1 2 6 5 2 1 2 98 6 98 5 5 11 2014 998 604 604 6 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 6 15 1 4 2 98 998 1 98 998 5 98 998 2015 1 1 0 1 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 68 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 7 15 2 2 2 98 998 1 98 998 3 98 998 2015 1 1 0 1 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 604 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 17 1 8 15 1 16 2 98 998 6 98 998 1 98 998 9998 98 2 4 5 2 1 2 98 6 98 98 98 98 9998 998 68 998 4 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 18 1 1 1 2 74 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 2 5 2 1 2 98 6 98 2 2 12 1976 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 19 1 1 1 1 68 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 7 98 98 98 98 9998 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 20 1 1 1 1 74 1 98 998 3 15101 998 1 98 998 9998 98 2 2 5 2 1 2 98 1 Z 98 98 98 9998 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 15101 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 20 1 2 2 2 65 1 98 998 3 997 998 3 98 998 9999 2 2 2 5 2 1 2 98 6 98 2 2 9 1982 998 998 604 2 2 15 152 15202 98 997 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 25 1 1 1 2 76 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 6 98 8 6 3 1981 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 25 1 2 5 2 36 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 4 8 1 1 2 98 1 A 0 98 98 9998 998 998 998 12 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 28 1 1 1 2 31 1 98 998 2 98 998 5 98 998 2007 2 2 5 5 2 1 2 98 1 A 2 2 4 2008 998 998 68 5 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 28 1 2 4 1 35 1 98 998 2 98 998 5 98 998 2007 2 2 6 5 2 1 2 98 1 F 98 98 98 9998 998 998 68 6 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 28 1 3 5 1 11 1 98 998 2 98 998 5 98 998 2007 2 1 5 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 68 5 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 28 1 4 5 1 8 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 2 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 28 1 5 15 2 74 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 3 5 2 1 2 98 6 98 6 6 99 9999 998 998 998 3 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 33 1 1 1 1 41 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 8 5 1 1 2 98 1 Z 98 98 98 9998 998 998 998 8 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 33 1 2 2 2 47 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 8 5 1 1 2 98 1 A 2 1 4 1996 998 998 998 8 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 33 1 3 14 1 88 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 3 98 98 98 1 2 98 7 98 98 98 98 9998 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 33 1 4 14 1 65 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 2 5 2 1 2 98 7 98 98 98 98 9998 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 36 1 1 1 2 59 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 2 5 2 1 2 98 6 98 8 8 2 1998 998 998 998 2 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 36 1 2 2 1 56 1 98 998 99 99 999 1 98 998 9998 98 2 2 5 2 1 2 98 6 98 98 98 98 9998 998 999 998 2 2 15 152 15202 98 99 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 36 1 3 5 2 36 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 8 5 1 1 2 98 6 98 2 2 7 2010 998 998 998 8 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 36 1 4 12 2 13 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 7 5 2 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 7 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
15 152 15202 1 2 6 13225 36 1 5 12 2 6 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 1 0 3 1 1 2 98 98 98 98 98 98 9998 998 998 998 0 2 15 152 15202 98 98 98 15202012006
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15 152 15202 1 2 15 4094 8 1 5 17 2 35 2 98 998 6 98 998 5 98 998 2016 1 2 8 5 1 1 2 98 1 I 2 2 3 2007 998 68 68 8 2 15 152 15202 98 98 98 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 8 1 6 17 1 36 3 13123 998 3 13123 998 2 12101 998 9998 98 2 5 12 1 2 98 98 1 J 98 98 98 9998 998 998 998 17 98 15 152 15202 13123 13123 12101 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 8 1 7 17 2 25 2 98 998 3 15101 998 2 15101 998 9998 98 2 5 12 1 1 2 98 1 Q 1 1 12 2011 998 998 998 17 2 15 152 15202 98 15101 15101 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 9 1 1 1 1 72 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 1 5 2 1 2 98 1 G 98 98 98 9998 998 998 998 1 2 15 152 15202 98 98 98 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 12 1 1 1 1 21 1 98 998 3 15101 998 2 15101 998 9998 98 2 4 8 1 1 2 98 1 N 98 98 98 9998 998 998 998 12 2 15 152 15202 98 15101 15101 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 15 1 1 1 1 61 1 98 998 2 98 998 1 98 998 9998 98 2 3 7 2 1 2 98 4 98 98 98 98 9998 998 998 998 11 2 15 152 15202 98 98 98 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 15 1 2 5 2 31 1 98 998 3 15101 998 1 98 998 9998 98 2 4 12 1 1 2 98 1 P 1 1 10 2007 998 998 998 16 2 15 152 15202 98 15101 98 15202012015
15 152 15202 1 2 15 4094 16 1 1 1 1 34 1 98 998 3 15101 998 1 98 998 9998 98 2 5 12 1 1 2 98 1 O 98 98 98 9998 998 998 998 17 2 15 152 15202 98 15101 98 15202012015


Despleguemos los códigos de regiones de nuestra tabla:

regiones <- unique(tabla_con_clave$REGION)
regiones
##  [1] 15 14 13 12 11 10  9 16  8  7  6  5  4  3  2  1

Hagamos un subset con la region = 9, y área URBANA = 1.

tabla_con_clave <- filter(tabla_con_clave, tabla_con_clave$REGION == 9) 
tabla_con_clave <- filter(tabla_con_clave, tabla_con_clave$AREA== 1)

2.1.2 Cálculo de frecuencias

Obtenemos las frecuencias a la pregunta P17 por zona:

tabla_con_clave_f <- tabla_con_clave[,-c(1,2,4:31,33:48),drop=FALSE]

Renombramos y filtramos por la categoria Trabajo por un sueldo == 1:

names(tabla_con_clave_f)[2] <- "Trabajo por un sueldo"
tabla_con_clave_ff <- filter(tabla_con_clave_f, tabla_con_clave_f$`Trabajo por un sueldo` == 1)
# Determinamos las frecuencias por zona:
b <- tabla_con_clave_ff$clave
c <- tabla_con_clave_ff$`Trabajo por un sueldo`
d <- tabla_con_clave_ff$COMUNA
cross_tab =  xtabs( ~ unlist(b) + unlist(c)+ unlist(d))
tabla <- as.data.frame(cross_tab)
d <-tabla[!(tabla$Freq == 0),]
names(d)[1] <- "zona" 
d$anio <- "2017"

head(d,5)
##         zona unlist.c. unlist.d. Freq anio
## 1 9101011001         1      9101  928 2017
## 2 9101011002         1      9101 1550 2017
## 3 9101011003         1      9101 1101 2017
## 4 9101011004         1      9101  309 2017
## 5 9101011005         1      9101 1310 2017

Agregamos un cero a los códigos comunales de cuatro dígitos:

codigos <- d$unlist.d.
rango <- seq(1:nrow(d))
cadena <- paste("0",codigos[rango], sep = "")
cadena <- substr(cadena,(nchar(cadena)[rango])-(4),6)
codigos <- as.data.frame(codigos)
cadena <- as.data.frame(cadena)
comuna_corr <- cbind(d,cadena)
comuna_corr <- comuna_corr[,-c(2,3),drop=FALSE]
names(comuna_corr)[4] <- "código"

2.1.3 Tabla de frecuencias:

head(comuna_corr,5)
##         zona Freq anio código
## 1 9101011001  928 2017  09101
## 2 9101011002 1550 2017  09101
## 3 9101011003 1101 2017  09101
## 4 9101011004  309 2017  09101
## 5 9101011005 1310 2017  09101
nrow(comuna_corr)
## [1] 269

y obtenemos la tabla de frecuencias de respuesta a la categoría = 1 de la pregunta P17 a nivel zonal.


2.2 Variable CASEN

2.2.1 Tabla de ingresos expandidos

Hemos calculado ya éste valor como conclusión del punto 1.1 de aquí

h_y_m_2017_censo <- readRDS("../../../ds_correlaciones_censo_casen/corre_ing_exp-censo_casen/ingresos_expandidos_urbano_17.rds")
head(h_y_m_2017_censo,5)
##   código personas        comuna promedio_i  año ingresos_expandidos
## 1  01101   191468       Iquique   375676.9 2017         71930106513
## 2  01107   108375 Alto Hospicio   311571.7 2017         33766585496
## 3  01401    15711  Pozo Almonte   316138.5 2017          4966851883
## 7  01405     9296          Pica   330061.1 2017          3068247619
## 8  02101   361873   Antofagasta   368221.4 2017        133249367039
nrow(h_y_m_2017_censo)
## [1] 312

Unión Censo-Casen:

comunas_censo_casen = merge( x = comuna_corr, y = h_y_m_2017_censo, by = "código", all.x = TRUE)
comunas_censo_casen <- comunas_censo_casen[,-c(4)]
head(comunas_censo_casen,5)
##   código       zona Freq personas comuna promedio_i  año ingresos_expandidos
## 1  09101 9101011001  928   282415 Temuco   294512.7 2017         83174794799
## 2  09101 9101011002 1550   282415 Temuco   294512.7 2017         83174794799
## 3  09101 9101011003 1101   282415 Temuco   294512.7 2017         83174794799
## 4  09101 9101011004  309   282415 Temuco   294512.7 2017         83174794799
## 5  09101 9101011005 1310   282415 Temuco   294512.7 2017         83174794799
nrow(comunas_censo_casen)
## [1] 269

2.3 Unión de la proporción zonal por comuna con la tabla censo-casen:

Para calcular la variable multipob, debemos calcular:

\[ multipob = promedio\_i \cdot personas \cdot p\_poblacional \]

Del censo obtenemos la cantidad de población a nivel de zona y estimamos su proporción a nivel comunal. Ya hemos calculado ésta proporción aquí.

2.3.1 Ingreso promedio expandido por zona (multi_pob)

En éste momento vamos a construir nuestra variable dependiente de regresión aplicando la siguiente fórmula:

Para calcular la variable multipob, debemos:

\[ multipob = promedio\_i \cdot personas \cdot p\_poblacional \]

Unimos:

tabla_de_prop_pob <- readRDS("../../../../archivos_grandes/tabla_de_prop_pob.rds")
names(tabla_de_prop_pob)[1]  <- "zona"
comunas_censo_casen = merge( x = comunas_censo_casen, y = tabla_de_prop_pob, by = "zona", all.x = TRUE)
head(comunas_censo_casen,5)
##         zona código.x Freq.x personas comuna promedio_i  año
## 1 9101011001    09101    928   282415 Temuco   294512.7 2017
## 2 9101011002    09101   1550   282415 Temuco   294512.7 2017
## 3 9101011003    09101   1101   282415 Temuco   294512.7 2017
## 4 9101011004    09101    309   282415 Temuco   294512.7 2017
## 5 9101011005    09101   1310   282415 Temuco   294512.7 2017
##   ingresos_expandidos Freq.y           p código.y
## 1         83174794799   2220 0.007860772    09101
## 2         83174794799   3909 0.013841333    09101
## 3         83174794799   2067 0.007319016    09101
## 4         83174794799    662 0.002344068    09101
## 5         83174794799   2592 0.009177983    09101

Creamos:

comunas_censo_casen$multipob <- comunas_censo_casen$ingresos_expandidos*comunas_censo_casen$p
head(comunas_censo_casen,5)
##         zona código.x Freq.x personas comuna promedio_i  año
## 1 9101011001    09101    928   282415 Temuco   294512.7 2017
## 2 9101011002    09101   1550   282415 Temuco   294512.7 2017
## 3 9101011003    09101   1101   282415 Temuco   294512.7 2017
## 4 9101011004    09101    309   282415 Temuco   294512.7 2017
## 5 9101011005    09101   1310   282415 Temuco   294512.7 2017
##   ingresos_expandidos Freq.y           p código.y   multipob
## 1         83174794799   2220 0.007860772    09101  653818120
## 2         83174794799   3909 0.013841333    09101 1151250015
## 3         83174794799   2067 0.007319016    09101  608757682
## 4         83174794799    662 0.002344068    09101  194967385
## 5         83174794799   2592 0.009177983    09101  763376832

3 Análisis de regresión

Aplicaremos un análisis de regresión donde:

\[ Y(dependiente) = ingreso \ expandido \ por \ zona \ (multi\_pob)\]

\[ X(independiente) = frecuencia \ de \ población \ que \ posee \ la \ variable \ Censal \ respecto \ a \ la \ zona \ (Freq.x) \]

3.1 Diagrama de dispersión loess

scatter.smooth(x=comunas_censo_casen$Freq.x, y=comunas_censo_casen$multipob, main="multi_pob ~ Freq.x",
     xlab = "Freq.x",
     ylab = "multi_pob",
           col = 2)

3.2 Outliers

Hemos demostrado en el punto 5.7.2 de aquí que la exclusión de ouliers no genera ninguna mejora en el modelo de regresión.

3.3 Modelo lineal

Aplicaremos un análisis de regresión lineal del ingreso expandido por zona sobre las frecuencias de respuestas zonales.

linearMod <- lm( multipob~(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
summary(linearMod) 
## 
## Call:
## lm(formula = multipob ~ (Freq.x), data = comunas_censo_casen)
## 
## Residuals:
##        Min         1Q     Median         3Q        Max 
## -655150654  -37915569   -5382737   53882924  308401803 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 12228105   10141681   1.206    0.229    
## Freq.x        666541       8674  76.845   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 86900000 on 267 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9567, Adjusted R-squared:  0.9566 
## F-statistic:  5905 on 1 and 267 DF,  p-value: < 2.2e-16

3.4 Gráfica de la recta de regresión lineal

ggplot(comunas_censo_casen, aes(x = Freq.x , y = multipob)) + 
  geom_point() +
  stat_smooth(method = "lm", col = "red")

Si bien obtenemos nuestro modelo lineal da cuenta del 0.9566 de la variabilidad de los datos de respuesta en torno a su media, modelos alternativos pueden ofrecernos una explicación de la variable dependiente aún mayor.

4 Modelos alternativos

### 8.1 Modelo cuadrático

linearMod <- lm( multipob~(Freq.x^2) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "cuadrático"
sintaxis <- "linearMod <- lm( multi_pob~(Freq.x^2) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos1 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)


modelos1 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.2 Modelo cúbico
 
linearMod <- lm( multipob~(Freq.x^3) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "cúbico"
sintaxis <- "linearMod <- lm( multi_pob~(Freq.x^3) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos2 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.3 Modelo logarítmico
 
linearMod <- lm( multipob~log(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "logarítmico"
sintaxis <- "linearMod <- lm( multi_pob~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos3 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.5 Modelo con raíz cuadrada 
 
linearMod <- lm( multipob~sqrt(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "raíz cuadrada"
sintaxis <- "linearMod <- lm( multi_pob~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos5 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.6 Modelo raíz-raíz
 
linearMod <- lm( sqrt(multipob)~sqrt(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "raíz-raíz"
sintaxis <- "linearMod <- lm( sqrt(multi_pob)~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos6 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.7 Modelo log-raíz
 
linearMod <- lm( log(multipob)~sqrt(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "log-raíz"
sintaxis <- "linearMod <- lm( log(multi_pob)~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos7 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.8 Modelo raíz-log
 
linearMod <- lm( sqrt(multipob)~log(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "raíz-log"
sintaxis <- "linearMod <- lm( sqrt(multi_pob)~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos8 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
### 8.9 Modelo log-log
 
linearMod <- lm( log(multipob)~log(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
datos <- summary(linearMod)
dato <- datos$adj.r.squared
modelo <- "log-log"
sintaxis <- "linearMod <- lm( log(multi_pob)~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)"

modelos9 <- cbind(modelo,dato,sintaxis)
 
modelos_bind <- rbind(modelos1, modelos2,modelos3,modelos5,modelos6,modelos7,modelos8,modelos9)
modelos_bind <- as.data.frame(modelos_bind)

modelos_bind <<- modelos_bind[order(modelos_bind$dato, decreasing = T ),]
h_y_m_comuna_corr_01 <<- comunas_censo_casen

kbl(modelos_bind) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover")) %>%
  kable_paper() %>%
  scroll_box(width = "100%", height = "300px")
modelo dato sintaxis
8 log-log 0.988595451830538 linearMod <- lm( log(multi_pob)~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
5 raíz-raíz 0.974560600635157 linearMod <- lm( sqrt(multi_pob)~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
1 cuadrático 0.956579248281412 linearMod <- lm( multi_pob~(Freq.x^2) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
2 cúbico 0.956579248281412 linearMod <- lm( multi_pob~(Freq.x^3) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
4 raíz cuadrada 0.893782589530337 linearMod <- lm( multi_pob~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
6 log-raíz 0.837667637078694 linearMod <- lm( log(multi_pob)~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
7 raíz-log 0.833328514465449 linearMod <- lm( sqrt(multi_pob)~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)
3 logarítmico 0.611886627952795 linearMod <- lm( multi_pob~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr_01)


5 Elección del modelo.

Elegimos el modelo log-log (8) pues tiene el más alto \(R^2 (0.989)\)

h_y_m_comuna_corr <- h_y_m_comuna_corr_01
metodo <- 8
switch (metodo,
        case = linearMod <- lm( multipob~(Freq.x^2) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( multipob~(Freq.x^3) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( multipob~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( multipob~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( sqrt(multipob)~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( log(multipob)~sqrt(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( sqrt(multipob)~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr),
        case = linearMod <- lm( log(multipob)~log(Freq.x) , data=h_y_m_comuna_corr)
)
summary(linearMod)
## 
## Call:
## lm(formula = log(multipob) ~ log(Freq.x), data = h_y_m_comuna_corr)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.52771 -0.07164  0.01152  0.08830  0.51674 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 13.32733    0.04397   303.1   <2e-16 ***
## log(Freq.x)  1.01354    0.00665   152.4   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1447 on 267 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9886, Adjusted R-squared:  0.9886 
## F-statistic: 2.323e+04 on 1 and 267 DF,  p-value: < 2.2e-16

5.1 Modelo log-log (log-log)

Es éste el modelo que nos entrega el mayor coeficiente de determinación de todos (0.989).

5.1.1 Diagrama de dispersión y lm sobre log-log

Desplegamos una curva suavizada por loess en el diagrama de dispersión.

scatter.smooth(x=log(comunas_censo_casen$Freq.x), y=log(comunas_censo_casen$multipob), lpars = list(col = "red", lwd = 2, lty = 1), main="multi_pob ~ Freq.x")

Desplegamos la curva de regresión con sus intervalos de confianza al 95%:

ggplot(comunas_censo_casen, aes(x = log(Freq.x) , y = log(multipob))) + geom_point() + stat_smooth(method = "lm", col = "red")

5.1.2 Análisis de residuos

par(mfrow = c (2,2))
plot(linearMod)

5.1.3 Modelo log-log

\[ \hat Y = e^{\beta_0+\beta_1 ln{X}} \]

5.1.4 Modelo real:

\[ \hat Y = e^{13.32733+1.01354 \cdot ln{X}} \]


linearMod <- lm( log(multipob)~log(Freq.x) , data=comunas_censo_casen)
aa <- linearMod$coefficients[1]
bb <- linearMod$coefficients[2]

6 Aplicación la regresión a los valores de la variable a nivel de zona

Esta nueva variable se llamará: est_ing

comunas_censo_casen$est_ing <- exp(aa+bb*log(comunas_censo_casen$Freq.x))


7 División del valor estimado entre la población total de la zona para obtener el ingreso medio por zonal


\[ Ingreso \_ Medio\_zona = est\_ing / (personas * p\_poblacional) \]


comunas_censo_casen$ing_medio_zona <- comunas_censo_casen$est_ing /(comunas_censo_casen$personas  * comunas_censo_casen$p)
r3_100 <- comunas_censo_casen[c(1:100),]
kbl(r3_100) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover")) %>%
  kable_paper() %>%
  scroll_box(width = "100%", height = "300px")
zona código.x Freq.x personas comuna promedio_i año ingresos_expandidos Freq.y p código.y multipob est_ing ing_medio_zona
9101011001 09101 928 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2220 0.0078608 09101 653818120 624760876 281423.8
9101011002 09101 1550 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3909 0.0138413 09101 1151250015 1050785077 268811.7
9101011003 09101 1101 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2067 0.0073190 09101 608757682 742947835 359432.9
9101011004 09101 309 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 662 0.0023441 09101 194967385 204954790 309599.4
9101011005 09101 1310 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2592 0.0091780 09101 763376832 886062390 341845.1
9101021001 09101 1354 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3196 0.0113167 09101 941262483 916232991 286681.2
9101021002 09101 1310 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2969 0.0105129 09101 874408108 886062390 298438.0
9101021003 09101 620 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1480 0.0052405 09101 435878747 415131831 280494.5
9101021004 09101 785 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1826 0.0064657 09101 537780130 527292371 288769.1
9101031001 09101 1079 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2594 0.0091851 09101 763965858 727903425 280610.4
9101031002 09101 1702 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4200 0.0148717 09101 1236953201 1155292168 275069.6
9101031003 09101 865 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2208 0.0078183 09101 650283968 581793111 263493.3
9101031004 09101 910 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2390 0.0084627 09101 703885274 612480220 256267.9
9101031005 09101 1240 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2992 0.0105943 09101 881181899 838092171 280111.0
9101041001 09101 2063 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4994 0.0176832 09101 1470796258 1403985346 281134.4
9101041002 09101 1878 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4641 0.0164333 09101 1366833287 1276457853 275039.4
9101041003 09101 1763 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4375 0.0154914 09101 1288492917 1197268730 273661.4
9101051001 09101 1217 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3142 0.0111255 09101 925358799 822338431 261724.5
9101051002 09101 1208 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2998 0.0106156 09101 882948975 816175017 272239.8
9101051003 09101 1162 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3078 0.0108989 09101 906509988 784682932 254932.7
9101051004 09101 1481 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3587 0.0127012 09101 1056416936 1003389365 279729.4
9101051005 09101 1093 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2751 0.0097410 09101 810204346 737476665 268075.9
9101051006 09101 953 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2499 0.0088487 09101 735987154 641822682 256831.8
9101051007 09101 1095 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2499 0.0088487 09101 735987154 738844407 295656.0
9101061001 09101 1377 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3146 0.0111396 09101 926536850 932009299 296252.2
9101061002 09101 1044 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2322 0.0082219 09101 683858412 703977729 303177.3
9101061003 09101 1140 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2821 0.0099888 09101 830820233 769627426 272820.8
9101061004 09101 2266 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5347 0.0189331 09101 1574759229 1544098944 288778.6
9101061005 09101 1047 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2768 0.0098012 09101 815211062 706028083 255067.9
9101061006 09101 1062 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2682 0.0094967 09101 789882972 716281039 267069.7
9101071001 09101 739 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1795 0.0063559 09101 528650237 495988032 276316.5
9101071002 09101 1406 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3047 0.0107891 09101 897380096 951906245 312407.7
9101081001 09101 1385 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3402 0.0120461 09101 1001932093 937497550 275572.5
9101081002 09101 1518 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3965 0.0140396 09101 1167742724 1028800825 259470.6
9101081003 09101 1238 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3304 0.0116991 09101 973069851 836722122 253245.2
9101081004 09101 924 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2161 0.0076519 09101 636441873 622031561 287844.3
9101081005 09101 850 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2222 0.0078679 09101 654407146 571568824 257231.7
9101081006 09101 1143 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2903 0.0102792 09101 854970272 771680219 265821.6
9101091001 09101 2425 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5474 0.0193828 09101 1612162338 1653962742 302148.8
9101091002 09101 652 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1649 0.0058389 09101 485651388 436855548 264921.5
9101091003 09101 1188 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3045 0.0107820 09101 896791070 802480774 263540.5
9101091004 09101 1151 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2668 0.0094471 09101 785759795 777154692 291287.4
9101091005 09101 856 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1882 0.0066640 09101 554272839 575658248 305875.8
9101101001 09101 2277 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5434 0.0192412 09101 1600381831 1551696305 285553.2
9101101002 09101 780 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1589 0.0056265 09101 467980628 523888496 329697.0
9101101003 09101 150 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 326 0.0011543 09101 96011129 98523831 302220.3
9101101004 09101 1387 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3639 0.0128853 09101 1071731595 938869680 258002.1
9101101005 09101 2145 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5033 0.0178213 09101 1482282252 1460561467 290197.0
9101101006 09101 2349 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5891 0.0208594 09101 1734974120 1601436652 271844.6
9101101007 09101 1960 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5050 0.0178815 09101 1487288967 1332963508 263953.2
9101101008 09101 3007 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 6739 0.0238620 09101 1984720862 2056895733 305222.7
9101101009 09101 1735 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4395 0.0155622 09101 1294383171 1177998316 268031.5
9101111001 09101 2324 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5176 0.0183276 09101 1524397563 1584163326 306059.4
9101111002 09101 1972 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4664 0.0165147 09101 1373607078 1341235346 287571.9
9101111003 09101 503 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1407 0.0049820 09101 414379322 335840166 238692.4
9101121001 09101 1290 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2796 0.0099003 09101 823457416 872352988 312000.4
9101121002 09101 1227 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2711 0.0095993 09101 798423840 829187392 305860.3
9101121003 09101 1643 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3947 0.0139759 09101 1162441496 1114711257 282419.9
9101141001 09101 1028 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2408 0.0085265 09101 709186502 693043864 287808.9
9101141002 09101 1287 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3217 0.0113910 09101 947447249 870296825 270530.6
9101141003 09101 1908 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4707 0.0166670 09101 1386271123 1297126854 275574.0
9101141004 09101 1052 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2780 0.0098437 09101 818745214 709445515 255196.2
9101161001 09101 1326 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3387 0.0119930 09101 997514403 897031954 264845.6
9101161002 09101 739 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1966 0.0069614 09101 579011903 495988032 252282.8
9101161003 09101 806 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2025 0.0071703 09101 596388150 541591833 267452.8
9101161004 09101 1095 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2583 0.0091461 09101 760726218 738844407 286041.2
9101171001 09101 1075 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2682 0.0094967 09101 789882972 725168521 270383.5
9101171002 09101 1763 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4209 0.0149036 09101 1239603815 1197268730 284454.4
9101171003 09101 862 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2211 0.0078289 09101 651167506 579748060 262210.8
9101171004 09101 1302 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2954 0.0104598 09101 869990418 880578287 298096.9
9101181001 09101 2028 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4459 0.0157888 09101 1313231981 1379846203 309451.9
9101181002 09101 1044 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2620 0.0092771 09101 771623187 703977729 268693.8
9101181003 09101 1011 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2497 0.0088416 09101 735398129 681429157 272899.1
9101181004 09101 1944 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4641 0.0164333 09101 1366833287 1321935458 284838.5
9101181005 09101 856 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 1940 0.0068693 09101 571354574 575658248 296731.1
9101181006 09101 1254 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2902 0.0102757 09101 854675759 847683346 292103.2
9101191001 09101 1412 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 3430 0.0121452 09101 1010178447 956023552 278724.1
9101191002 09101 967 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2483 0.0087920 09101 731274952 651379950 262335.9
9101191003 09101 2363 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 5449 0.0192943 09101 1604799521 1611110804 295670.9
9101191004 09101 1916 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4595 0.0162704 09101 1353285704 1302639334 283490.6
9101191005 09101 1957 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 4718 0.0167059 09101 1389510762 1330895656 282088.9
9101191006 09101 1002 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 2165 0.0076660 09101 637619924 675281262 311908.2
9101991999 09101 443 282415 Temuco 294512.7 2017 83174794799 868 0.0030735 09101 255636995 295271471 340174.5
9102011001 09102 886 24533 Carahue 237416.7 2017 5824543339 2178 0.0887784 09102 517093523 596111139 273696.6
9102021001 09102 1794 24533 Carahue 237416.7 2017 5824543339 5062 0.2063343 09102 1201803219 1218608662 240736.6
9102021002 09102 1454 24533 Carahue 237416.7 2017 5824543339 4085 0.1665104 09102 969847126 984851279 241089.7
9102081001 09102 532 24533 Carahue 237416.7 2017 5824543339 1860 0.0758162 09102 441595019 355472395 191114.2
9102991999 09102 34 24533 Carahue 237416.7 2017 5824543339 68 0.0027718 09102 16144334 21887760 321878.8
9103011001 09103 631 17526 Cunco 247099.1 2017 4330659433 1592 0.0908365 09103 393381822 422597685 265450.8
9103021001 09103 736 17526 Cunco 247099.1 2017 4330659433 2075 0.1183955 09103 512730704 493947343 238046.9
9103021002 09103 1196 17526 Cunco 247099.1 2017 4330659433 3499 0.1996462 09103 864599872 807958099 230911.1
9103101001 09103 483 17526 Cunco 247099.1 2017 4330659433 1428 0.0814789 09103 352857564 322309574 225707.0
9103991999 09103 74 17526 Cunco 247099.1 2017 4330659433 253 0.0144357 09103 62516081 48142326 190285.9
9104011001 09104 852 7489 Curarrehue 204180.7 2017 1529109215 2148 0.2868207 09104 438580130 572931922 266728.1
9104991999 09104 52 7489 Curarrehue 204180.7 2017 1529109215 128 0.0170917 09104 26135129 33668524 263035.3
9105011001 09105 811 24606 Freire 305541.7 2017 7518158340 2214 0.0899781 09105 676469258 544997216 246159.5
9105011002 09105 1223 24606 Freire 305541.7 2017 7518158340 3193 0.1297651 09105 975594553 826447717 258831.1
9105021001 09105 788 24606 Freire 305541.7 2017 7518158340 2072 0.0842071 09105 633082341 529334838 255470.5
9105061001 09105 12 24606 Freire 305541.7 2017 7518158340 36 0.0014631 09105 10999500 7616927 211581.3
9105091001 09105 46 24606 Freire 305541.7 2017 7518158340 154 0.0062586 09105 47053417 29734296 193079.8


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9 Anexo:

9.1 Modelos alternativos

9.1.1 Modelo cuadrático

\[ \hat Y = \beta_0 + \beta_1 X^2 \]

9.1.2 Modelo cúbico

\[ \hat Y = \beta_0 + \beta_1 X^3 \]

9.1.3 Modelo logarítmico

\[ \hat Y = \beta_0 + \beta_1 ln X \]

9.1.4 Modelo exponencial

\[ \hat Y = \beta_0 + \beta_1 e^X \]

No es aplicable sin una transformación pues los valores elevados a \(e\) de Freq.x tienden a infinito.

9.1.5 Modelo con raíz cuadrada

\[ \hat Y = \beta_0 + \beta_1 \sqrt {X} \]

9.1.6 raiz raiz

\[ \hat Y = {\beta_0}^2 + 2 \beta_0 \beta_1 \sqrt{X}+ \beta_1^2 X \]

9.1.7 Modelo log-raíz

\[ \hat Y = e^{\beta_0 + \beta_1 \sqrt{X}} \]

9.1.8 Modelo raíz-log

\[ \hat Y = {\beta_0}^2 + 2 \beta_0 \beta_1 \ln{X}+ \beta_1^2 ln^2X \]

9.1.9 Modelo log-log

\[ \hat Y = e^{\beta_0+\beta_1 ln{X}} \]