Curso GEM: Variedades diferenciables

Clase 1: Variedades diferenciables

Definición 1.1
   Variedad

Definición 1.1: Variedad

\(M \subset \mathbb{R}^n\) es llamada variedad de dimensión \(m \, (m\leq n)\) si para todo \(p\in M\) existe un mapa suave \(\phi: V \rightarrow U\) donde \(U\) es una vecindad de \(p\) en \(M , V\) es abierto en \(\mathbb{R}^{m}, \, \phi\) es un homeomorfismo y \(D\phi_q\) es inyectiva para todo \(q\in V .\)

Aquel \(\phi\) es llamado parametrización y \(\phi^{-1}\) es llamada carta.

Si \(M \subset\mathbb{R}^{n}\) es una variedad de dimensión \(m\). se escribirá \(M^m \, .\) Además, se cumple \(dim M = m \,\) y \(\, codim M = n -m \, .\)

Ejemplos:

• \(S^n = \{ (x_1,x_2,\dots,x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^{2} + \dots + x_{n+1}^2 = 1 \}\) \(\quad dim(S^n) = n\)
• Los conjuntos discretos (ejemplo: \(\mathbb{Z}\)) son variedades de dimensión cero.
• Todo abierto no vacío \(U\subset\mathbb{R}^n\) es una variedad de dimensión \(n.\)
• Si \(U\subset M^m \subset\mathbb{R}^n\) es un abierto de la variedad \(M^m\), entonces \(U\) es una variedad.
• Para cualquier par de variedades \(M^m \subset\mathbb{R}^n\) y \(N^k \subset\mathbb{R}^p\), se cumple que \(M \times N \subset\mathbb{R}^{n+p}\) es una variedad de dimensión \(m+k \, .\)
• Si \(E\subset\mathbb{R}^n\) es un subespacio vectorial de dimensión \(k\), entonces \(E\) es una variedad de dimension \(k \, .\)

Clase 2: Aplicaciones diferenciables

Proposición 2.1

Proposición 2.1

Sean \(V_0\subset\mathbb{R}^m\) abierto, \(V\subset\mathbb{R}^n, \varphi: V_0 \rightarrow V\) una parametrización suave. Dado \(U_0 \subset\mathbb{R}^k\) abierto y \(f:U_0 \rightarrow V\) suave, entonces \(\varphi^{-1}: U_0 \rightarrow V_0\) es suave.

 

Definición 2.1
   Mapa diferenciable

Definición 2.1: Mapa diferenciable

Dadas las variedades \(M^m\subset\mathbb{R}^{p}\) y \(N^n\subset\mathbb{R}^{k}\), diremos que un mapa \(f: M \rightarrow N\) es diferenciable en \(p\in M\) si existen parametrizaciones \(\varphi: U_0 \rightarrow U\) y \(\psi: V_0 \rightarrow V\) tales que:

• \(p\in U\)
• \(f(p) \in V\)
• \(f(U)\subset V\)
• \(\psi^{-1} \circ f \circ \varphi\,\) sea diferenciable en \(\,\varphi^{-1}(p)\, .\)

Teorema 2.1

Teorema 2.1

Si \(f:M\rightarrow N\) y \(g:N\rightarrow P\) son suaves, entonces \(g\circ f:M\rightarrow P\) es suave.

 

Definición 2.2
   Subvariedad

Definición 2.2: Subvariedad

Sean las variedades \(M^m\subset\mathbb{R}^{k}\) y \(N^n \subset\mathbb{R}^{k}\). Diremos que \(N\) es una subvariedad de \(M\) si se cumple \(N\subset M\).

Observación: Se cumple \(m\geq n .\)

Ejercicio: Sean las variedades \(X,Y \text{ y } Z\), con \(X\subset Y\). Si \(f:Y \rightarrow Z\) y \(g:Z\rightarrow X\) son suaves, entonces \(f\kern-0.75ex\restriction_X : X \rightarrow Z\) y \(g: Z\rightarrow Y\) son suaves.

 

Definición 2.3
   Difeomorfismo

Definición 2.3: Difeomorfismo

Cualquier biyección suave entre variedades será llamada difeomorfismo si su inversa también es suave.

Ejemplo: Toda parametrización es un difeomorfismo.

 

Teorema 2.2

Teorema 2.2

La composición de difeomorfismos es un difeomorfismo.

Definición 2.4
   Variedades difeomorfas

Definición 2.4: Variedades difeomorfas

Diremos que dos variedades son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas.

Clase 3: Espacio tangente

Definición 3.1
   Espacio tangente

Definición 3.1: Espacio tangente

Sean \(M^m\subset\mathbb{R}^n\) una variedad y \(\varphi: U_0 \rightarrow U\) una parametrización. Con \(p\in U, \varphi(q) = p\), el espacio tangente a \(M\) en \(p\) es \[ T_p M := D\varphi_q (\mathbb{R}^m) \, . \]

Observación:

• \(T_p M\) es un espacio vectorial de dimensión \(m \, .\)
• \(D \varphi_q (e_i) = \frac{\partial\varphi}{\partial x^i} (q)\, .\)
• \(\left\{ \frac{\partial \varphi}{\partial x^1}(q), \, \dots \, \frac{\partial \varphi}{\partial x^m}(q) \right\}\) es una base de \(T_p M\, .\)

Proposición 3.1

Proposición 3.1

Dada una variedad \(M^m\subset\mathbb{R}^{n}\) y \(p\in M\), se cumple \[ T_p M = \{ \alpha'(0) \mid \alpha: (-\epsilon,\epsilon)\rightarrow M \text{ es un camino suave que satisface } \alpha(0) = p\} \, . \]

 

Demostración:

\((\subseteq)\)
Sea \(v\in T_p M\), existen \(\varphi: U_0 \rightarrow U \ni p\) parametrización y \(u\in \mathbb{R}^m\) tal que \(v = D\varphi_q (u),\, \varphi(q) = p\).
\(\Rightarrow v = D\varphi_q (u) = \frac{\partial\varphi}{\partial u}(q) = \displaystyle{\lim_{t\to \,0}} \, \frac{\varphi(q+tu) - \varphi(q)}{t}\).
\(\alpha(t) := \varphi(q+tu) \Rightarrow \alpha'(0) = D\varphi_q (u) \, .\)
 
\((\supseteq)\)
Se tiene un camino suave \(\alpha: (-\epsilon,\epsilon)\rightarrow M, \,\, \alpha(0) = p \, .\)
Escogemos una parametrización \(\varphi: \mathbb{R}^m \rightarrow U\ni p, \,\, \varphi(0) = p \,.\)
Definimos \(\beta = \varphi^{-1}\circ\alpha: (-\epsilon,\epsilon)\rightarrow\mathbb{R}^{m}\)
\(\Rightarrow \alpha = \varphi\circ\beta\)
\(\Rightarrow \alpha '(0)= D\varphi_{\beta(0)} \beta'(0)\)
\(\Rightarrow \alpha'(0) = D\varphi_0 (\beta'(0))\)
\(\Rightarrow \alpha'(0)\in D\varphi_0 (\mathbb{R}^m) \,\, .\)

 

Ejemplos:

• Si \(U\subset\mathbb{R}^{n}\) es un abierto no vacío, entonces para todo \(p\in U\) se cumple \(T_p U = \mathbb{R}^n\,\, .\)
• \(T_p S^n = \{ v\in\mathbb{R}^{n+1} \mid \langle v,p\rangle = 0 \}\)

 

Proposición 3.2

Proposición 3.2

Si \(E\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{n},\) entonces para todo \(p \in U\) (abierto en \(E\)) se tiene \(T_p E = E\,\, .\)

Clase 4: Derivada

Sea \(f: U\rightarrow V, f\in C^{\infty}, p\in U \\ Df_p u = (f\circ\alpha)'(0), \text{ donde } \alpha'(0) = u \text{ y } \alpha(0) = p, \\ p\in U, \exists \; r>0 \text{ tal que } B(p,r) \subset U, \text{ con } \alpha(t) = p +tu, \text{ donde } \lvert t \rvert < \epsilon\, .\)

 

Definición 4.1
   Derivada

Definición 4.1: Derivada

Sea \(f:M \rightarrow N\) suave tal que \(f(p) = q .\) La derivada de \(f\) en \(p\) es el operador:

\[ Df_p: T_p M \rightarrow T_q N \\ \hspace{5.5em} v \hspace{1em}\mapsto (f\circ \alpha)'(0) \]

donde \(\alpha: (-t,t) \rightarrow M\) es suave y se tiene \(\alpha(0) = p \ \) y \(\ \alpha(0)' = v \, .\)

\(Df_p (v)\) no depende del camino \(\alpha\), sino de la parametrización \(\varphi \ .\)

 

Teorema 4.1

Teorema 4.1

Sean \(M,N \text{ y } P\) variedades, \(f:M \rightarrow N \text{ y } g:N\rightarrow P\) suaves, y \(f(p)=q\), entonces se cumple \[ D(g\circ f)_p = Dg_q \circ Df_p\, . \]

 

Demostración:

\(D(g\circ f)_p: T_p M \rightarrow T_{g(q)}P\)
Sea \(\alpha: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow M\) suave, tal que \(\alpha(0)=p\) y \(\alpha'(0)=u .\)
\(\Rightarrow D(g\circ f)_p (u)= (g\circ \underbrace{f \circ \alpha)'}_{\beta}(0)\) \(= Dg_q (f\circ \alpha)'(0)=Dg_q Df_p u \, .\)

 

Ejercicio:
Sea \(M\) una variedad, entonces se cumple \(D(\text{ Id })_p = \text{ Id }_{T_p M} \, .\)

 

Corolario 4.2

Corolario 4.2

Sean \(M,N\) variedades y \(f: M\rightarrow N\) es un difeomorfismo, entonces \(Df_p\) es un isomorfismo para \(p\in M.\) Más aún, si \(f(p)=q\), entonces se tiene \(Df^{-1}_q = (Df_p)^{-1} \, .\)

 

Demostración:

\(f\circ f^{-1} = \text{ Id}_N\)
\(\Rightarrow D(f\circ f^{-1})_q = \text{ Id}_{T_q N}\)   \(\Rightarrow Df_p Df^{-1}_q = \text{ Id}_{T_q N} \, .\)

Análogamente:
\(Df^{-1}_q Df_p = \text{ Id}_{T_p M}\)
\(Df_p\) es un isomorfismo y \((Df_p)^{-1}\) vale \(Df^{-1}_q \, .\)

Clase 5: Teoremas de la función inversa y del valor regular

Teorema 5.1
   De la función inversa
   y formas locales

Teorema de la función inversa y formas locales

Sean \(M\) y \(N\) variedades, \(p\in M, f:M \rightarrow N\) suave y \(Df_p\) es un isomorfismo. Entonces existen \(U\ni p\) abierto en \(M\) y \(V\ni f(p)\) abierto en \(N\) tales que \(f:U \rightarrow V\) es un difeomorfismo.

 

Corolario 5.2

Corolario 5.2

Si \(M\) y \(N\) son variedades, \(f:M\rightarrow N\) es suaves, biyección y \(Df_p\) es un isomorfismo para todo \(p\in M\), entonces \(f\) es un difeomorfismo.

 

Demostración:

Como \(f\) es biyección, existe \(f^{-1}\).
\(\exists\, U\ni p \ \) y \(\ V\ni f(p)\) tal que \(f_{\restriction_U}\) es difeomorfismo.

\[ (f_{\restriction_U})^{-1} = f^{-1}_{\restriction_V} \Rightarrow f^{-1}_{\restriction_V} \text{ es diferenciable } \Rightarrow f^{-1} \text{ es diferenciable. } \]

 

Definición 5.1
   Mapas suaves
   equivalentes

Definición 5.1: Mapas suaves equivalentes

Sean \(M,N, \widetilde{M}\) y \(\widetilde{N}\) variedades. Dos mapas suaves \(f:M \rightarrow N\) y \(g:\widetilde{M} \rightarrow\widetilde{N}\) son llamados equivalentes si existen difeomorfismos \(\varphi:M\rightarrow\widetilde{M}\) y \(\phi:N\rightarrow\widetilde{N}\) tal que el siguiente diagrama es conmutativo:

 

Es decir:

\(\phi\circ f = g\circ\varphi \, .\)

 

Corolario 5.3

Corolario 5.3

Sean \(M\) y \(N\) variedades, \(f:M\rightarrow N\) suave, \(p\in M,q\in M\) con \(q=f(p)\) y \(Df_p\) isomorfismo. Entonces f es localmente equivalente en \(p\) a la función identidad.

Demostración:

Sabemos que existen vecindades \(U\) y \(V\), de \(p\) y \(q\) respectivamente.
Además, se tienen parametrizaciones \(\varphi\) y \(\phi\) de \(M\) y \(N\) respectivamente, tales que mapean ciertas vecindades \(\widetilde{U}\) hacia \(U\), y \(\widetilde{V}\) hacia \(V\), en el orden respectivo.

Así, \(f:U\rightarrow V\) es un difeomorfismo, entonces \(\widetilde{f}:\widetilde{U}\rightarrow\widetilde{V}\) también lo es.

Para concluir, basta notar el siguiente diagrama conmutativo:

 

Definición 5.2
   Inmersión

Definición 5.2: Inmersión

Sean \(M\) y \(N\) variedades con \(f:M\rightarrow N\) suave. \(f\) es una inmersión si \(Df_p\) es inyectiva para todo \(p\in M \, .\)

 

Ejemplo:

Sean \(U,V\) abiertos en \(\mathbb{R}^{m}\) y \(\mathbb{R}^n\) respectivamente, con \(0\in V.\) Entonces la siguiente inclusión es una inmersión: \[ i:U\rightarrow U\times V \\ \hspace{0.8em} x \hspace{0.8ex}\mapsto (x,0) \]

 

Teorema 5.4

Teorema 5.4

Sean \(M\) y \(N\) variedades, \(f:M\rightarrow N\) suave, \(p\in M\) y \(q=f(p).\) Si \(Df_p\) es inyectiva, entonces \(f\) es localmente equivalente a la inclusión.

 

Definición 5.3
   Mapa propio

Definición 5.3: Mapa propio

Sean \(M, N\) variedades y \(f:M\rightarrow N\) un mapa suave. El mapa \(f\) es propio si y solo si \(f^{-1}(K)\) es compacto para todo \(K\subset N\) compacto.

 

Proposición 5.5

Proposición 5.5

Todo mapa suave y propio es cerrado.

 

Definición 5.4
   Encaje

Definición 5.4: Encaje

Un mapa es llamado encaje si es propio, inmersión e inyectivo.

 

Teorema 5.6

Teorema 5.6

Si \(f:M\rightarrow N\) es un encaje, entonces \(f(M)\) es una subvariedad.

 

Corolario 5.7

Corolario 5.7

Si \(f:M\rightarrow N\) es una inmersión inyectiva y \(M\) es compacto, entonces \(f(M)\subset N\) es una variedad.

 

Definición 5.5
   Sumersión

Definición 5.5: Sumersión

Un mapa \(f:M\rightarrow N\) es una sumersión si \(Df_p\) es sobreyectiva para todo \(p\in M \, .\)

Ejemplo:

\(U\subset \mathbb{R}^m\) abierto, \(V\subset\mathbb{R}^n\) abierto. Entonces se tiene la sumersión \[ \pi: U\times V \rightarrow U \\ \kern2em(x,y) \mapsto x \]

 

Teorema 5.8

Teorema 5.8

\(f:M\rightarrow N\) suave, \(p\in M, f(p)=q\) y \(Df_p\) sobreyectiva. Entonces \(f\) es localmente equivalente a la función proyección.

 

Definición 5.6
   Valor regular

Definición 5.6: Valor regular

Sea \(f:M\rightarrow N\) suave. \(q\in N\) es llamado valor regular si \(Df_p\) es sobreyectivo para todo \(p\in f^{-1}(q)\, .\)

 

Teorema 5.9
   Del valor regular

Teorema 5.9: Del valor regular

Si \(q\in N\) es un valor regular del mapa suave \(f:M^{m}\rightarrow N^{n}\), entonces \(f^{-1}(q)\) es una variedad con \(dim(f^{-1}(q)) = m-n\).
Además, se cumple \(T_p f^{-1}(q) = Ker(Df_p) \, .\)

 

Ejemplos:

• \(f:\mathbb{R}^{\overline{m+1}} \rightarrow\mathbb{R}\)
  \(\kern2em x \kern1em\mapsto \lVert x\rVert^2=x_{1}^2 +\cdots+x_{m+1}^2\)
  \(Jf(x) = (2x_1,\cdots,2x_{m+1})\)   \(Df_p:\mathbb{R}^{m+1}\rightarrow\mathbb{R} \Rightarrow\) Entonces \(Df_p\) es sobreyectiva si \(p \neq 0\) y \(1\in \mathbb{R}\).
  \(\Rightarrow f^{-1}(1)\) es una variedad de dimensión \(m\) y se cumple \(T_pf^{-1}(1) = Ker(Df_p) = {p}^{\perp}\)

• \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}\)
  \((x,y) \mapsto y^2 \\ \)
  \(f^{-1}(0) = \mathbb{R}\times \{0\} \Rightarrow\) \(Df_p = (0,2y) \, .\)
  Si \(p\in f^{-1}(0) \Rightarrow y=0\, .\)

• \(\varphi:\mathbb{R}^{n\times n} \rightarrow S_n\)
  \(\kern2em A\kern0.5em\mapsto A A^T \\ \)
  \(\varphi^{-1}(I) =O_n .\) Sea \(A\in\varphi^{-1}(I) \,.\)
  \(D\varphi_A(M) = \displaystyle{\lim_{h\to 0}\,} \frac{\varphi(A+hM)-\varphi(M)}{h}\) \(= AM^T + MA^T \, . \\ \)
  \(D\varphi_A : \mathbb{R}^{n\times n}\rightarrow S_n\)
  Sea \(C\in S_n\), considerando \(M=\frac{CA}{2} \, .\\ \)
  \(\Rightarrow D\varphi_A (M) = \frac{A A^T C}{2} + \frac{CA}{2}A^T\) \(= \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C\)

  \(\Rightarrow O_n\) es una variedad de dimensión \(n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\, .\)

  \(T_I (O_n) = Ker(D\varphi_I)\)

  Sea \(M\in Ker(D_\varphi(I))\)

  \(\Rightarrow D\varphi_I (M) = M+M^T = 0 \Rightarrow M=-M^T \,.\) \(T_I O_n = \text{ conjunto de matrices antisimétricas }\).

  ¿El conjunto \(SO_n = \{A\in O_n \,\mid\, det(A) = 1\}\) es una variedad?
  Se tiene \(T_I (SO_n) = \{ A\in\mathbb{R}^{n\times n} \,\mid\, A^T = -A \}\)

• \(\varphi=det: \overbrace{\mathbb{R}^n \times\cdots\times\mathbb{R}^n}^{n \text{ veces}}\) \(\rightarrow\mathbb{R}\)
  \(U = (u_1,\cdots,u_n) \mapsto det([u_1 \,\lvert\, \cdots \,\rvert\, u_n])\)

  Si \(V = [v_1 \,\lvert\, \cdots \,\rvert\, v_n]\), entonces se tiene
  \(D\varphi_U (V) = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} det([u_1 \,\lvert\, \cdots \,\rvert\, u_{k-1}\,\lvert\, v_k \,\rvert\, u_{k+1}\,\lvert\,\cdots\,\rvert\,u_n])}\)

  Sea \(U\in\varphi^{-1}(1) \Rightarrow D\varphi_U(U) = n\, .\)

  Sea \(\alpha\in\mathbb{R} \Rightarrow D\varphi_U (\frac{\alpha}{n}U) =\) \(\frac{\alpha}{n}\cdot n = \alpha \Rightarrow D\varphi_U\) es sobreyectiva.

  Entonces \(\varphi^{-1}(1) = SL_n\) es una variedad de dimensión \(n^2 -1\) y se cumple \(T_I (SL_n) = \{ A\in \mathbb{R}^{n\times n} \,\mid\, tr(A) = 0\} \, .\)

Clase 6: Grupos de Lie

\(\underline{\text{Grupos y variedades:}} \; GL_n, O_n, SL_n, \{I_n\} \, .\)

Definición 6.1
   Grupo de Lie

Definición 6.1: Grupo de Lie

Un subgrupo \(G\subset GL_n\) es llamado grupo de Lie si es una variedad.

 

Definición 6.2
   Corchetes de Lie

Definición 6.2: Corchetes de Lie

Los corchetes de Lie de \(A,B \in\mathbb{R}^{nxn}\) es:
\[ [A,B] := AB - BA \]

Propiedades:

• \([A,B] = -[B,A]\)

• \([A+A',B] = [A,B] + [A',B]\)

• \([A,B+B'] = [A,B] + [A,B']\)

• \([\alpha A, B] = [A,\alpha B] = \alpha [A,B]\)

• \([A,[B,C]] + [C,[A,B]] + [B,[C,A]] = 0\)

 

Definición 6.3
   Álgebra de Lie

Definición 6.3: Álgebra de Lie

\(E\subset\mathbb{R}^{n\times n}\) es llamado álgebra de Lie si es un espacio vectorial y \([A,B]\in E\) para todo \(A,B\in E\, .\)

Ejemplos:

• \(T_I O_n =\) matrices antisimétricas.

• \(T_I SL_n =\) traza nula.

• \(T_I GL_n = \mathbb{R}^{n\times n}\, .\)

• \(T_I(\{I_n\}) = \{0\} \, .\)

 

Definición 6.4
   Exponencial de
   una matriz

Definición 6.4: Exponencial de una matriz

Si \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\), la exponencial de A es \[ exp(A) = e^{A} := \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k}\, . \]

Propiedades:

• Si \(AB = BA\), entonces \(e^{A+B} = e^{A} e^{B}\)

• \(e^{(s+t)A} = e^{sA}\cdot e^{tA}\) para todo \(s,t\in\mathbb{R}\,.\)

• \(e^{O} = I\, .\)

• \(e^{-A} = (e^{A})^{-1} \,.\)

• \(\frac{d\, e^{tA}}{d\,t} = A e^{tA} \, .\)

 

Lema 6.1

Lema 6.1

Si \(M\subset\mathbb{R}^{n}\) es una variedad y \(v:M\rightarrow\mathbb{R}^n\) un mapa suave tal que \(v(p)\in T_p M\) para todo \(p\in M\, .\) Para cada \(p\in M\) existen \(c>0\) y \(\lambda:(-c,c)\rightarrow M\) suave tal que \(\lambda(0)= p\) y \(\lambda'(t) = v(\lambda(t))\). Si \(\mu:(-d,d)\rightarrow M\) es suave, \(\mu(0)=p\) y \(\mu'(t)=v(\mu(t))\), entonces existe \(\delta >0\) tal que \(\lambda\) y \(\mu\) coinciden en el intervalo \((-\delta,\delta) \, .\)

 

Proposición 6.2

Proposición 6.2

Si \(G\subset GL_n\) es un grupo de Lie y \(A\in T_I G\), entonces \(e^{tA}\in G\) para todo \(t\in\mathbb{R}\,.\)

 

Proposición 6.3

Proposición 6.3

El espacio tangente en \(I\) de un grupo de Lie \(G\) es un álgebra de Lie.