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問1

1.資産額W=250に対する絶対的リスク回避度と相対的リスク回避度を（効用関数ごとに）求めよ．

前提条件

# 資産額
w <- 250

# 絶対的リスク回避度
r_a <- function(u_1, u_2, w = 250){
  value <- -u_2 / u_1
  paste("絶対的リスク回避度：", value)
}

# 相対的リスク回避度
r_r <- function(u_1, u_2, w = 250){
  value <- -w * u_2 / u_1
  paste("相対的リスク回避度：", value)
}
  • A. \(U(W) = 5W + 1\)

線形効用関数である為、

\[ R_A(250) = 0 R_R(250) = 0 \]

\[ U(W) = 5W + 1 \\ \\ U' = 5 \\ U'' = 1 \\ R_A(W) = -\frac{5}{1}\\ R_R(W) = -\frac{5}{1}W\\ \]

u_1a <- 1
u_2a <- 5
r_a(u_1a, u_2a)
## [1] "絶対的リスク回避度： -5"
r_r(u_1a, u_2a)
## [1] "相対的リスク回避度： -1250"
  • B. \(U(W) = \sqrt{3\sqrt{W^3}}\)

\[ U(W) = \sqrt{3\sqrt{W^3}} \\ = (3W^{3/2}) \\ = 3 ^ {2/1} W ^ {3/4} \\ U' = \frac{3}{4}W^{-1/4} \\ U'' = \frac{3}{4}(-\frac{1}{4}) W ^ {5/4} \\ = \frac{3}{16} W ^ {-5/4}\\ R_A(W) = -\frac{\frac{3}{16} W ^ {-5/4}}{\frac{3}{4}W^{-1/4}}\\ = \frac{-\frac{3}{4}W^{-5}}{3W^{-1}} \\ = -\frac{3W}{\frac{3}{4}W^5}\\ = -\frac{W}{\frac{1}{4}W^5}\\ = -\frac{4W}{W^5}\\ =-4W^{-4}\\ R_R(W) = -(-4W^{-4})W \\ =4W^3 \]

u_1b <- 3/4 * w^(-1/4)
u_2b <- -16 * w^(-5/4)
r_a(u_1b, u_2b)
## [1] "絶対的リスク回避度： 0.0853333333333333"
r_r(u_1b, u_2b)
## [1] "相対的リスク回避度： 21.3333333333333"
  • C. \(U(W) = -4(W - 3000)^2\)

\[ U(W) = - (4W - 3000)^2 \\ = 16 W^2 - 24000 + 9000000\\ U' = -32 W - 24000 \\ U'' = 32\\ R_A(W) = - \frac{32}{-32 W - 24000} \\ = \frac{1}{W + 750} \\ = (W + 750)^{-1}\\ R_R(W) = W\frac{1}{W + 750} \\ = \frac{W}{W + 750} \\ = 1 + \frac{W}{750} \\ \]

u_1c <- -32 * w -24000
u_2c <- -32
r_a(u_1c, u_2c)
## [1] "絶対的リスク回避度： -0.001"
r_r(u_1c, u_2c)
## [1] "相対的リスク回避度： -0.25"
  • D. \(U(W) = \exp(\frac{7 - 3W}{1000})\)

\[ U(W) = -\exp(\frac{7 - 3W}{1000}) \\ U' = -\exp(\frac{7 - 3W}{1000})(-\frac{3}{1000}) \\ = \exp(\frac{7 - 3W}{1000})(\frac{3}{1000}) \\ U'' = \exp(\frac{7 - 3W}{1000})\\ R_A(W) = -\frac{\exp(\frac{7 - 3W}{1000})}{\exp(\frac{7 - 3W}{1000})(\frac{3}{1000})}\\ = -\frac{1}{\frac{3}{1000}} \\ = -\frac{1000}{3} \\ R_R(W) = -W\frac{1000}{3} \\ \]

u_1d <- exp(7 - 3 * w / 1000)*(3/1000)
u_2d <- exp(7 - 3 * w / 1000)
r_a(u_1d, u_2d)
## [1] "絶対的リスク回避度： -333.333333333333"
r_r(u_1d, u_2d)
## [1] "相対的リスク回避度： -83333.3333333333"
  • E. \(U(W) = \ln(3W^3)\)

\[ U(W) = \ln(3W^3)\\ U' = (\frac{1}{3W^2})(9W^2)\\ = 3 \\ U'' = 1\\ R_A(W) = -\frac{1}{3} \\ R_R(W) = -W\frac{1}{3} \]

u_1e <- 3
u_2e <- 1
r_a(u_1e, u_2e)
## [1] "絶対的リスク回避度： -0.333333333333333"
r_r(u_1e, u_2e)
## [1] "相対的リスク回避度： -83.3333333333333"
  • F. \(U(W) = -\frac{1}{\sqrt{2W + 100}}\)

\[ U(W) = -\frac{1}{\sqrt{2W + 100}} \\ = - \frac{1}{(2W + 100)^{1/2}} \\ = -(2W + 100)^{-1/2} \\ U' = 2W + 100 \\ U'' = 2 \\ R_A = -\frac{2}{2W + 100} \\ = -\frac{1}{W + 50}\\ = -(W + 50)^{-1}\\ R_R = -W\frac{1}{W + 50}\\ =-1 - \frac{W}{50}\\ \]

u_1f <- 2 * w + 100
u_2f <- 2
r_a(u_1f, u_2f)
## [1] "絶対的リスク回避度： -0.00333333333333333"
r_r(u_1f, u_2f)
## [1] "相対的リスク回避度： -0.833333333333333"

2.上記の効用関数から，CARA型効用関数とCRRA型効用関数であるものをそれぞれ選べ．

CARA型効用関数

D, Eの効用関数がCARA型効用関数に該当する。

  • A \[ R'_A = (-\frac{5}{1})'> 0 \]

  • B \[ R'_A = (-4W^{-4})'> 0 \]

  • C \[ R'_A = ((W + 750)^{-1})'< 0 \]

  • D \[ R'_A = (-\frac{1000}{3})'= 0 \]

  • E \[ R'_A = (-\frac{1}{3})'= 0 \]

  • F \[ R'_A = (-(W + 50)^{-1})'> 0 \]

CRRA型効用関数

CRRA型効用関数であるもの、つまり\(R'_R(W) = 0\)になるものは該当がなかった。

  • A \[ R'_R(W) = (-\frac{5}{1}W)' < 0 \]

  • B \[ R'_R(W) = (4W^{-4})' < 0 \]

  • C \[ R'_R(W) = (1 + \frac{W}{750})' > 0 \]

  • D \[ R'_R(W) = (-W\frac{1000}{3})' < 0 \]

  • E \[ R'_R(W) = (-W\frac{1}{3})' < 0 \]

  • F \[ R'_R(W) = (-1-\frac{W}{50})' < 0 \]

3.ある投資の収益額がX∼U(−100,200)なる確率変数Xで表されるとする．絶対的リスク回避度とXの期待値と分散を用いて，初期資産額がW0=200であるときの絶対的リスクプレミアムの近似値を（効用関数ごとに）求めよ．

前提条件

# 初期資産額
w <- 200
mean <- 1/2*(-100 + 200)
variance <- 1/12*(200 - (-100))^2

pi_r <- function(u_1, u_2){
  value <- 1/2 * u_2 / u_1 * variance
  paste("絶対リスクプレミアムの近似値:", value)
}

Xの期待値と分散は次の通りである。 \[ E[X] = \frac{1}{2}(-100 + 200) = 50\\ Var[X] = \frac{(200 - (-100))^2}{12} = 7500 \]

  • 絶対的リスクプレミアムの近似値 \[ \pi_R \approx - \frac{1}{2}\frac{U''(W_0 + E[X])}{U'(W_0 + E[X])}Var[X] \\ = \frac{1}{2}R_A(W_0 + E[X])Var[X] \\ = \frac{1}{2}R_A(200 + 50)7500 \\ = 3750R_A(250) \]
  • A \[ \pi_R \approx \]
pi_r(u_1a, u_2a)
## [1] "絶対リスクプレミアムの近似値: 18750"
  • B \[ R'_R(W) = (4W^{-4})' < 0 \]
pi_r(u_1b, u_2b)
## [1] "絶対リスクプレミアムの近似値: -320"
  • C \[ R'_R(W) = (1 + \frac{W}{750})' > 0 \]
pi_r(u_1c, u_2c)
## [1] "絶対リスクプレミアムの近似値: 3.75"
  • D \[ R'_R(W) = (-W\frac{1000}{3})' < 0 \]
pi_r(u_1d, u_2d)
## [1] "絶対リスクプレミアムの近似値: 1250000"
  • E \[ R'_R(W) = (-W\frac{1}{3})' < 0 \]
pi_r(u_1e, u_2e)
## [1] "絶対リスクプレミアムの近似値: 1250"
  • F

\[ R'_R(W) = (-1-\frac{W}{50})' < 0 \]

pi_r(u_1f, u_2f)
## [1] "絶対リスクプレミアムの近似値: 12.5"